趙芳芳，賈翔宇，許作良

（中國(guó)人民大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100872）

【統(tǒng)計(jì)理論與方法】

CIR模型參數(shù)校準(zhǔn)的極大似然法

趙芳芳，賈翔宇，許作良

（中國(guó)人民大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100872）

針對(duì)CIR模型，利用Nowman方法得到近似轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，同時(shí)假設(shè)零息債券的市場(chǎng)價(jià)格與理論價(jià)格之間存在高斯誤差，構(gòu)造權(quán)重函數(shù)，應(yīng)用加權(quán)極大似然方法對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了方法的有效性。

CIR模型；零息債券；加權(quán)極大似然方法

一、引 言

利率是自由金融市場(chǎng)中最基本也是最敏感的經(jīng)濟(jì)變量之一，幾乎所有的金融現(xiàn)象和活動(dòng)都和利率相關(guān)，而且其衍生產(chǎn)品交易非常活躍，如債券（包括零息和付息債券）、利率互換、債券期權(quán)等。隨著利率市場(chǎng)化進(jìn)程的不斷推進(jìn)，短期利率成為固定收益證券及利率衍生產(chǎn)品定價(jià)和企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)管理不可缺少的工具，因此對(duì)短期利率隨機(jī)行為進(jìn)行研究的重要性日益突出。為刻畫(huà)短期利率的隨機(jī)行為，學(xué)者們?cè)谘芯恐幸腚S機(jī)微分方法，從利率期限結(jié)構(gòu)的角度描述短期利率的動(dòng)態(tài)過(guò)程。如何建立利率模型或有效刻畫(huà)利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化的特征，進(jìn)而對(duì)利率的未來(lái)變化進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測(cè)，一直是當(dāng)前金融領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。到目前為止，許多利率模型被提出并得到廣泛應(yīng)用。一般地，假設(shè)短期利率為r，利用下面的隨機(jī)微分方程建立利率模型:

dr=μ（r,t）dt+σ（r,t）dZ（t）

（1）

不同的利率模型選取的漂移項(xiàng)或擴(kuò)散項(xiàng)不同，其中被廣泛應(yīng)用的最簡(jiǎn)單利率模型是單因子模型。1973年Merton通過(guò)假設(shè)利率動(dòng)態(tài)變化是一帶有漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)，最早提出了利率模型，即：

dr=μdt+σdZ（t）

（2）

其中μ,σ為常數(shù)。1977年Vasicek提出了以下具有均值回復(fù)特征的利率模型：

dr=a（θ-r）dt+σdZ（t）

（3）

其中a,θ,σ為常數(shù)，a是均值回復(fù)速率，θ是利率的長(zhǎng)期均值水平[1]。1985年Cox等人對(duì)Vasicek模型進(jìn)行了改進(jìn)，克服了Vasicek模型中利率可能為負(fù)的理論缺陷，認(rèn)為短期利率服從隨機(jī)微分方程：

（4）

其約束條件為2aθ≤σ2，保證了利率一定非負(fù)，該模型簡(jiǎn)稱為CIR模型[2]。CIR模型的一個(gè)重要特征是利率的波動(dòng)率不再是常數(shù)，而是利率的增函數(shù)，即當(dāng)利率上升時(shí)，其波動(dòng)程度也隨之加強(qiáng)。

至今，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已從多角度對(duì)利率進(jìn)行了研究，并陸續(xù)提出了幾十種描述利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化的模型。研究者們不斷地嘗試或推廣利率模型的主要?jiǎng)訖C(jī)是希望給出一個(gè)合適的模型，能夠真實(shí)地刻畫(huà)市場(chǎng)上的數(shù)據(jù)信息，從而能夠更好地對(duì)其衍生產(chǎn)品定價(jià)和進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量，這就導(dǎo)致了隨機(jī)利率模型中參數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題的產(chǎn)生。所謂校準(zhǔn)問(wèn)題就是由一組已知數(shù)據(jù)來(lái)確定參數(shù)的值，通常將標(biāo)的資產(chǎn)及其衍生產(chǎn)品的價(jià)格在一系列已知時(shí)刻的觀測(cè)值作為已知數(shù)據(jù)。因此，利率模型中的參數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題是指由利率及其衍生產(chǎn)品市場(chǎng)價(jià)格的時(shí)間序列來(lái)確定參數(shù)的值。本文基于利率和零息債券的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，考慮CIR模型中的參數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題。

隨著參數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題的發(fā)展，很多有效并可行的校準(zhǔn)方法應(yīng)運(yùn)而生，如正則化方法、極大似然法、最優(yōu)化方法、核估計(jì)方法等[3-6]。眾所周知，極大似然方法具有一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性的特點(diǎn)?？紤]到方法的穩(wěn)定性和有效性，極大似然法被廣泛用來(lái)進(jìn)行隨機(jī)利率模型的參數(shù)估計(jì)，并取得了顯著性的發(fā)展。2002年Durham等人以CIR模型為例比較了計(jì)算隨機(jī)微分方程似然函數(shù)的多種數(shù)值方法，給出了偏差減小和方差縮減技術(shù)，另外還將估計(jì)方法擴(kuò)展應(yīng)用于隨機(jī)波動(dòng)率模型中[7]。2003年Hurn等人給出了隨機(jī)微分方程參數(shù)估計(jì)的模擬極大似然方法，針對(duì)幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和CIR模型，將結(jié)果與其它估計(jì)結(jié)果作比較，并通過(guò)用美國(guó)3個(gè)月財(cái)政數(shù)據(jù)對(duì)單因子利率期限結(jié)構(gòu)模型做實(shí)證分析，證明了方法的有效性[8]。2009年Tang等人針對(duì)Vasicek模型和CIR模型，分別給出參數(shù)的極大似然估計(jì)量和由Nowman方法得到的偽極大似然估計(jì)量，由估計(jì)量的偏差及方差的展開(kāi)式說(shuō)明漂移項(xiàng)比擴(kuò)散項(xiàng)的估計(jì)更為困難，并用Bootstrap過(guò)程進(jìn)行了參數(shù)偏差修正[9]?；跇O大似然方法，本文通過(guò)假設(shè)零息債券的市場(chǎng)價(jià)格與理論價(jià)格之間存在高斯誤差，構(gòu)造權(quán)重函數(shù)，利用加權(quán)極大似然方法討論了CIR模型中參數(shù)的校準(zhǔn)問(wèn)題，從而使校準(zhǔn)得到的模型不僅能更好地刻畫(huà)利率的期限結(jié)構(gòu)，更能準(zhǔn)確地為其衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。

二、利率與零息債券定價(jià)模型

（5）

其中a為均值回復(fù)速率，θ/a為利率的長(zhǎng)期均值水平，2θ≥σ2，θ和σ2均為待估參數(shù)。

基于該模型，令η={θ,σ2}，在時(shí)刻t，到期日為T(mén)，面值為1單位的零息債券價(jià)格P（t,r;η）為：

P=

（6）

（7）

終值條件為P（T,r;η）=1?；谖墨I(xiàn)[11]的結(jié)果，偏微分方程（7）存在一類仿射性結(jié)構(gòu)解，即：

P（t,r;η）=exp（A（t）-rB（t））

（8）

將上式代入式（7），得到A（t）,B（t）滿足以下常微分方程：

A′（t）-θB（t）=0，A（T）=0

（9）

（10）

求解方程（9）和（10），得到：

（11）

三、加權(quán)極大似然方法

利用極大似然方法進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)，關(guān)鍵在于求解模型的條件概率密度或轉(zhuǎn)移密度函數(shù)。關(guān)于轉(zhuǎn)移密度函數(shù)近似求解的方法有很多，如Euler法、SMLE法、Hermite法、Nowman方法等。盡管對(duì)于CIR模型，其真實(shí)的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)是已知的，但由于計(jì)算的復(fù)雜性，本文利用Nowman方法求解其近似轉(zhuǎn)移密度函數(shù)[12]。

在時(shí)間點(diǎn)t0

（12）

其中εi滿足條件：

E（εi）=0E（εiεj）=0（i≠j）

（13）

f（ri+1|ri,η）

（14）

由此可得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

（15）

其中M={（θ,σ2）|2θ>σ2}。由于當(dāng)觀察次數(shù)足夠多時(shí)，意味著lnf（r0,η）的權(quán)重很小，因此在實(shí)際的估計(jì)過(guò)程中，往往將上式中的第一項(xiàng)省略。求解L（η）的最大化，便可得到參數(shù)η的估計(jì)值。

Tang和Chen利用上述方法給出了CIR模型中參數(shù)的估計(jì)值及其漸進(jìn)分析[9]。然而，此類方法局限于僅利用市場(chǎng)中的利率數(shù)據(jù)（如Euribor，Libor，Shibor）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和實(shí)證分析，而實(shí)際市場(chǎng)中與利率密切相關(guān)的衍生產(chǎn)品的交易非常活躍，如債券、利率互換等，且其市場(chǎng)價(jià)格可以直接觀測(cè)到，因此考慮將短期利率和零息債券市場(chǎng)價(jià)格的時(shí)間序列作為已知數(shù)據(jù)來(lái)校準(zhǔn)CIR模型中的參數(shù)η。

（16）

g（ri+1|ri,η）

i=0,1,…,n-1

（17）

綜合式（15）和式（17）得到CIR模型的加權(quán)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

將式（8）代入上式，并省略常數(shù)項(xiàng)得到:

通過(guò)求解F（η）最大化，可以得到參數(shù)η的估計(jì)值，即:

（18）

從F（η）的表達(dá)式可以看出，加入權(quán)重函數(shù)式（17）的目的是對(duì)于能夠較好擬合零息債券市場(chǎng)價(jià)格的點(diǎn)，賦予權(quán)重大一些。相反，對(duì)于那些與零息債券的觀測(cè)數(shù)據(jù)差距較大的點(diǎn)，則賦予的權(quán)重要小一些。

四、數(shù)值實(shí)驗(yàn)

（19）

下面給出具體的數(shù)值計(jì)算方法。

不失一般性，本文取等距的離散時(shí)間點(diǎn)t0

對(duì)于Nowman方法，隨著時(shí)間間隔不斷減小，得到的轉(zhuǎn)移概率密度近似值與真實(shí)的轉(zhuǎn)移密度差距會(huì)越來(lái)越小，因此參數(shù)的校準(zhǔn)值與真實(shí)值之間的差距也會(huì)越?。欢鴮?duì)于極大似然方法來(lái)說(shuō)，隨著樣本量的增加，參數(shù)校準(zhǔn)值與真實(shí)值的差距也將越小。下面將分別從時(shí)間間隔、樣本容量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析。

表1 不同θ,σ2對(duì)應(yīng)的數(shù)值結(jié)果

從表1中可以看出，當(dāng)取φ=10-3P不變時(shí)，以上不同情況下對(duì)于θ和σ2兩個(gè)參數(shù)的校準(zhǔn)結(jié)果基本接近于其真實(shí)值。一方面，當(dāng)樣本容量N固定時(shí)，隨著時(shí)間間隔Δ的不斷減小，參數(shù)校準(zhǔn)值越來(lái)越接近真實(shí)值，但當(dāng)N較小時(shí)，其代價(jià)是根均值誤差會(huì)增大，只有當(dāng)樣本容量達(dá)到200時(shí)，均方誤差越來(lái)越小；另一方面，當(dāng)時(shí)間間隔Δ不變時(shí)，隨著樣本容量的不斷增加，參數(shù)校準(zhǔn)值基本上越接近于真實(shí)值，且均方誤差逐漸減小，因此比較而言當(dāng)N=200,Δ=0.01時(shí)具有較好的數(shù)值結(jié)果。

另外，由于零息債券的市場(chǎng)數(shù)據(jù)通過(guò)表達(dá)式P=PM+u生成，其中u是服從均值為0，方差為φ的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，因此為了考慮不同的噪聲，表2表示的是當(dāng)樣本容量N固定，針對(duì)不同的Δ分別選取φ=10-2P,10-3P,10-4P三種情況下參數(shù)的校準(zhǔn)結(jié)果。

從表2中可以看出，參數(shù)校準(zhǔn)的數(shù)值結(jié)果基本是穩(wěn)定的，但比較而言，當(dāng)φ=10-3P時(shí)，具有更好的數(shù)值結(jié)果。

五、結(jié) 論

基于利率和零息債券價(jià)格的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，本文給出了CIR模型中參數(shù)校準(zhǔn)的極大似然方法。通過(guò)假設(shè)零息債券的市場(chǎng)價(jià)格與理論價(jià)格之間存在高斯誤差，構(gòu)造權(quán)重函數(shù)，從而得到加權(quán)對(duì)數(shù)似然函數(shù)，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了方法的可行性。該方法使校準(zhǔn)得到的利率模型不僅能夠有效地刻畫(huà)利率的期限結(jié)構(gòu)，也能準(zhǔn)確地為利率衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，具有一定的實(shí)際意義。同時(shí)，該方法可以廣泛應(yīng)用于其他利率模型的參數(shù)校準(zhǔn)。

[1]VasicekO.AnEquilibriurmCharacterizationoftheTermStructure[J].JournalofFinancialEconomics, 1977,5（2）.

[2]CoxJC,IngersollJE,RossSA.ATheoryoftheTermStructureofInterestRates[J].Econometrica, 1985,53（2）.

[3] 江良，徐承龍． 非高斯單因子短期利率模型正則化參數(shù)估計(jì)[J]．計(jì)算物理，2012，29（6）．

[4] 江良，忻丁耀．基于正則化方法的Hull-White短期利率模型參數(shù)估計(jì)[J]．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，40（10）．

[5] 楊柳，俞建寧，鄧醉茶，等． 一個(gè)關(guān)于零息票定價(jià)的反問(wèn)題[J]．四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，44（6）．

[6] 張玉貴，蘇云鵬，楊寶臣．基于Vasicek和CIR模型的SHIBOR期限結(jié)構(gòu)實(shí)證分析[J]．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009，24（6）．

[7]DurhamGB,GallantAR.NumericalTechniquesforMaximumLikelihoodEstimationofContinuousTimeDiffusionProcesses[J].JournalofBusinessandEconomicStatistics,2002,20（3）.

[8]HurnAS,LindsayKA,MartinVL.OntheEfficacyofSimulatedMaximumLikelihoodforEstimatingtheParametersofStochasticDifferentialEquations[J].JournalofTimeSeriesAnalysis, 2003, 24（1）.

[9]TangCY,ChenSX.ParametersEstimationandBiasCorrectionforDiffusionProcesses[J].JournalofEconometrics, 2009,149（1）.

[10]HullJ,WhiteA.PricingInterestRateDerivativeSecurities[J].TheReviewofFinancialStudies, 1990,3（4）.

[11]DuffieD,KanR.AYield-FactorModelofInterestRates[J].MathematicalFinance, 1996,6（4）.

[12]NowmanKB.GaussianEstimationofSingleFactorContinuousTimeModelsoftheTermStructureofInterestRates[J].JournalofFinance, 1997,52（4）.

（責(zé)任編輯：崔國(guó)平）

A Maximum Likelihood Method for Calibrating the Parameters of CIR Model

ZHAO Fang-fang，JIA Xiang-yu，XU Zuo-liang

（School of Information， Renmin University of China, Beijing 100872, China）

For CIR model, we obtain approximate transition density function by using Nowman's method and construct weight function by supposing there exists a Gaussian error between the theoretical and market prices of zero-coupon bonds.Then applying the weighted maximum likelihood method, we calibrate the parameters of the model.Finally, numerical simulations are carried out to confirm effectiveness of the method.

CIR model；zero-coupon bond；weighted maximum likelihood method

2015-04-24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《金融中的反問(wèn)題及數(shù)值計(jì)算》（11171349）

趙芳芳，女，山東新泰人，博士生，研究方向：反問(wèn)題與金融計(jì)算； 賈翔宇，男，河北唐山人，博士生，研究方向：反問(wèn)題與金融計(jì)算； 許作良，男，遼寧新金人，理學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：反問(wèn)題及其應(yīng)用，金融計(jì)算。

O242.1∶F830.91

A

1007-3116（2015）09-0003-05