☉甘肅省酒泉市第四中學(xué) 徐玉慶

中、新兩國(guó)初中數(shù)學(xué)習(xí)題綜合難度比較研究
——以人教版、新加坡教材中“三角形有關(guān)的角”為例

☉甘肅省酒泉市第四中學(xué) 徐玉慶

一、引言

目前國(guó)內(nèi)在綜合難度模型方面的研究還不是很多，尤其是將綜合難度模型應(yīng)用在國(guó)際比較教育方面還不常見(jiàn)，比較典型的有學(xué)者鮑建生、史寧中等對(duì)初中數(shù)學(xué)教材難度進(jìn)行了定量分析，建立了課程難度模型；賈隨軍在鮑建生、史寧中建立的“探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量五個(gè)因素的基礎(chǔ)上”進(jìn)行了微調(diào)，同時(shí)對(duì)中國(guó)與美國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中“三角形有關(guān)的角”中的習(xí)題進(jìn)行了難度模型比較.本文將在賈隨軍教授的基礎(chǔ)上，對(duì)中國(guó)、新加坡兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中的“三角形的有關(guān)角”的習(xí)題進(jìn)行難度模型比較.首先，統(tǒng)計(jì)各因素上每個(gè)水平層次中的習(xí)題的題量及百分比；其次，根據(jù)等級(jí)權(quán)重利用下面的公式計(jì)算中、新教材在每個(gè)因素上的加權(quán)平均（i=1、2、3、4、5）分別為“認(rèn)知”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”五個(gè)難度因素上的取值；dij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平權(quán)重（水平分別取1、2、3、…）；nij則表示這組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n.根據(jù)分析和計(jì)算我們得到表2所示的分析數(shù)據(jù).

二、樣本選取

在考慮到購(gòu)買(mǎi)教材的便利性的基礎(chǔ)上，選取了人教版教材、New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）Singapore來(lái)進(jìn)行比較研究.

表1 ：樣本教材及習(xí)題總數(shù)

本文中的習(xí)題包含中國(guó)教材“三角形的有關(guān)角”中的“合作探究”“練習(xí)”“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合應(yīng)用”“拓廣探索”等；新加坡教材“三角形有關(guān)的角”中的“例題（Example）”“練習(xí)（Exercise 6C、6D）”.從表1中統(tǒng)計(jì)的習(xí)題數(shù)量上可以看出，人教社教材和新加坡教材中的習(xí)題數(shù)量基本一樣.

三、綜合難度模型

表2 ：兩國(guó)數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度數(shù)據(jù)分析

1.數(shù)學(xué)認(rèn)知因素水平的差異性

兩種教材在“理解”因素上差異性不是很大，“運(yùn)用”因素水平的習(xí)題數(shù)據(jù)表明，人教社教材比新加坡教材高出約5個(gè)百分點(diǎn)；對(duì)于“分析”因素水平的習(xí)題，人教社教材比新加坡教材低了2個(gè)百分點(diǎn).

人教社教材對(duì)于習(xí)題的處理更加“整體化”“綜合化”，如圖1（教材第82頁(yè)）所示，直接給出所有的條件，計(jì)算∠BAC的度數(shù)，所以學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中就要將問(wèn)題“碎片化”，從而建立解題策略，“分析”水平相對(duì)較高，新加坡教材的“分析”水平相對(duì)也很高（如圖2，教材第189頁(yè)），但是新加坡教材也有自己的特點(diǎn)，對(duì)于題目的處理也具有“低起點(diǎn)”“碎片化”的特點(diǎn).

圖1

圖2

2.背景因素的水平的差異性

人教社教材比新加坡教材高約12個(gè)百分點(diǎn).在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)新加坡教材沒(méi)有一道題目有背景，全部習(xí)題都是純粹的數(shù)值和符號(hào)運(yùn)算.

3.運(yùn)算因素的水平比較

在運(yùn)算水平上，兩個(gè)國(guó)家的分析走勢(shì)基本上相同，兩種教材的主要運(yùn)算形式是“數(shù)值運(yùn)算”，“無(wú)運(yùn)算”習(xí)題的比例都很低.而在“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”中，新加坡教材比人教社教材高約17個(gè)百分點(diǎn).

4.推理因素的水平的差異性

兩種教材中“無(wú)推理”因素水平的習(xí)題所占比例并沒(méi)有明顯的差異，人教社教材中沒(méi)有無(wú)推理的題目；屬于“簡(jiǎn)單推理”水平的習(xí)題相差也不是很大，從統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材對(duì)于習(xí)題的推理要求都很高，我們發(fā)現(xiàn)，人教社教材對(duì)習(xí)題的推理水平是兩種教材中較高的.

5.綜合知識(shí)因素的水平的差異性

對(duì)于“1個(gè)知識(shí)點(diǎn)”和“2個(gè)知識(shí)點(diǎn)”，兩種教材的要求基本一致，但是，對(duì)于“3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)”習(xí)題的要求不同，人教社教材比新加坡教材高出近9個(gè)百分點(diǎn).

6.綜合難度的比較

前面我們已經(jīng)通過(guò)五個(gè)難度因素對(duì)三種教材進(jìn)行了詳細(xì)比較，在此基礎(chǔ)上我們將利用綜合難度模型綜合難度值.通過(guò)對(duì)表2中加權(quán)平均值的統(tǒng)計(jì)，得到下面的雷達(dá)圖（如圖3）.

圖3 ：兩種教材的綜合難度模型

如圖3所示，在認(rèn)知水平方面，人教社教材和新加坡教材基本一致；在背景方面，人教社教材含背景的習(xí)題比新加坡教材的要多，而且從圖中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)五邊形在背景方面都有向內(nèi)傾的趨勢(shì)，說(shuō)明在教材習(xí)題的設(shè)計(jì)上關(guān)于實(shí)際背景的題目偏少；在運(yùn)算水平方面，新加坡教材相對(duì)較高；在推理方面，人教社教材較高；在知識(shí)含量方面，人教社教材基本上每個(gè)題目都包含2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，3個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題數(shù)量也是遠(yuǎn)高于新加坡教材的.

四、啟示

首先，中國(guó)和新加坡教材對(duì)學(xué)生的綜合推理能力要求都較高.新加坡教材處理習(xí)題更加注重層次化、碎片化，即將一個(gè)綜合問(wèn)題分解成若干小問(wèn)題，這和目前國(guó)內(nèi)通用的導(dǎo)學(xué)案有相同之處，意在引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題.人教社教材更注重推理的綜合化、模塊化，對(duì)學(xué)生綜合能力的要求相對(duì)較高.所以新加坡教材對(duì)于習(xí)題的處理方面值得中國(guó)教材借鑒.

其次，在背景因素水平方面，新加坡教材完全是單一的數(shù)值符號(hào)運(yùn)算，沒(méi)有一道題目有實(shí)際背景；同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在習(xí)題背景的設(shè)計(jì)上有著相同之處，大部分題目都是直接的推理計(jì)算，沒(méi)有給出題目的實(shí)際生活背景.所以我們?cè)诮滩牧?xí)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中，要更加注重教材和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到知識(shí)來(lái)源于生活，同時(shí)服務(wù)于生活，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有用的知識(shí).

最后，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在“運(yùn)算”“推理”方面有共同之處，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力，更加注重學(xué)生的運(yùn)算推理能力；但是新加坡教材則注重問(wèn)題的引導(dǎo)及問(wèn)題的生活化，每道題目起點(diǎn)都比較低，學(xué)生利用簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理就能解決，對(duì)于復(fù)雜的題目也是以同樣的處理方式，新加坡教材的大部分題目也是起點(diǎn)比較低，易于學(xué)生嘗試去解決，值得中國(guó)初中數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)借鑒.

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*本文是重慶市渝中區(qū)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度重點(diǎn)課題“人教版初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中旁白的研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2013-001，課題負(fù)責(zé)人：黃益全）的研究成果.