潘文浩，劉士和

（武漢大學 水利水電學院，湖北 武漢 430072）

管壁均勻密集加糙圓管流的新總流機械能方程及流動數(shù)值模擬

潘文浩，劉士和

（武漢大學 水利水電學院，湖北 武漢 430072）

能量（機械能）方程是水力學的理論基礎；能量損失（機械能損失）的計算既是水力學乃至工程流體力學的主要研究內容之一，也是工程實際中頗為關注的問題。以往水力學中的能量方程系以重力場中理想不可壓縮流體的伯努利方程為基礎而得到，其既不能直接反映紊動對流動的作用，能量損失也無明確的表達式。本文在我們現(xiàn)有研究工作基礎上，通過理論分析與數(shù)值模擬，得到如下成果：（1）構建了管壁均勻密集加糙圓管流的新總流機械能方程；（2）通過數(shù)值模擬，對管壁均勻密集加糙圓管流的機械能損失及其構成進行了研究。構建的方程包含了紊動的作用；研究成果表明，均勻密集加糙圓管流總流機械能損失與雷諾數(shù)及管壁光滑度有關，且可分解為與時均流速梯度相關的損失及與紊動耗散相關的損失兩部分。

圓管流；均勻密集加糙；機械能損失；紊流

1 研究背景

能量方程（機械能方程）是水力學的理論基礎之一，能量損失的確定既是水力學及工程流體力學的重要內容，也是工程實際中頗為關注的問題。實際工程中管道的管壁總有一定的絕對粗糙度，因此，研究管壁均勻密集加糙條件下的總流機械能方程及機械能損失具有較高的理論意義與工程價值。

目前水力學中的總流能量方程是以重力場中理想不可壓縮流體恒定流沿流線的伯努利方程為基礎，通過修正而得到的，其思路及推導步驟如下：（1）引入微元流、總流、過水斷面等概念，將總流視為由眾多微元流構成；（2）引入沿流線的伯努利方程描述微元流機械能的沿程變化，并在其基礎上引入微元流的水頭損失來反映理想水體與實際水體運動的差異；（3）將微元流的能量方程沿過水斷面積分，得到實際水體的總流能量方程。從水動力學的角度來看，由此得到的總流能量方程在理論上不嚴謹；不能直接反映紊動對流動的作用；也無法直接給出機械能損失的表達式，因此對機械能損失不得不通過實驗等方法來進行研究。自著名的尼古拉茲實驗［1］以來，人們對管道的流動阻力及機械能轉化與損失進行了大量的實驗研究，積累了豐富的經(jīng)驗。Colebrook［2］對不同粗糙方式的管道阻力系數(shù)進行了實驗研究，并與已有研究成果進行了比較。Brown［3］總結了管流Darcy-Weisbach公式的發(fā)展歷史。McKEON等［4］對充分發(fā)展管流的阻力系數(shù)進行了實驗研究，得出了統(tǒng)一的阻力系數(shù)關系式，與已有成果吻合較好。賀益英［5］等對彎管的局部阻力系數(shù)進行了試驗研究，推薦了常用的圓弧彎管、多片組合彎管局部阻力系數(shù)經(jīng)驗公式。我們曾經(jīng)過理論分析，對圓管與明渠中均質不可壓縮液體的恒定總流建立了新的機械能方程，并對機械能損失進行過研究，解決了上述問題［6-7］，但限于討論光滑壁面上的流動。本文通過理論分析與數(shù)值模擬，對管壁均勻密集加糙條件下圓管流的總流機械能方程與機械能損失進行了研究。

2 均勻密集加糙恒定圓管流的新總流機械能方程

考慮如圖1所示的控制體V內的圓管中的恒定（系綜平均意義上）流動，該控制體由相距 L的兩斷面 A1、A2及管壁A3所構成，以S表示由A1、A2與A3構成的控制體V的表面，以θ表示管軸線（x1軸）與水平方向的夾角，對重力場中密度為ρ的水體，其控制方程為［8］

對于粗糙管壁內的流動，由于管壁高低不平，雖然在單個粗糙元表面，流速必須為零，當在不同的斷面及同一斷面的不同點處，管壁的凹凸不平使流速為零的點未必在同一徑向位置，通常采用理論零點位置的調整來反映管壁的粗糙效應［9］。以d表示圓管有效直徑；以Δ與r′分別表示管壁的絕對粗糙度及理論零點位置與粗糙體頂部之間的距離，r′=αΔ。則在管壁A3處時均流速的邊界條件變?yōu)?/p>

對式（1）在控制體V上進行積分，并利用高斯定理將相應的體積分項轉化為面積分項，得到

圖1 粗糙管壁上的管流示意圖

式（2）中ni為表面S上沿外法線方向的單位向量；ρF表示時均壓強pˉ與靜壓強 ps的偏差，也即。類似文獻［6-7］的討論，根據(jù)靜壓沿斷面分布的特性，利用管壁處時均流速的邊界條件及恒定流的連續(xù)方程得到

式中：g為重力速度；z、ps分別表示相應斷面上的某點距離基準面（水平面）的垂向距離及相應的靜壓強。以A、U分別表示相應斷面上的斷面面積及相應的斷面平均流速；以下標1、2分別表示斷面A1、A2的特征量，并定義動能修正系數(shù)α1、α2分別為

我們得到

因此，如果我們定義

則式（2）可進一步簡化為

式（4）即為管壁均勻密集加糙的恒定圓管流的總流機械能方程，式中hT為相應斷面上動水與靜水的表面力勢能差，我們將其簡稱為動靜勢能差；hw表示單位時間單位重量水體由斷面A1流到A2的機械能損失，由式（3c）可知其總為正值，因此，當水體由斷面A1流到A2時，其機械能是減少的。式（4）與文獻［8］中光滑壁面上的總流機械能方程在形式上是一致的，但在斷面概化、機械能損失的計算等則有所不同。對管壁均勻密集加糙條件下的圓管恒定均勻流，注意到斷面上紊動能的總耗散量與總產(chǎn)生量是相等的，也即，定義機械能損失系數(shù)，利用軸對稱條件將式（3c）可進一步簡化為λ=λ1+λ2，式中λ1、λ2分別表示相應于時均流速梯度及紊動能耗散的機械能損失系數(shù)，且有

3 管壁均勻密集加糙的圓管流的數(shù)值模擬與機械能損失計算

要用式（5）對圓管流的機械能損失進行計算分析，首先必須獲得時均流場特性，下面就時均流場的獲取及管壁均勻密集加糙條件下圓管流的機械能損失系數(shù)計算分析分別加以介紹。

3.1 時均流場獲取

（1）控制方程與邊界條件采用基于雷諾應力模式（RSM）的雷諾時均方程來描述管壁均勻密集加糙條件下圓管流運動，其控制方程詳見文獻［10］。邊界條件為：給定進口流速等特征量；管道足夠長，保證在出口處流動充分發(fā)展。將管壁附近的第一層網(wǎng)格布置在粗糙元頂部，其縱向時均流速為

（2）數(shù)值計算方法采用有限體積法對控制方程進行離散，用基于同位網(wǎng)格的SIMPLE算法處理壓強和流速的耦合關系，其中對流項采用具有三階精度的QUICK格式，擴散項采用中心差分格式。離散后的代數(shù)方程組形式如下：

采用Gauss-Seidel迭代求解線性方程組，根據(jù)單元殘余質量流量和全場殘余質量流量判斷是否收斂，當單元殘余質量流量為進口流量的0.01%，全場殘余流量為進口流量的0.5%，認為迭代收斂。

圖2 縱向時均流速驗證計算成

圖3 機械能損失驗證計算成果

3.2 驗證計算分別利用文獻［1］及文獻［11］的實驗資料就時均流速、雷諾應力與紊動強度、機械能損失進行了驗證計算，限于篇幅，僅給出了部分驗證計算成果。圖2給出了縱向時均流速計算成果與尼古拉茲實驗成果的比較，其實驗工況為：管徑d=0.05m，相對光滑度；圖3給出了機械能損失系數(shù)的計算成果與尼古拉茲實驗成果的比較。由圖可知，計算成果與實驗成果均吻合較好。

3.3 模擬計算分別對管壁相對光滑度為76和150的兩組圓管流進行模擬計算，相關成果如下：

3.3.1 機械能損失的變化 機械能損失系數(shù)λ的計算成果見圖4—圖5。圖中縱坐標為圖中還給出了計算成果與尼古拉茲實驗及柯爾布魯克實驗成果的比較。由圖可知：（1）在水力光滑區(qū)，η僅與粗糙雷諾數(shù)有關，與相對光滑度無關；（2）在水力粗糙區(qū)，η與粗糙雷諾數(shù)及相對光滑度均無關；（3）在水力過渡區(qū)，η與粗糙雷諾數(shù)及相對光滑度皆有關。

3.3.2 機械能損失的構成 采用式（5）計算相應于時均流速梯度及紊動能耗散的機械能損失系數(shù)與，其成果見圖4與圖5。由圖可知：（1）在機械能損失中，總體上來看λ1占λ的比例很小，不超過5%，其值還隨雷諾數(shù)的增加而減小，隨相對光滑度的增加而略有減小；（2）在機械能損失中，起主要作用，其還隨雷諾數(shù)的增加而增加并趨于不變。

圖4 機械能損失系數(shù)的構成隨雷諾數(shù)Red的變化

圖5 機械能損失系數(shù)的變化

4 結論

通過理論分析與數(shù)值模擬，得到如下成果：（1）對管壁均勻密集加糙的恒定圓管流建立了一個新的總流機械能方程。該方程考慮了紊動的作用，且機械能損失項有表達式。（2）管壁均勻密集加糙恒定圓管流的總流機械能損失由水體的黏性作用所導致，其隨雷諾數(shù)與管壁光滑度而變，且可進一步分解為與時均流速梯度相關的損失及與紊動耗散相關的損失兩部分；前者隨雷諾數(shù)的增加而減少，后者則隨雷諾數(shù)的增加而逐漸增加并趨于不變。

參 考 文 獻：

［ 1］ 武漢水利電力學院.水力學［M］.北京：水利電力出版社，1960：201-252.

［ 2］ Colebrook C F，White CM.Experiments with fluid friction in roughened pipes［J］.Proceedings of the Royal Soci?ety of London，Series A，Mathematical and Physical Sciences，1937，161（906）：367-381.

［ 3］ Brown G O.The history of the Darcy-Weisbach equation for pipe flow resistance［C］//Fredrich，A.，Rogers，J.（Eds.），Proceedings of the 150th Anniversary Conference of American Society of Civil Engineers.Washington D. C.：American Society of Civil Engineers，November 3-6 2002：34-43.

［ 4］ McKEON B J，ZAGAROLA M V，SM ITSA J.A new friction factor relationship for fully developed pipe flow［J］. Journal of Fluid Mechanics，2005，538：429-443.

［ 5］ 賀益英，趙懿珺，孫淑卿，等.彎管局部阻力系數(shù)的試驗研究［J］.水利學報，2003（11）：54-58.

［ 6］ LIU Shi-he，XUE Jiao，F(xiàn)AN Min.On the calculation of mechanical energy loss for steady pipe flow of homoge?nous incompressible fluid［J］.Journal of Hydrodynamics，2013，25（6）：912-918.

［ 7］ LIU Shi-he，F(xiàn)AN Min，XUE Jiao.Themechanical energy equation for total flow in open channels［J］.Journal of Hydrodynamics，2014，26（3）：416-423.

［ 8］ Liu Shi-he，Xue Jiao.Theoretical analysis and numerical simulation of wall resistance and mechanical energy loss for steady open channel flow［J］.Journalof Hydrodynamics，2010，22（1）：103-109.

［ 9］ Liu SH，Yin SR.Turbulent flows around sand dunes in alluvial rivers［J］.Journal of hydrodynamics，2010，22（1）：103-109.

［10］ 劉士和，劉江，羅秋實，等.工程湍流［M］.北京：科學出版社.2011.

［11］ Grass A J.Structural features of turbulent flow over smooth and rough boundaries［J］.Journal of Fluid Mechan?ics，1971，50（02）：233-255.

［12］ Shockling M A，A llen J J，Smits A J.Roughness effects in turbulent pipe flow［J］.Journal of Fluid Mechanics，2006，564：267-28 5.

［13］ TAM IM I.On Turbulent Flow Near aWall［J］.Journal of Communication and Computer，2012（9）：1104-1109.

A new mechanical energy equation for total flow in uniformly and densely roughed pipes and numerical simulation of the flow

PAN Wenhao，LIU Shihe
（Water Resourcesand Hydropower Engineering School ofWuhan University，Wuhan 430072，China）

The energy（the mechanical energy）equation is the theoretical basis for hydraulics；the calcula?tion of the energy（the mechanical energy）loss is one of the main research contents of hydraulics and engi?neering fluid mechanics as well as a concerned issue in engineering.The energy equation in hydraulics used to be deduced from the Bernoulli’s equation for the ideal incompressible fluid in gravitational field.It fails to reflect the effect of turbulence on the flow directly，or give a specific formula of the energy loss. This paper is written on the basis of our existing research.By theoretical analysis and numerical simula?tion，the results are obtained as follows∶（1）a new mechanical energy equation for total flow in uniform ly and densely roughed pipes are built；（2）research on the energy loss and the constitution of the flow in uniform ly and densely roughed pipes is made through numerical simulation.The effect of turbulence is tak?en into account in this equation.The results of the research show that the mechanical energy loss for total flow in uniform ly and densely roughed pipes varies with the Reynolds number and the roughness of the wall，and it can be divided into the loss related to the time averaged velocity gradients and the loss relat?ed to turbulence dissipation.

pipe flow；uniformly and densely roughed；mechanical energy loss；turbulence

TV131.2+9

：Adoi：10.13244/j.cnki.jiwhr.2015.05.010

1672-3031（2015）05-0375-05

（責任編輯：李福田）

2015-08-09

潘文浩（1991-），湖北武漢人，博士生，主要從事水力學及河流動力學研究。E-mail：panwenhao4732@sina.com

劉士和（1962-），湖北公安人，博士，教授，主要從事流體力學與水力學及河流動力學研究。E-mail：shihe3086@163.com