盧克清，胡 凱，陳衛(wèi)軍，于會敏，張寶菊

（天津工業(yè)大學電子與信息工程學院，天津 300387）

兩束艾里光束在Kerr和飽和非線性介質(zhì)中的相互作用

盧克清，胡 凱，陳衛(wèi)軍，于會敏，張寶菊

（天津工業(yè)大學電子與信息工程學院，天津 300387）

采用分步傅里葉法對兩艾里光束在Kerr介質(zhì)和飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸時的相互作用進行了數(shù)值模擬，探討了兩艾里光束的入射光間隔對相互作用的影響.結果表明：當兩艾里光束的入射間隔大于其主瓣寬度時，在兩介質(zhì)中同向或反向傳輸?shù)墓伦泳皇`在原入射光束中穩(wěn)定傳輸，無相互作用；當兩光束的入射光間隔小于等于主瓣寬度時，在Kerr介質(zhì)中同向傳輸?shù)膬晒馐诠鈴奅=3時相互吸引而在E=4時由最初的相互吸引變?yōu)橄嗷ヅ懦?，反向傳輸保持相互排斥的性質(zhì)；在飽和非線性介質(zhì)中兩光束在任意光強都保持同向相互吸引、反向相互排斥的特性.

艾里光束；Kerr介質(zhì)；飽和非線性介質(zhì)；相互作用

衍射是光束的基本特性.由于衍射，激光束在傳輸過程中，光斑逐漸增大，能量逐漸分散.隨著激光在通信、軍事等長距離傳輸領域應用的不斷拓展和深化，人們越來越希望消除衍射，降低激光束的傳輸耗散.由此，一個新的研究領域應運而生——無衍射光束.理論上無衍射光束攜帶無窮大的能量，因此嚴格來講實際并不存在.目前主要利用孔徑光闌對無衍射光束進行“截趾”來產(chǎn)生這些光束.雖然“截趾”后的無衍射光束不再保持絕對無衍射的形式傳輸，但在一定的傳輸距離內(nèi)，相比高斯光束，它們?nèi)跃哂泻芎玫臒o衍射特性，因而被稱作“近無衍射光束”.下文中如無特殊說明，無衍射光束均指近無衍射光束.

最具代表性的沿直線傳輸?shù)臒o衍射光束是貝塞爾（Bessel）光束[1]，而最具代表性的沿曲線傳輸（橫向自加速）的無衍射光束是最近熱門研究的艾里光束[2-3].艾里光束在 2007年首先由Christodoulides研究組實驗實現(xiàn).相比貝塞爾光束[4]和馬丟（Mathieu）光束，艾里光束除了具有無衍射和自愈特性外，還具有自彎曲傳輸?shù)钠娈愄匦?目前，艾里光束的特性已被充分研究，其中主要包括無衍射[5-6]、橫向自加速偏移[7-8]以及自愈[9]等特性；單一艾里光束的非線性Kerr效應[10-11]及其傳輸動力學特性[12]也已經(jīng)被報道，但是關于兩束艾里光束之間相互作用的研究還比較少.本文擬利用快速分布傅里葉法研究兩束艾里光束在Kerr介質(zhì)和飽和非線性光折變介質(zhì)中同向和反向傳輸時的相互作用，探討艾里光束間的入射間距對相互作用的影響，并簡要分析兩個互相作用的艾里光束沿著橫向傳輸時的動力學特性.

1 理論模型

在傍軸近似中，光纖中孤子的場包絡函數(shù)的傳輸可用下列歸一化標準非線性薛定諤方程[13]描述:

式中:δn表示折射率的非線性變化；x為歸一化無量綱橫向坐標；z為歸一化傳輸距離.

當δn=0時，方程（1）為線性薛定諤方程，采用分布傅里葉法進行求解，其特解[14-15]可表示為:

式中:Ai為艾里函數(shù).由于艾里光束固有的無衍射性，艾里光束具有無限的能量，其旁瓣衰減的非常慢；而在實際產(chǎn)生艾里光束的過程中，由于空間和能量的限制，需要它的旁瓣衰減的很快.因此，考慮其截斷窗口的指數(shù)函數(shù)衰減[16]:

通常情況下衰減因子0＜a≤1，這樣即可用有限能量的艾里激光束來近似無窮能量的理想艾里激光束；有限能量艾里激光束在自由空間中傳輸?shù)饺我饩嚯x處的場分布函數(shù)可表示為:

對方程（4）運用分布傅里葉法與樣條插值法[17]可得出艾里光束傳輸時的主瓣寬度w=5；而方程（4）的一般形式可表示為:

式中:E和B為任意常量，分別代表振幅強度和沿橫坐標平移的距離.

本文擬要探討艾里光束間的相互作用，為此構造出初始入射光束為相互平行但加速度不同的一對艾里光束，表示為:

式中:截斷因子a=0.2；l為控制相位變化的參數(shù)，當l=0時，艾里光束間為同向輸入；當l=1時，兩光束為反向輸入.

2 艾里光束間的相互作用

2.1 Kerr介質(zhì)

在公式（1）的基礎上令δn=｜φ｜2，當入射光間隔較大時彼此間的相互作用非常弱，因此令兩束光間距保持在相對較小的范圍內(nèi).圖1給出了振幅強度E=3時兩艾里光束同向和反向輸入時相互作用的演化圖.

圖1 E=3時兩束艾里光束在Kerr介質(zhì)中同向和反向傳輸?shù)南嗷プ饔肍ig.1 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beam s with E=3 in Kerr medium

由圖1可以看出:

（1）艾里光束同向傳輸且入射光間隔小于主瓣寬度時表現(xiàn)出相互吸引的特性.在B=-3和B=4處，除部分孤子能量脫落外光束間保持平行傳輸；在一定范圍內(nèi)隨著入射光束間隔距離減小，相互間吸引作用增強，產(chǎn)生綁定的呼吸子式孤子；距離越小，相互間作用越大，孤子的振蕩周期越小.但仔細觀察發(fā)現(xiàn)當B= 1時孤子的振蕩周期比B=0時小，這是因為B=0時艾里光束的主瓣位于x=-1處，此時兩個入射光束主瓣之間始終保持有一定距離.所以，在B=1時光束間的相互作用最強，形成的孤子周期最短；值得注意的是此時從主瓣產(chǎn)生的孤子以及主瓣的加速特性是不存在的[14].

（2）艾里光束反向輸入時的初始振幅數(shù)值條件跟同向一致，但當光束間隔小于主瓣寬度時表現(xiàn)出來的特性與同向輸入時完全不同.從圖1中可以看到，兩光束間隔距離較小時表現(xiàn)出排斥的現(xiàn)象，并且由于相互排斥作用產(chǎn)生孤子對.入射光束間隔越小，相互間的排斥作用越強，直到兩個光束開始交疊；當光束交疊時，隨著交疊程度的增加，光束間的排斥力減弱，如圖1中B=1所示.另外，注意到在B=0時孤子對間的排斥力比B=1時大，這是因為艾里光束反向傳輸時在B=1處兩個主瓣彼此間保持平衡而副瓣間的間隔距離比B=0時的主瓣間的距離大.換句話說，當B=1時孤子對是由副瓣產(chǎn)生的，而其它演化圖孤子對是由主瓣產(chǎn)生的.

由圖1還觀察到，在B=4處艾里光束反向輸入的演化圖中出現(xiàn)兩個孤子對，而在所有其它附圖中除了最初艾里光束間相互作用產(chǎn)生的多余輻射能量外只看到一個孤子對.這是因為光束的能量主要儲存在主瓣中，內(nèi)部孤子對的能量強度比外部孤子小，但是在傳播初期（大概z=2處）兩個孤子對交換能量，外孤子對因為從主瓣中獲取了更多的能量而排斥力較強；因此，一個孤子對來源于艾里光束主瓣，另一個來源于副瓣.仔細觀察這個結果發(fā)現(xiàn):如果令E變化，當E＜0.2時沒有孤子產(chǎn)生，當E≥0.2時產(chǎn)生孤子對，當E足夠大（例如E=8）時有多個孤子對產(chǎn)生.但是由于光束強大的自聚焦效應[10]，傳播可能變得不穩(wěn)定.圖2截選了演化過程中的4個例子.

圖2 B=4時E=0.2、2、4和8時的演化圖Fig.2 Evolution graph of E=0.2，2，4 and 8 with B=4

基于以上討論令振幅強度E=4，由于兩光束反向傳輸時的演化結果與圖1反向傳輸類似，光場交疊區(qū)發(fā)生相消干涉，導致該區(qū)域折射率降低，兩光束分別向兩側(cè)偏移形成排斥現(xiàn)象，因此本文只給出了同向傳輸?shù)难莼瘓D，如圖3所示.

圖3 E=4時兩艾里光束在Kerr介質(zhì)中同向傳輸時相互作用的演化圖Fig.3 Evolution graph of two in-phase incident Airy beam s interaction with E=4 in Kerr medium

由圖3可以看出，兩光束同向傳輸、光束間隔小于w時有排斥現(xiàn)象出現(xiàn)，如圖3（c）和圖3（d）所示.這是因為折射率的變化使孤子間相互吸引，但隨著傳播距離的增加，吸引力逐漸減弱而排斥力增強，最終斥力強度強于吸引力起主導作用.從圖3中還可以看到，B=1時由于重疊的主波瓣強度增加，脈沖寬度被抑制，因而從疊加的主瓣中分離形成的兩個孤子間斥力比B=0時小.當B逐漸變大時，光束間間隔增大，彼此間相互作用減小，光束的主瓣與其它部分的高次波瓣重合產(chǎn)生平行傳輸?shù)墓伦?，如圖3（f）所示.

2.2 飽和非線性介質(zhì)

根據(jù)光折變的基本理論，令δn=｜φ｜2/（γ+｜φ｜2），式中0＜γ≤1是飽和非線性常數(shù)，在本文中令γ=1.圖4給出了艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中同向輸入和反向輸入時相互作用的演化圖.

圖4 E=3時兩束艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸?shù)南嗷プ饔肍ig.4 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beams with E=3 in saturable NL medium

由圖4可以看出，光束在飽和非線性介質(zhì)中傳輸與在Kerr介質(zhì)中傳輸時的行為相似，光束同向輸入且光束間隔小于主瓣寬度時，由于光束間的相互吸引作用產(chǎn)生單個孤子和具有呼吸子式行為的孤子對.在圖4中B=-4時，艾里主瓣形成單個孤子而孤子對由副瓣形成；而在B=0和B=2中，只有單個呼吸子式孤子形成，沒有孤子對出現(xiàn)，并且由于兩個艾里光束的主、副瓣能量的分量非常接近，副瓣連同主瓣共同形成中心孤子；在B=4和B=5時x=0處的孤子由副瓣和高次波瓣形成，而孤子對由主瓣形成.

艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中反向輸入時，由于初始入射時兩束艾里部分光束的疊加導致互斥孤子對的形成、單個孤子的消失.比較圖1發(fā)現(xiàn)，在飽和非線性介質(zhì)中的孤子對之間形成的排斥力比在Kerr介質(zhì)中的強；另外研究B=4時E變化時艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中相互作用的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)對任意的E值光束在飽和非線性介質(zhì)中的傳輸是穩(wěn)定的，其演化圖與圖4反向傳輸類似.

3 結論

本文研究了艾里光束在Kerr介質(zhì)和飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸時的相互作用.由于其固有的無衍射性，理想艾里光束具有無限的能量，其旁瓣衰減的非常慢，為了能在試驗中實現(xiàn)艾里光束，需要對艾里函數(shù)加上指數(shù)衰減因子，用有限能量艾里光束近似無窮能量的艾里光束來討論研究.結果表明:

（1）光束間的相互作用隨著入射光束間隔的減小而增強；當光束間的間隔較大時光束互不影響，彼此保持平行傳輸；當入射光間隔小于等于主瓣寬度時兩光束產(chǎn)生相互作用并表現(xiàn)不同行為.

（2）在Kerr介質(zhì)中同向傳輸時，振幅的大小影響光束間的相互作用，當E=3時光束間相互吸引，而E= 4時光束間有排斥現(xiàn)象出現(xiàn)；反向傳輸時，在一定光束間隔范圍內(nèi)兩艾里光束相互排斥，討論B=4時產(chǎn)生的孤子對的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)E＜0.2時沒有孤子產(chǎn)生，當E≥0.2時產(chǎn)生孤子對，當E足夠大（例如E=8）時有多個孤子對產(chǎn)生.

（3）在飽和非線性介質(zhì)中，艾里光束無論是同向傳輸時表現(xiàn)出相互吸引還是反向傳輸時表現(xiàn)出相互排斥的性質(zhì)都不隨E的大小變化，保持穩(wěn)定傳輸.

[1]盧文和，吳逢鐵，劉彬，等.無衍射貝塞爾光束相干的理論與實驗[J].強激光與粒子束，2009，21（11）:1666-1670.

[2]吳疆苗，林海笑，黃國金，等.艾里光束橫向加速特性的實驗研究[J].激光雜志，2014，35（9）:11-12.

[3]SIVILOGLOU G A，BROKY J，DOGARIU A，et al.Observation of accelerating Airy beams[J].Physical Review Letters，2007，99（21）:213901.

[4]季小玲，呂百達.聚焦貝塞爾-高斯光束的焦開關效應[J].強激光與粒子束，2005，17（3）:347-350.

[5]JIA S，LEE J，F(xiàn)LEISCHER J W，et al.Diffusion-trapped Airy beams in photorefractive media[J].Physical Review Letters，2010，104（25）:253904.

[6]樂陽陽，肖寒，王子瀟，等.關于Airy光束衍射及自加速性質(zhì)的研究[J].物理學報，2013，62（4）:173-176.

[7]陳瑞品，鄭紅平.Airy光束在Kerr介質(zhì)中的傳輸特性[J].強激光與粒子束，2012，24（1）:65-68.

[8]BROKY J，SIVILOGLOU G A，DOGARIU A，et al.Self-healing properties of optical Airy beams[J].Optics Express，2008，16（17）:12880-12891.

[9]張澤，胡毅，趙娟瑩，等.艾里光束研究進展與應用前景[J].科學通報，2013，58（34）:3513-3520.

[10]苗潤才，沈常宇，葉青，等.環(huán)形斑光束在非線性克爾介質(zhì)中的自聚焦效應[J].光子學報，2003，32（2）:204-208.

[11]CHEN R P，YIN C F，CHU X X，et al.Effect of Kerr nonlinearity on an Airy beam[J].Physical Review A，2010，82（4）: 043832.

[12]PANAGIOTOPOULOS P，ABDOLLAHPOUR D，LOTTI A，et al.Nonlinear propagation dynamics of finite-energy Airy beams[J].Physical Review A，2012，86（1）:013842.

[13]王奇，薛秉章，蔡英時.非對稱型Kerr類介質(zhì)膜漏波導中的非線性導波[J].物理學報，1988，37（5）:760-768.

[14]PAPAZOGLOU D G，EFREMIDIS N K，CHRISTODOULIDES D N，et al.Observation of abruptly autofocusing waves[J]. Optics Letters，2011，36（10）:1842-1844.

[15]BERRY M V，BALAZSN L.Nonspreading wave packets[J]. Am J Phys，1979，47（3）:264-267.

[16]施瑤瑤，吳彤，劉友文，等.艾里光束自彎曲性質(zhì)的控制[J].光子學報，2013，42（12）:1401-1407.

[17]FATTAL Y，RUDNICK A，MAROM D M.Soliton shedding from Airy pulses in Kerr media[J].Optics Express，2011，19（18）:17298-17307.

Interactions of two Airy beam s in Kerr and saturable nonlinear media

LU Ke-qing，HU Kai，CHEN Wei-jun，YU Hui-min，ZHANG Bao-ju
（School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The interactions of two in-phase and out-of-phase Airy beams in Kerr and saturable nonlinear（NL）media are investigated numerically by using the distribution Fourier method.The influence of the incident light interval on the interaction of two Airy beams is discussed.The results show that if the interval between two incident beams is larger than the widths of their main lobes，the generated soliton pairs just propagate individually and do not interact.However，if the interval is comparable to the widths of the main lobes，in Kerr medium，when E=3，two in-phase Airy beams transmission attract each other，and when E=4，the two beams become mutually exclusive instead of the initial attract each other；if the two beams transmit in out-of-phase，they always maintain reply.In saturable nonlinear media，the two beams are always attract each other when they are in the same direction and mutually exclusive in out-of-phase to arbitrary intensity.

Airy beams；Kerr medium；saturable nonlinear（NL）media；interaction

O436.1

A

1671－024X（2015）04－0080－05

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.04.017

2015-05-14

天津市自然科學基金資助項目（13JCYBJC16400）

盧克清（1961—），男，研究員，博士生導師，研究方向為非線性光學.E-mail:kqlutj@126.com