馮 烽

(1.清華大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084; 2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

解釋變量?jī)?nèi)生假定下非參數(shù)空間計(jì)量模型的局部線性工具變量估計(jì)

馮 烽1,2

(1.清華大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084; 2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

為刻畫解釋變量的空間外溢效應(yīng)與變量間的非線性關(guān)系，本文提出了一種非參數(shù)空間計(jì)量模型，并給出了模型含內(nèi)生變量情況下的局部線性工具變量估計(jì)。該估計(jì)方法最大的優(yōu)點(diǎn)是可以同時(shí)獲得偏導(dǎo)數(shù)的估計(jì)，便于進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際分析。數(shù)值模擬結(jié)果表明，局部線性工具變量估計(jì)優(yōu)于核估計(jì)。中國(guó)地區(qū)R&D要素外溢效應(yīng)的實(shí)證結(jié)果顯示，周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出對(duì)本地區(qū)R&D產(chǎn)出具有非線性的正向影響，且周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出的邊際產(chǎn)出存在空間集聚現(xiàn)象，實(shí)證結(jié)論顯示了非參數(shù)空間計(jì)量模型的適用性與合理性。

非參數(shù)；空間計(jì)量；內(nèi)生；局部線性工具變量估計(jì)

1 引言

近年來(lái)，空間計(jì)量模型因打破了個(gè)體相互獨(dú)立的傳統(tǒng)計(jì)量模型假定，其理論與應(yīng)用研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的持續(xù)關(guān)注。Kelejian和Prucha[1]研究了空間自回歸(SAR)模型的廣義矩估計(jì)及其大樣本性質(zhì)；Lee[2]與Kelejian等[3]分別給出了誤差空間相關(guān)的空間自回歸(SARAR)模型的兩階段最小二乘估計(jì)與工具變量估計(jì)；Elhorst[4]考察了空間面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)與識(shí)別問(wèn)題，隨后，Elhorst[5]推導(dǎo)了誤差空間自相關(guān)的固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的極大似然估計(jì)及其性質(zhì)；Su和Yang[6]在Elhorst[5]的基礎(chǔ)上，針對(duì)固定效應(yīng)與隨機(jī)效應(yīng)兩種情形，給出了誤差空間自相關(guān)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的擬極大似然估計(jì)；Lee和Yu[7]則在Elhorst[5]的基礎(chǔ)上考察了更一般的空間動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)固定效應(yīng)模型及其極大似然估計(jì)；郭鵬輝[8]在Lee和Yu[7]的基礎(chǔ)上研究了內(nèi)生初始假定下空間動(dòng)態(tài)固定效應(yīng)模型的擬極大似然估計(jì)；魏傳華和梅長(zhǎng)林[9]針對(duì)半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型給出了后向擬合估計(jì)；José-María等[10]給出了一種帶有非參數(shù)空間趨勢(shì)的SAR模型并提出了模型的P樣條估計(jì)方法；馮烽和葉阿忠[11]提出了一種半?yún)?shù)面板數(shù)據(jù)模型并應(yīng)用于中國(guó)EKC假說(shuō)的實(shí)證研究。

縱觀已有研究，參數(shù)形式的空間計(jì)量模型及其理論研究已取得了很大的進(jìn)展，然而，有關(guān)非參數(shù)空間計(jì)量模型的研究并不多見。由于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中變量之間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系，此時(shí)主觀設(shè)定計(jì)量模型變量間的參數(shù)關(guān)系將會(huì)造成模型設(shè)定及參數(shù)估計(jì)的偏誤。為此，本文提出一種含內(nèi)生解釋變量的非參數(shù)空間計(jì)量模型并給出其局部線性工具變量估計(jì)，該估計(jì)不僅具有良好的漸近性質(zhì)，還可以估計(jì)出經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際分析中被解釋變量關(guān)于解釋變量的偏導(dǎo)數(shù)。

2 模型的建立

本文將解釋變量的空間滯后項(xiàng)引入傳統(tǒng)的非參數(shù)計(jì)量模型，旨在同時(shí)刻畫解釋變量的空間外溢效應(yīng)與變量間可能的非線性關(guān)系。考察如下的橫截面數(shù)據(jù)非參數(shù)空間計(jì)量模型

(1)

其中xi∈Rq為解釋變量列向量個(gè)體i的觀測(cè)值，x1,…,xn相互獨(dú)立，T為轉(zhuǎn)置算子，ωi=(ωi1,…,ωin)為根據(jù)個(gè)體i與其它個(gè)體之間的距離而定義的空間權(quán)重行向量，X=(x1,…,xn)T為n×q的矩陣，G(·)為未知函數(shù)，yi∈R為被解釋變量，ui為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，n為個(gè)體的數(shù)目。

(1)式所表示的非參數(shù)空間計(jì)量模型的含義是：地區(qū)i的被解釋變量不僅受其自身因素的影響，同時(shí)還受到周邊地區(qū)相應(yīng)因素的影響，因此，這類模型具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義。例如，一個(gè)地區(qū)物流業(yè)的發(fā)展水平既受到本地區(qū)交通運(yùn)輸發(fā)展?fàn)顩r的影響，同時(shí)還受到鄰近地區(qū)交通運(yùn)輸發(fā)展?fàn)顩r的影響；再如，某地區(qū)某天的降雨量可以認(rèn)為是本地區(qū)氣候條件以及鄰近地區(qū)氣候條件共同作用的結(jié)果。

3 非參數(shù)空間計(jì)量模型的局部線性工具變量估計(jì)

(2)

為推導(dǎo)估計(jì)量，本文作如下假設(shè)：

假設(shè)1G(·) 及其一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界。

假設(shè)1是使得G(·)能夠進(jìn)行一階Taylor展開，且根據(jù)Stone[12]可得非參數(shù)函數(shù)G(·)估計(jì)的最優(yōu)收斂速度為n-2/(2q+5)；假設(shè) 2 是根據(jù)工具變量的定義要求工具變量必須與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。對(duì)于參數(shù)形式的空間計(jì)量模型的工具變量估計(jì)，Kelejian等[3]建議取解釋變量的空間滯后項(xiàng)(或高階空間滯后)作為工具變量；對(duì)于本文所提出的非參數(shù)計(jì)量模型的局部線性工具變量估計(jì)，可以取解釋變量的空間滯后項(xiàng)(或高階空間滯后)作為工具變量，還可以從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)外尋找合適的工具變量。

(3)

結(jié)合(2)式與(3)式得

(4)

(5)

(6)

將(6)式用矩陣的形式表示如下

(7)

其中Z=(Z1,Z2,…,Zn)

假設(shè)3矩陣ZWxXx可逆。

在假設(shè)3下，由(7)式可得

(8)

即有

(9)

其中e1=(1,0,…,0)T為2q+1維列向量。

4 Monte-Carlo模擬與實(shí)證分析

4.1 Monte-Carlo模擬

為避免非參數(shù)估計(jì)中的“維數(shù)詛咒”問(wèn)題，僅考察xi為一維內(nèi)生變量的情形。假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui(i=1,…,n)獨(dú)立且服從[-0.5,0.5]上的均勻分布，取內(nèi)生變量xi=exp(0.5ui)，被解釋變量的生成過(guò)程為yi=4sinxi+(ωiX)2+ui，其中X=(x1,…,xn)T，取空間鄰接矩陣為Rook相鄰型空間權(quán)重矩陣，ωi為空間權(quán)重矩陣的第i行，空間單元個(gè)數(shù)n分別取25、64、100、225、400進(jìn)行模擬，局部線性工具變量估計(jì)(LLIVE)與核估計(jì)(KE)[14]結(jié)果的均方誤如下

其中右下方數(shù)值和括號(hào)內(nèi)數(shù)值分別是相應(yīng)的樣本量和選取的最優(yōu)窗寬。

各樣本量下采用局部線性工具變量估計(jì)的均方誤均小于核估計(jì)的均方誤，即從擬合的效果看，局部線性工具變量估計(jì)優(yōu)于核估計(jì)；且局部線性工具變量估計(jì)的均方誤基本上隨樣本量的增加而減少，這一結(jié)果支持了局部線性工具變量估計(jì)的漸近正態(tài)性。

4.2 實(shí)證案例分析

為驗(yàn)證模型的合理性與適用性，構(gòu)建非參數(shù)空間計(jì)量模型對(duì)中國(guó)R&D要素投入的空間外溢效應(yīng)進(jìn)行實(shí)證研究。為避免維數(shù)過(guò)高引致收斂慢的問(wèn)題，僅考慮一種要素投入及其溢出效應(yīng)，本文的局部線性工具變量估計(jì)恰好能夠有效解決由于遺漏變量所可能產(chǎn)生內(nèi)生性問(wèn)題。模型設(shè)定如下

yi=G(rdi,ωird)+ui

(10)

其中rdi為地區(qū)i的R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出，rd=(rd1,…,rd31)T，ωi為地區(qū)i與各地區(qū)Rook型鄰接情況的權(quán)重行向量，yi為地區(qū)i的R&D產(chǎn)出，由地區(qū)i的三種專利申請(qǐng)量表示。為避免窗寬過(guò)大，對(duì)被解釋變量與解釋變量均取人均值，數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)科技統(tǒng)計(jì)年鑒(2012)、中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒(2012)。該模型既可以反映技術(shù)創(chuàng)新中的研發(fā)溢出現(xiàn)象[15]，還可以刻畫投入產(chǎn)出復(fù)雜系統(tǒng)的非線性關(guān)系。

局部線性工具變量估計(jì)的MSE最小，OLS次之，核估計(jì)的MSE最大，這表明在該實(shí)證案例中局部線性工具變量估計(jì)優(yōu)于其他兩種估計(jì)方法。根據(jù)實(shí)證結(jié)果，并結(jié)合中國(guó)R&D的地區(qū)差異狀況，分析如下：

(1)中國(guó)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出具有空間外溢效應(yīng)，即本地區(qū)的專利申請(qǐng)量不僅與本地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出有關(guān)，還受到周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出的影響。這是因?yàn)閥關(guān)于rd與ωrd的偏導(dǎo)數(shù)的估計(jì)結(jié)果均為正值表明本地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出的增加以及周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出的增加均能促進(jìn)本地區(qū)R&D的產(chǎn)出。

(2)本地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出與周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出對(duì)本地區(qū)R&D產(chǎn)出的作用機(jī)制不同，其中本地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)對(duì)本地區(qū)R&D產(chǎn)出的影響是線性的，但周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出對(duì)本地區(qū)R&D產(chǎn)出的影響卻是非線性的。這是因?yàn)楸镜貐^(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)的邊際產(chǎn)出?y/?(rd)的地區(qū)差異不大，這與線性模型中rd系數(shù)的p值小于5%一致，而周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)對(duì)本地區(qū)的邊際產(chǎn)出?y/?(ωrd)卻存在較大的地區(qū)差異，線性模型中ωird系數(shù)的p值大于5%也支持了這一結(jié)論。

(3)周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)支出對(duì)本地區(qū)R&D的邊際產(chǎn)出存在空間集聚現(xiàn)象。其中天津、遼寧、上海、江蘇、浙江、福建、山東等東部沿海省份對(duì)周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)的轉(zhuǎn)化能力較高；貴州、云南、西藏、甘肅、青海等西部地區(qū)對(duì)周邊地區(qū)R&D內(nèi)部經(jīng)費(fèi)的轉(zhuǎn)化能力則較低。

5 研究結(jié)論

本文構(gòu)建的非參數(shù)空間計(jì)量模型結(jié)合了空間計(jì)量模型與非參數(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)，針對(duì)模型所給出的局部線性工具變量估計(jì)具有良好的漸近性質(zhì)和經(jīng)濟(jì)意義，并且能夠有效避免變量的內(nèi)生性問(wèn)題，數(shù)值模擬結(jié)果表明局部線性工具變量估計(jì)優(yōu)于核估計(jì)，對(duì)中國(guó)地區(qū)R&D投入產(chǎn)出的實(shí)證計(jì)量研究驗(yàn)證了本文模型的適用性與合理性。

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Local Linear Instrumental Variable Estimation of a Nonparametric Spatial Model Under Endogenous Explanatory Variable Assumption

FENG Feng1,2

(1.SchoolofEconomicsandManagement,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China; 2.SchoolofInformationandStatistics,GuangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanning530003,China)

This paper proposes a nonparametric spatial model to capture the spatial spillover effect of explanatory variable and the nonlinear relationship in variables, as well as proposes a local linear instrumental variable estimation for the nonparametric spatial model with endogenous explanatory variable. As an advantage of this estimation method, it can estimate the partial derivative, which facilitates marginal analysis in economics. The numerical simulation results show that local linear instrumental variable estimation is superior to kernel estimation. The empirical results of R&D element spillover effect show that R&D intramural expenditure of neighborhood regions has a nonlinear positive influence on R&D output, and the marginal output of R&D intramural expenditure from neighborhood regions appears spatial agglomeration phenomenon. The empirical results also validate the applicability and rationality of the nonparametric spatial model.

nonparametric; spatial econometrics; endogenous; local linear instrumental variable estimation

2014- 06- 03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171057)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014GXNSFBA118011);廣西高?？蒲匈Y助項(xiàng)目(ZD2014120);廣西數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科開放性課題(2014YBKT01);廣西高校數(shù)理金融高水平創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)及卓越學(xué)者計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014CXTD17)

O212

A

1003-5192(2015)03- 0057- 04

10.11847/fj.34.3.57