☉吉林省延邊第二中學(xué) 張孝梅

《解后思，思什么？》的再思考

☉吉林省延邊第二中學(xué) 張孝梅

文1從審題過(guò)程、解題過(guò)程、解題方法、一題多解四個(gè)方面系統(tǒng)地闡述了解題后進(jìn)行反思，可以收到事半功倍的效果.拜讀文章以后，還有一種余興未盡的感覺(jué).由長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐感覺(jué)到：解題后如果能從問(wèn)題的本質(zhì)、規(guī)律的探究、數(shù)學(xué)思想的整合等方面進(jìn)一步反思、探索，學(xué)生的思維可以在解題后繼續(xù)飛翔，更是一件錦上添花的事.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中的解題案例，續(xù)談對(duì)《解后思，思什么？》的再思考.

一、反思問(wèn)題的本質(zhì)——挖掘思維潛能

解題后，在了解知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，能否對(duì)其中所蘊(yùn)含的問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行深入的探究？能否把問(wèn)題所蘊(yùn)含的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”？通過(guò)進(jìn)一步地探索，學(xué)生可以在系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的本質(zhì)特征，進(jìn)一步挖掘出學(xué)生思維的潛能.

解析：由①知函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，由②知函數(shù)f（x）的周期為4，由③知函數(shù)f（x）在［1，3］上單調(diào)遞減，所以容易得到f（2014）=f（2），f（2015）=f（3），f（2016）=f（4）=f（0）=f（2），由圖像選出正確答案C.

反思：圖像是幫助解決問(wèn)題的有力工具，而對(duì)于此題在畫(huà)圖像時(shí)學(xué)生感到最大的障礙就是面對(duì)①和②兩個(gè)等式，如何區(qū)別周期和對(duì)稱(chēng)性，若能夠迅速辨析等式的本質(zhì)特征，問(wèn)題可迎刃而解.解題后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考、探究：在常見(jiàn)的抽象函數(shù)等式中，你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于周期和對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的本質(zhì)特征嗎？學(xué)生的思維潛能是無(wú)限的，只要善于挖掘，就一定有收獲.

二、反思解題規(guī)律——實(shí)現(xiàn)思維遷移

對(duì)于某一具體問(wèn)題的解答往往不是困難的事，感覺(jué)困難的是能否對(duì)一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行尋根問(wèn)底，探索其一般性的結(jié)果，能否嘗試、發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性的東西.如果能夠形成自己獨(dú)到的見(jiàn)解，盡管是點(diǎn)滴的小發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感.長(zhǎng)期積累成自然，更有利于促進(jìn)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)學(xué)生有效思維的遷移.

例2數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=2，an+1=2an+2，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解析：觀察遞推公式的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行變形：an+1+ 2=2（an+2），由此，將問(wèn)題化歸為：數(shù)列｛an+2｝是一個(gè)以4為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，易得an=2n+1-2.

變式1：數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1.

變式2：數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足an+1=pan+q（p≠1），求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

反思：以上問(wèn)題的結(jié)構(gòu)有什么共同特征？如何將數(shù)列化歸為等比數(shù)列？能夠發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律嗎？學(xué)生借鑒前面成功的經(jīng)驗(yàn)，分析式子的特點(diǎn)，將原式變形為an+1+數(shù)列｛an+t｝是以a1+t為首項(xiàng)、p為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an.學(xué)生在自我探索的過(guò)程中，明白了用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等比數(shù)列的一般性規(guī)律，其中t的值自然也就不用死記硬背了.

三、反思數(shù)學(xué)思想——提煉思維精髓

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是精髓，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.因此，解題后如果能夠在深入探討知識(shí)間的聯(lián)系，反思一類(lèi)問(wèn)題通用解法的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，更有利于提煉學(xué)生思維的精髓.

例3如圖1，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，D1為A1C1的中點(diǎn).

（1）求證：BC1∥平面AB1D1；

（2）求證：平面AB1D1⊥平面AA1C1C.

解析：（1）方法1：依據(jù)線面平行的判定定理，證出D1E∥BC1（E為AB1的中點(diǎn)），從而得出結(jié)論；

方法2：依據(jù)面面平行的性質(zhì)，構(gòu)造平面BC1D∥平面AB1D1，得出結(jié)論.

（2）依據(jù)面面垂直的判定定理，由正三棱柱證得B1D1⊥平面AA1C1C，進(jìn)而證得平面AB1D1⊥平面AA1C1C.

反思：此題為直線與平面關(guān)系中關(guān)于平行與垂直的論證問(wèn)題，突出體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（圖2為直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直轉(zhuǎn)化的結(jié)構(gòu)框架），但學(xué)生愿意以題解題，而不習(xí)慣對(duì)其數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉，事實(shí)上學(xué)生在解題的同時(shí)，注重規(guī)律方法的總結(jié)和數(shù)學(xué)思想的滲透，是訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)解題的有效途徑，更是提煉思維精髓的體現(xiàn).

圖1

圖2

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”.所謂回顧，即我們現(xiàn)在說(shuō)的反思.總之，解題后注重反思、善于反思，既可促進(jìn)“雙基”的掌握，又能加強(qiáng)知識(shí)的有效遷移，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，是提高解題能力、學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的重要途徑.

1.成雪蘭.解后思，思什么？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（12）.A