王姜華

摘 要：文章通過建立假定坐標(biāo)系來推導(dǎo)兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)的坐標(biāo)計(jì)算和點(diǎn)位精度分析公式。同時(shí)，探討了影響點(diǎn)位精度的相關(guān)因素，得出了使得交會(huì)點(diǎn)達(dá)到最佳精度的條件。能為相關(guān)測(cè)量工作提供借鑒。

關(guān)鍵詞：角度；前方交會(huì)；精度

引言

前方交會(huì)是測(cè)量工作中常用的一種測(cè)量方法，它在控制點(diǎn)加密、工程測(cè)量、變形監(jiān)測(cè)等測(cè)量工作中有著廣泛的應(yīng)用[1]。而隨著測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，全站儀的測(cè)量精度越來越高，已基本取代了傳統(tǒng)的經(jīng)緯儀測(cè)量。同時(shí)測(cè)量機(jī)器人的出現(xiàn)使測(cè)量工作變的更為方便和簡(jiǎn)潔，也相應(yīng)的減少了人為觀測(cè)誤差。這些高精度測(cè)量儀器應(yīng)用于前方交會(huì)中也相應(yīng)的提高了交會(huì)點(diǎn)的精度。比如運(yùn)用高精度全站儀結(jié)合前方交會(huì)進(jìn)行控制點(diǎn)的加密和工程測(cè)量相關(guān)工作，使用測(cè)量機(jī)器人結(jié)合前方交會(huì)來進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)。筆者結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，推導(dǎo)了兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)的坐標(biāo)計(jì)算及點(diǎn)位精度分析公式。探討了影響交會(huì)點(diǎn)點(diǎn)位精度的相關(guān)因素。

1 圖形與公式推導(dǎo)

1.1 定義與圖形

如圖1，A、B為坐標(biāo)已知的控制點(diǎn)，P為待定點(diǎn)。在A、B點(diǎn)上安置經(jīng)緯儀或全站儀，觀測(cè)水平角α、β，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的已知坐標(biāo)和α、β角，通過計(jì)算可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，這就是測(cè)角前方交會(huì)。

圖1 兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)圖形 圖2建立假定坐標(biāo)系

1.2 坐標(biāo)計(jì)算公式及推導(dǎo)

為推導(dǎo)出一種較為簡(jiǎn)單的計(jì)算兩點(diǎn)前方交會(huì)坐標(biāo)的公式，現(xiàn)建立以AB為坐標(biāo)系橫軸（Y軸）的X'AY'假定坐標(biāo)系，與原坐標(biāo)系的夾角為？琢'，如圖2所示。設(shè)A、B、C三點(diǎn)在原定坐標(biāo)系為X0Y中的坐標(biāo)分別為（XA，YA）、（XB，YB）、（XP，YP）。在假定坐標(biāo)系中則為A（0，0）、B（X'B，Y'B）、P（X'P，Y'P）。則根據(jù)圖形幾何關(guān)系可得：

（1）

由（1）中的兩式則可得出在假定坐標(biāo)系下待定點(diǎn)P的平面坐標(biāo)值。然而，我們最終是要得到在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)真值。這之間實(shí)際就是一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題，相應(yīng)的就可以求得待定點(diǎn)P點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)值。

2 交會(huì)點(diǎn)的精度探討

由前文（1）中兩式可知待定點(diǎn)P在假定坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)，而交會(huì)點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差的大小和方向是不因坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而改變的。因此，文章在探討兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)的點(diǎn)位精度時(shí)，仍選擇在假定坐標(biāo)系中討論。把起始點(diǎn)的平面坐標(biāo)看成是無誤差的，對(duì)（1）中兩式進(jìn)行微分得：

（2）

（3）

對(duì)以上兩式進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

（4）

設(shè)P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為？滓P，在X'、Y'坐標(biāo)軸方向的中誤差為？滓■、？滓■則 由（4）兩式根據(jù)誤差傳播定律[2]可得：

（5）

（6）

又由圖2的幾何條件可得：

（7）

將以上兩式分別代入到（5）（6）兩式，再由（7）式計(jì)算可得：

（8）

又因?yàn)閙=m？琢=m？茁為測(cè)角中誤差則：

（9）

由（9）可知，兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)的交會(huì)點(diǎn)點(diǎn)位精度除了測(cè)角中誤差m對(duì)？滓P有影響外，還有圖元要素a、b、？酌也有影響。但為探討交會(huì)角度對(duì)點(diǎn)位精度的影響，根據(jù)正弦定理對(duì)（9）式可得：

（10）

在（10）式中，測(cè)角精度m和SAB在一次交會(huì)測(cè)量中是一定的。因此，影響點(diǎn)位精度的部分為：

（11）

可以求出當(dāng)R取最小值時(shí)，待定點(diǎn)的點(diǎn)位精度最高。因此，以R為目標(biāo)函數(shù)來探討α、β取何值時(shí)，函數(shù)R有最小值?？蛇\(yùn)用求自由極值的數(shù)學(xué)方法。即分別求R對(duì)α、β求偏導(dǎo)得：

（12）

（13）

令■=0，■=0，有：α=β

（14）

（15）

由上式可求得α=β=35°15′52″。則交會(huì)角γ=109°28′16″，R取最小值為0.844。此時(shí)，交會(huì)點(diǎn)的精度最高。

3 結(jié)束語

通過建立假定坐標(biāo)系，推導(dǎo)出了測(cè)角前方交會(huì)的坐標(biāo)計(jì)算和精度探討公式。理論分析了交會(huì)點(diǎn)的精度影響因素，探討了α、β大小不同對(duì)待定點(diǎn)點(diǎn)位精度的影響，能為測(cè)角前方交會(huì)的測(cè)量工作提供一些借鑒。通過文章的探討可得出如下結(jié)論：

（1）在兩點(diǎn)測(cè)角前方交會(huì)中，除了測(cè)角中誤差m對(duì)待定點(diǎn)點(diǎn)位精度有影響外，還有圖元要素a、b、γ也對(duì)之有影響。當(dāng)交會(huì)角γ=109°28′16″且α=β時(shí)，交會(huì)待定點(diǎn)的點(diǎn)位能達(dá)到理論上的最佳精度。

（2）在實(shí)際測(cè)量工作中，應(yīng)保證交會(huì)角γ處于90°附近，當(dāng)γ<90°時(shí)α與β相差越大，R就越小從而待定點(diǎn)的點(diǎn)位精度就越高。當(dāng)γ>90°時(shí)α與β相差越小，R就越小，精度也就越高。

參考文獻(xiàn)

[1]武漢測(cè)繪科技大學(xué)《測(cè)量學(xué)》編寫組.測(cè)量學(xué)（第三版）[M].武漢；測(cè)繪出版社，2000.

[2]武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2006.

[3]郭振平.兩點(diǎn)前方交會(huì)的精度分析[J].輕金屬礦山，2005.