周 勝 李兆霞

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096)

帶隨機(jī)微缺陷橢圓孔口的應(yīng)力分析

周 勝 李兆霞

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096)

利用復(fù)變函數(shù)方法,構(gòu)造了保角變換函數(shù),求解了帶隨機(jī)半圓形微缺陷的橢圓孔口應(yīng)力場．通過分離保角變換函數(shù),得到了微缺陷與宏觀橢圓孔口應(yīng)力場解析解的分離形式．研究結(jié)果表明,微缺陷主要對橢圓孔局部應(yīng)力場產(chǎn)生影響,而對于遠(yuǎn)離微缺陷區(qū)域的應(yīng)力場則影響較?。?dāng)橢圓形狀固定時,微缺陷端部的應(yīng)力集中系數(shù)僅與缺陷半徑及微缺陷的位置有關(guān);缺陷越小,應(yīng)力集中系數(shù)越大,且此數(shù)值遠(yuǎn)大于無缺陷時橢圓孔口的應(yīng)力集中系數(shù),說明當(dāng)孔邊帶有微缺陷時,盡管缺陷尺度遠(yuǎn)小于橢圓孔的尺度,但微缺陷對橢圓孔邊緣應(yīng)力集中的影響仍不容忽視．

微缺陷;橢圓孔口;復(fù)變函數(shù);尺度分離;應(yīng)力集中系數(shù)

航空航天、機(jī)械制造以及土木工程領(lǐng)域中存在著大量的孔口問題.應(yīng)力場分析可將其簡化為橢圓孔口邊緣應(yīng)力場來進(jìn)行求解．除結(jié)構(gòu)中人為制造的孔口外,很多材料(如混凝土材料和晶體材料等)在成型過程中,材料內(nèi)部會不可避免地出現(xiàn)一些微孔口．考慮這類微裂紋的作用,求解孔口附近應(yīng)力場的解析表達(dá)式和應(yīng)力強(qiáng)度因子是非常重要的．

學(xué)者們已對工程和材料中的孔口問題進(jìn)行了大量研究．趙凱等[1]利用復(fù)變函數(shù)方法研究了巖土工程中矩形硐室問題,采用Schwarz-Christoffel積分方法求取矩形硐室的解;祝江鴻等[2]利用復(fù)變函數(shù)級數(shù)展開方法研究了任意硐室的應(yīng)力場解答．其他類型的材料在生產(chǎn)過程中也會隨機(jī)產(chǎn)生微孔口,為簡單起見,通常將其簡化成圓形或橢圓形孔口,利用復(fù)變函數(shù)方法進(jìn)行求解．高存法等[3]研究了含橢圓孔壓電材料的解析解;朱西平等[4]研究了含圓孔復(fù)合材料板的孔邊應(yīng)力集中系數(shù)．利用復(fù)變函數(shù)方法研究孔口問題時,僅在微孔口尺度下考慮了材料的應(yīng)力場,并未考慮孔口邊緣發(fā)生更小尺度缺陷時局部應(yīng)力集中導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)失效[5]．

隨著復(fù)變函數(shù)理論及斷裂力學(xué)的發(fā)展,采用復(fù)變函數(shù)方法處理孔口問題時,引入了非簡單的多項(xiàng)式函數(shù)來進(jìn)行求解,極大地拓展了復(fù)變函數(shù)在不光滑孔口問題上的應(yīng)用,并在求解帶裂紋孔口問題方面取得了較大進(jìn)展[6-9]．郭俊宏等[10-11]分析了長軸處雙裂紋橢圓孔口的壓電材料問題,研究了準(zhǔn)晶體材料的應(yīng)力場;Hasebe等[12]利用數(shù)值方法分析了帶裂紋的方形孔口問題;曾蕓蕓[13]研究了帶裂紋的圓形孔口問題;郭懷民等[14]分析了長軸處帶裂紋的橢圓孔口問題．但這些研究僅考慮了含宏觀裂紋孔口的應(yīng)力強(qiáng)度因子,并沒有考慮含孔口材料裂紋萌生時孔口邊緣的隨機(jī)微缺陷對裂紋萌生和擴(kuò)展的影響．

在處理復(fù)雜孔口時,傳統(tǒng)的保角變換方法存在著一定的局限性,無法得到帶隨機(jī)微缺陷橢圓孔口的保角變換函數(shù)．本文利用復(fù)變函數(shù)方法研究了帶隨機(jī)微缺陷的橢圓孔口問題．采用尺度分離方法,構(gòu)建了2個尺度下分離的保角變換函數(shù),得到了帶微缺陷橢圓孔口的應(yīng)力場解答,為利用傳統(tǒng)復(fù)變函數(shù)方法求解多尺度缺陷的孔口問題提供了理論分析基礎(chǔ),也為處理實(shí)際工程和材料中的孔口問題提供了新的思路．

1 帶微缺陷橢圓圓孔的保角變換

由文獻(xiàn)[6]可知,利用復(fù)變函數(shù)方法求解復(fù)雜孔口的應(yīng)力場,首先需要構(gòu)造保角變換函數(shù),將復(fù)雜邊界映射到簡單邊界上進(jìn)行處理．為了得到帶微缺陷橢圓孔口的保角變換函數(shù),需要對保角變換函數(shù)進(jìn)行近似變換．

圖1為帶微缺陷橢圓孔口保角變換過程．首先,根據(jù)嚴(yán)格的保角變換形式,將γ平面中單位圓內(nèi)的區(qū)域變換為Z1平面中帶缺陷的單位圓外區(qū)域;然后,利用近似變換,將Z1平面區(qū)域變換為Z平面上帶微缺陷的橢圓圓孔．圖中,a,b分別為橢圓的長軸和短軸;α,β分別為Z1平面和Z平面上微缺陷中心和圓心連線與x軸之間的夾角．

(a) 無缺陷單位圓孔(γ平面)

(b) 含微缺陷單位圓孔(Z1平面)

(c) 含微缺陷橢圓孔口(Z平面)

含微缺陷的單位圓孔如圖1(b)所示．γ平面圓周上ζ=eiα處存在半徑為ρ的半圓形微缺陷,且ρ?1．保角變換函數(shù)為

(1)

式中,ω1(ζ)為多值函數(shù)．

為準(zhǔn)確表達(dá)圓孔和微缺陷對最后應(yīng)力場的影響,可將式(1)改寫為

(2)

式中,1/ζ為含圓孔的無限大平面的保角變換函數(shù);δ(ζ,α)為微缺陷的保角變換函數(shù)．δ(ζ,α)將數(shù)學(xué)平面上ζ=e-i α的鄰域變換成物理平面上z1=1處的微缺陷,在遠(yuǎn)離ζ=e-i α的區(qū)域,δ(ζ,α)=0．

由文獻(xiàn)[6]可知,將單位圓內(nèi)部映射到含橢圓孔口的無限大平面的保角變換函數(shù)為

(3)

可以利用橢圓保角變換函數(shù)局部的保圓性來近似構(gòu)造變換函數(shù),即

(4)

在ζ=e-iα的鄰域處,δ(ζ,α)為一微小量．根據(jù)保角變換的局部保圓性,在ζ=e-iα的鄰域處,ω(ζ)也近似變換為半圓形微缺陷,而在遠(yuǎn)離ζ=e-iα的區(qū)域處,由于δ(ζ,α)=0,根據(jù)ω(ζ)可將單位圓變換為無缺陷的橢圓邊界．因此,根據(jù)式(4)可將γ平面上單位圓內(nèi)的區(qū)域變換為含帶圓弧形微缺陷橢圓孔口的無限大平面．

利用級數(shù)展開公式可以得到

(5)

δ(ζ,α)相對于ζ為小量,將式(5)代入式(4)并略去δ(ζ,α)2以上的高階項(xiàng),可將式(4)簡化為

z=ω(ζ)=ω0(ζ)+R(1-mζ2)δ(ζ,α)

(6)

在遠(yuǎn)離ζ=e-iα的鄰域處,δ(ζ,α)=0,且表達(dá)式R(1-mζ2)在單位圓內(nèi)有界．如果橢圓局部曲率變化較小,可將式(6)簡化為

z=ω(ζ)=ω0(ζ)+Kδ(ζ,α)

(7)

根據(jù)保角變換函數(shù),可以求得β與α的關(guān)系,即

2 帶微缺陷橢圓孔口的解析解

無限大孔口的力學(xué)問題通常采用復(fù)變函數(shù)方法進(jìn)行求解．孔口問題的應(yīng)力場可以通過2個應(yīng)力函數(shù)φ(ζ)和ψ(ζ)獲得．φ(ζ)和ψ(ζ)滿足如下方程:

(8)

(9)

式中

(10)

(11)

(12)

由式(4)可得

(13)

(14)

H(σ)可以延拓為圓周上的連續(xù)函數(shù),且H(∞)=0,故

為簡單起見,可以設(shè)含帶微缺陷圓孔的無限平面孔口邊緣不受力,僅在無窮遠(yuǎn)處受到與y軸平行的大小為q的均布拉應(yīng)力．根據(jù)式(10)可知

(15)

由于δ(ζ)在單位圓內(nèi)除了ζ=0外處處解析,且ζ=0為δ(ζ)的可去奇點(diǎn),故δ(ζ)在單位圓內(nèi)可表示為

(16)

式中,bn(α)為與α相關(guān)的復(fù)常數(shù)．

根據(jù)Cauchy積分原理,可以得到

(17)

同理可求得

(18)

最后，根據(jù)式(8)和(9)可以求得

(19)

(20)

令Φ(ζ)=φ′(ζ)/ω′(ζ),Ψ(ζ)=ψ′(ζ)/ω′(ζ),則可以求得含帶微缺陷橢圓孔口的無限大平面的應(yīng)力場公式為

σθ+σρ=4ReΦ(ζ)

(21)

(22)

式中,σθ,σρ和τρθ分別表示極坐標(biāo)下的環(huán)向應(yīng)力、徑向應(yīng)力和切應(yīng)力．

3 應(yīng)力場分析

對于孔口問題而言,孔口邊緣的應(yīng)力集中系數(shù)與材料失效密切相關(guān)．當(dāng)橢圓孔口邊緣出現(xiàn)微缺陷時,缺陷端部為應(yīng)力集中區(qū)．利用式(21),可以求出ρ≠0時橢圓孔口邊緣缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)η．

(23)

當(dāng)a=2,b=1時,微缺陷應(yīng)力集中系數(shù)η與微缺陷半徑r的關(guān)系曲線見圖2．由圖可知,當(dāng)含帶微缺陷橢圓孔口的無窮大平面在無窮遠(yuǎn)處承受垂

圖2 微缺陷半徑與應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系

直于長軸的均布載荷時,微缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)與微缺陷半徑成反比,隨著缺陷半徑的減小,應(yīng)力集中系數(shù)逐漸增加．當(dāng)r足夠小時,應(yīng)力集中系數(shù)趨近于3+4a/b．根據(jù)已知的無缺陷橢圓孔口長軸處應(yīng)力集中系數(shù)η′=1+2a/b,當(dāng)橢圓孔口長軸存在半圓形微缺陷時,微缺陷應(yīng)力集中系數(shù)最大值ηmax=1+2η′．

當(dāng)b=1時,微缺陷應(yīng)力集中系數(shù)與微缺陷位置之間的關(guān)系曲線如圖3所示．由圖可知,當(dāng)微裂紋出現(xiàn)在長軸(即β=0)時,應(yīng)力集中系數(shù)最大;隨著β的增大,應(yīng)力逐漸變?。產(chǎn)/b越大,應(yīng)力集中系數(shù)的最大值也越大;β越大,應(yīng)力集中系數(shù)衰減得越快．

圖3 微缺陷應(yīng)力集中系數(shù)與微缺陷位置之間的關(guān)系圖

4 結(jié)語

本文通過建立含帶隨機(jī)微缺陷橢圓孔口的無限大平面分析模型,解決了工程中普遍存在的帶隨機(jī)微缺陷孔口的應(yīng)力場求解問題．利用針對局部微缺陷的尺度分離方法,得到了復(fù)合保角變換表達(dá)式．利用保角變換的局部保角性,擴(kuò)展了復(fù)變函數(shù)方法的應(yīng)用范圍．研究結(jié)果表明,橢圓孔口邊緣產(chǎn)生的微缺陷會對微缺陷附近局部應(yīng)力產(chǎn)生影響,但對微缺陷遠(yuǎn)端區(qū)域的應(yīng)力影響較?。⑷毕莸漠a(chǎn)生導(dǎo)致缺陷端部出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象,應(yīng)力集中系數(shù)與缺陷半徑有關(guān),微缺陷半徑越小,應(yīng)力集中系數(shù)越大．當(dāng)微缺陷出現(xiàn)在長軸位置時,應(yīng)力集中系數(shù)最大,且最大值隨著微缺陷半徑的減小逐漸趨近于3+4a/b．

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Analysis on stresses of elliptical hole with random micro-defect

Zhou Sheng Li Zhaoxia

(School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China)

The conformal mapping function is constructed and the stress field of an elliptical hole with a random semicircular micro-defect is solved by using the complex function method. The separation form of the analytical solution of the stress field for the small-scale defect and the circular hole can be obtained through splitting the conformal function. The results show that the micro-defect mainly affects on the local stress field around the elliptical hole, and the influence on the zone away from the small-scale defect is small. When the ellipse shape is fixed, the stress concentration factor only depends on the curvature radius and the position of the defect. The smaller the defect, the greater the stress concentration factor. Moreover, the stress concentration factor of the micro-defect is much greater than that of an ellipse without micro-defects. This suggests that when there is a semicircular micro-defect on an elliptical hole edge, the influence of the micro-defect on stress concentration nearby the elliptical hole cannot be ignored even though the scale of the defect is far smaller than that of the ellipse.

micro-defect;elliptical hole;complex function;scale separation;stress concentration factor

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.025

2014-09-20. 作者簡介: 周勝(1987—)，男，博士生; 李兆霞(聯(lián)系人)，女，博士，教授，博士生導(dǎo)師， zhxli@seu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072060).

周勝，李兆霞.帶隨機(jī)微缺陷橢圓孔口的應(yīng)力分析[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,45(2):343-347.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.025

O346.1

A

1001-0505(2015)02-0343-05