潘光, 魯江鋒，沈克純

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

復(fù)合材料圓柱殼體水下非線性屈曲數(shù)值分析

潘光, 魯江鋒，沈克純

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

為解決水下復(fù)合材料仿真精度低的問(wèn)題，采用非線性數(shù)值分析方法對(duì)復(fù)合材料圓柱殼體的水下屈曲行為進(jìn)行研究。通過(guò)算例表明了非線性屈曲數(shù)值分析與試驗(yàn)結(jié)果的吻合性較好，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法的有效性。對(duì)比了鋁合金、Carbon/Epoxy、Boron/Epoxy和Glass/Epoxy4種材料圓柱殼體的水下非線性屈曲行為，結(jié)果表明纖維的拉伸模量對(duì)于圓柱殼體的耐壓能力有較大影響，Carbon/Epoxy是水下圓柱殼體比較理想的一種材料，最后分析了矩形、T形和L形肋骨復(fù)合材料圓柱殼體的水下非線性屈曲行為，通過(guò)分析可知，T形肋骨對(duì)于提高圓柱殼體的屈曲壓力是最明顯的。研究結(jié)果對(duì)于復(fù)合材料在水下的應(yīng)用及研究有較大的參考價(jià)值和指導(dǎo)作用。

復(fù)合材料；圓柱殼體；非線性屈曲；缺陷系數(shù)；弧長(zhǎng)法；有限元；肋骨

圓柱殼體作為基本的單元在飛行器艙段、火箭殼體、發(fā)射管、船舶桅桿、傳動(dòng)軸、石油管道、魚(yú)雷殼體等領(lǐng)域起著很重要的作用，而且復(fù)合材料以其機(jī)械性能的可設(shè)計(jì)性、比強(qiáng)度高、耐高溫、耐腐蝕、工藝性好、使用壽命長(zhǎng)、維護(hù)方便[1]等性能在航天、航空和航海領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，所以對(duì)于圓柱復(fù)合材料殼體的研究就顯得意義格外重大。復(fù)合材料在航天、航空的應(yīng)用比航海廣泛得多，航天、航空方面圓柱殼體主要受到軸向壓縮載荷，軸向壓縮屈曲破壞是其主要的破壞形式[2]，所以對(duì)復(fù)合材料圓柱殼體的研究較多的是集中在軸向壓縮的屈曲破壞，而對(duì)于復(fù)合材料圓柱殼體水下屈曲破壞研究較少。Chihdar Yang等[3]應(yīng)用一級(jí)剪切變形理論研究了長(zhǎng)徑比較大圓柱殼體承受水下均布?jí)毫r(shí)的線性屈曲，結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較一致，誤差在20%左右。Seong-Hwa Hur等[4]應(yīng)用ACOSwin有限元軟件進(jìn)行了復(fù)合材料圓柱殼體水下非線性屈曲分析，屈曲模態(tài)形狀與試驗(yàn)結(jié)果基本相同，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)有15.5%的誤差。Chul-Jin Moon等[5]同樣應(yīng)用ACOSwin有限元軟件對(duì)纖維纏繞復(fù)合材料圓柱殼體進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)屈曲壓力是殼體的最大承受壓力，殼體屈曲之后直接導(dǎo)致破壞。Tanguy Messager等[6]應(yīng)用第三剪切變形理論研究了薄壁圓柱殼體的線性屈曲，并通過(guò)遺傳算法優(yōu)化最佳鋪層順序，高繼和[7]則重點(diǎn)論述水下航行體用復(fù)合材料的發(fā)展。本文針對(duì)一定厚度的復(fù)合材料圓柱殼體，承受水下均布?jí)毫洼S向載荷時(shí)，考慮到試樣的初始幾何缺陷，引入了缺陷系數(shù)的概念，進(jìn)行了非線性屈曲數(shù)值分析。

1 非線性屈曲

1.1 非線性屈曲分析介紹

屈曲分析用來(lái)求解殼體失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力和屈曲模態(tài)形狀，包括線性特征值屈曲和非線性屈曲兩大類。圖1是非線性屈曲分析曲線圖，點(diǎn)畫(huà)線曲線交叉點(diǎn)處的臨界壓力值是特征值屈曲的計(jì)算結(jié)果，實(shí)線曲線的首個(gè)峰值是非線性屈曲的計(jì)算結(jié)果，可以看出非線性屈曲分析比線性屈曲分析值偏低，虛線曲線是實(shí)際的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，非線性屈曲更加符合實(shí)際情況，比線性屈曲分析更加準(zhǔn)確[8]。屈曲以屈曲載荷為分水嶺分為前屈曲和后屈曲，本文只研究前屈曲。

圖1 非線性屈曲變形曲線Fig. 1 Nonlinear buckling curve

線性特征值屈曲作為屈曲分析的不保守解，可以為非線性屈曲提供參考，當(dāng)初始缺陷無(wú)法可靠估計(jì)時(shí)，線性屈曲模態(tài)形狀可以作為幾何缺陷，通常提取一階模態(tài)乘以一個(gè)缺陷系數(shù)(DF)，線性屈曲壓力還可以作為非線性分析的施加載荷，通過(guò)觀察線性屈曲特征值的分布，判斷殼體對(duì)幾何缺陷的敏感性[9]。

1.2 一級(jí)剪切變性理論

本文基于Reisnner-Mindin[10-12]一級(jí)剪切變性理論進(jìn)行數(shù)值分析，描述了圓柱殼體承受水壓時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程、能量方程和邊界條件，屈曲問(wèn)題最終應(yīng)用Ritz[13]方法轉(zhuǎn)化成求解矩陣特征值的問(wèn)題。

1.2.1 動(dòng)力學(xué)方程

坐標(biāo)系的定義如圖2所示，包括x,s,z3個(gè)分量，方向分別是圓柱的軸向、切向和徑向，坐標(biāo)原點(diǎn)位于柱體左端的中徑，3個(gè)方向的位移分量分別是u、v、w，可表示為

(1)

式中：u0、v0代表柱體中面的位移;F1、F2是相應(yīng)的彎曲斜度，根據(jù)柱體的幾何尺寸，應(yīng)變分量可由u0、v0、F1,F2,w表示如下：

(2)

式中：R是柱體的中面半徑，將式(1)代入式(2)可以得到由中面位移和彎曲斜度表示的應(yīng)變場(chǎng)。

圖2 坐標(biāo)系及模型尺寸Fig. 2 Coordinates and model dimensions

1.2.2 能量方程

圓柱體置于水下壓力場(chǎng)時(shí)，涉及到的能量有總應(yīng)變能U、水壓所做的功W、由于水壓和中面延伸引起的潛在能量V:

(3)

W=-?pwdxds

(4)

式中：p是承受的水下均布?jí)毫Α?/p>

(5)

1.2.3Ritz方法

根據(jù)Ritz方法，屈曲壓力可以通過(guò)總能量的變化為零來(lái)得到，即滿足下式：

(6)

模型一端固定，一端允許軸向位移，因此邊界條件如下：x=0處，

u=0,v0=0,w=0,F2=0

(7)

x=L處，

v0=0,w=0,F2=0

(8)

式(3)～(6)構(gòu)成了屈曲方程，將式(7)、(8)代入屈曲方程求解就可以得到屈曲壓力，以矩陣的形式表達(dá)如下：

(Kf-pKg)x=0

(9)

式中：Kf是剛度矩陣，Kg是應(yīng)力剛度矩陣，x是特征向量。

2 算例驗(yàn)證

針對(duì)文獻(xiàn) [4]中的有限元模型，本文利用大型通用有限元軟件ANSYS中的弧長(zhǎng)法進(jìn)行非線性屈曲計(jì)算，通過(guò)多次計(jì)算，設(shè)置了合適的網(wǎng)格尺寸，大大提高了精度。

為了施加恰當(dāng)?shù)膸缀稳毕荩枰獙?duì)缺陷系數(shù)(DF)進(jìn)行可靠的估計(jì),缺陷系數(shù)等于制造誤差(MT)與一階線性特征值屈曲最大節(jié)點(diǎn)位移(MD)的比值，文獻(xiàn)[4]中制造誤差是0.17 mm，最大節(jié)點(diǎn)位移是1.035 mm。

(10)

表1是網(wǎng)格的相關(guān)性驗(yàn)證，可以看出網(wǎng)格尺寸對(duì)于計(jì)算結(jié)果有較大的影響，當(dāng)網(wǎng)格尺寸過(guò)大時(shí)，計(jì)算精度會(huì)降低，達(dá)不到分析的目的，當(dāng)網(wǎng)格尺寸過(guò)小時(shí)，對(duì)計(jì)算機(jī)的要求特別高，而且計(jì)算時(shí)間會(huì)很長(zhǎng)。當(dāng)網(wǎng)格尺寸在逐漸減小時(shí)，相對(duì)誤差變化平緩，計(jì)算結(jié)果趨于一個(gè)穩(wěn)定值0.57 MPa，考慮到計(jì)算時(shí)間，本文中選擇15 mm作為計(jì)算的網(wǎng)格尺寸。

表1 網(wǎng)格相關(guān)性驗(yàn)證

圖3是建立的有限元模型及邊界條件，坐標(biāo)系位于模型的A端，X軸與模型旋轉(zhuǎn)軸重合，模型沿著圓柱周向是2.52 mm厚的復(fù)合材料，復(fù)合材料選用Carbon/Epoxy，鋪層順序是[0/90]12T，左端A敞開(kāi)，右端B是13 mm后的碳鋼端蓋，A端沿著圓柱外徑施加固定約束，B端沿著圓柱外徑只允許軸向位移，周向和右端施加均布?jí)毫d荷來(lái)模擬水下壓力場(chǎng)。

圖4是有限元模型位移最大節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)號(hào)1078)的壓力-位移變化曲線，包括X方向位移(UX)、Y方向位移(UY)和總位移(SUM)跟隨壓力的變化曲線。從圖中可以看出，X方向位移隨壓力的變化程度要大于Y方向的，但3條曲線的變化趨勢(shì)基本相同，在0.57MPa曲線達(dá)到峰值，隨后壓力的變化帶來(lái)位移的急劇改變，表明圓柱殼體已經(jīng)發(fā)生屈曲現(xiàn)象。文獻(xiàn) [4]中CTM1試樣的試驗(yàn)殼體屈曲壓力是0.55MPa，本文中ANSYS計(jì)算的屈曲壓力是0.577MPa，相對(duì)誤差是5%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[4]中利用ACOSwin計(jì)算的誤差值(15.5%)，與試驗(yàn)結(jié)果十分吻合。

圖3 有限元模型及邊界條件Fig. 3 Finite element model and boundary conditions

圖4 節(jié)點(diǎn)1078壓力-位移曲線Fig. 4 Pressure vs. displacement curve of node 1078

圖5 屈曲模態(tài)形狀Fig. 5 Buckling mode shape

屈曲模態(tài)形狀是驗(yàn)證計(jì)算是否正確的很重要的一個(gè)指標(biāo)，只有屈曲波形較好地與試驗(yàn)屈曲波形重合才能證明計(jì)算的正確[5]。圖5是屈曲分析的屈曲模態(tài)形狀，其中，周向有4個(gè)波，軸向有一個(gè)長(zhǎng)波，與文獻(xiàn) [4]中Marc非線性分析的波形十分相似，盡管波形的曲率與長(zhǎng)度與試驗(yàn)略有差異，但是波形基本相同，較好地預(yù)測(cè)了圓柱殼體屈曲模態(tài)形狀。復(fù)合材料的抗拉能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其抗壓能力，圖5中模型中部凹陷部分纖維承受的是壓應(yīng)力，其應(yīng)力和應(yīng)變也是最大的，1078號(hào)節(jié)點(diǎn)就位于這個(gè)位置。

3 材料對(duì)殼體屈曲的影響

為了顯示復(fù)合材料殼體相對(duì)于傳統(tǒng)殼體的優(yōu)越性和選擇一個(gè)更適合于水下的復(fù)合材料，對(duì)比了不同材料殼體屈曲行為。嚴(yán)酷的水下環(huán)境要求殼體材料能夠以承受高的外部壓力、具有良好的耐腐蝕性、高的比強(qiáng)度、良好的吸聲性能、良好的制造性能、較長(zhǎng)的使用壽命、合理的材料費(fèi)用，如果有防火要求，還得考慮材料對(duì)于溫度的敏感性[14]。因此，本文選擇了滿足以上條件的傳統(tǒng)材料鋁合金和3種復(fù)合材料Carbon/Epoxy[4]、Boron/Epoxy[15]、Glass/Epoxy[6]，材料的機(jī)械性能如表2所示。

表2 材料彈性性能

薄壁殼體的失效主要是兩方面，一個(gè)是殼體的屈曲，另一個(gè)是材料的破壞[16-17]，大量研究表明屈曲破壞是復(fù)合材料圓柱殼體的主要破壞形式[18]，所以本文只研究圓柱殼體的屈曲行為。

圓柱殼體的幾何尺寸L(長(zhǎng)度)×d(中徑)=600mm×300mm。圖6是不同材料圓柱殼體屈曲壓力-鋪層厚度的變化曲線，從圖中可以看出隨著鋪層厚度的增加屈曲壓力顯著增大，Boron/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力最大，Glass/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力最小，鋁合金與Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力居中且相近，在厚度是0.19mm之前Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力大于鋁合金圓柱殼體屈曲壓力，在0.19mm之后Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力小于鋁合金圓柱殼體屈曲壓力。然而鋁合金圓柱殼體在屈曲之前就發(fā)生了材料的失效,所以其實(shí)際屈曲壓力是低于計(jì)算結(jié)果的。Glass/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力-鋪層厚度曲線近似為線性變化，其他3條曲線近似為指數(shù)變化。

圖6 不同材料殼體屈曲壓力-鋪層厚度曲線Fig. 6 Buckling pressure vs. ply thickness curves of different materials shells

3種復(fù)合材料的基體都是Epoxy，不同的是纖維的材料，為了便于分析列出3種纖維性能[19]對(duì)比，如表3所示。

表3 纖維性能對(duì)比

從4種材料的屈曲曲線可以看出，Boron/Epoxy屈曲壓力最大，是最適宜的水下耐壓殼體材料，然而B(niǎo)oron/Epoxy價(jià)格很高，而且密度(2.11 g/cm3)較大，對(duì)于只要求提高屈曲壓力的情況下適用；Glass/Epoxy屈曲壓力最小，價(jià)格較低，密度(1.85 g/cm3)比Boron/Epoxy小，對(duì)于屈曲壓力要求不高追求性價(jià)比的情況下適用；鋁合金屈曲壓力介于Carbon/Epoxy與Glass/Epoxy之間，但密度(2.77 g/cm3)很大，復(fù)雜殼體的加工工藝復(fù)雜，對(duì)于減重要求不高結(jié)構(gòu)不復(fù)雜的情況下適用；Carbon/Epoxy屈曲壓力較大，密度(1.32 g/cm3)最小，比強(qiáng)度高，價(jià)格適中，對(duì)于減重要求高追求綜合性能的情況下適用。

圖7是鋪層厚度是0.105 mm時(shí)4種材料的屈曲模態(tài)形狀對(duì)比圖，波形各不相同，鋁合金殼體周向有5個(gè)波，其他3種復(fù)合材料殼體周向有4個(gè)波，但波形的分布位置和大小各不相同。

復(fù)合材料圓柱殼體承受水壓時(shí)，根據(jù)能量法計(jì)算其壓縮強(qiáng)度如式(11)所示[20]，主要受到基體的剪切模量和纖維體積分?jǐn)?shù)的影響，當(dāng)壓力達(dá)到一定值時(shí)就會(huì)引起纖維的微觀屈曲使基體產(chǎn)生剪切變形，然后發(fā)生殼體整體發(fā)生變形，此時(shí)纖維主要受到拉伸作用，Boron纖維的拉伸模量最大，所以其抵抗變形能力就越強(qiáng)，Boron/Epoxy圓柱殼體的耐壓能力就越好。

(11)

式中：Gm是基體的剪切模量，Vf是纖維的體積分?jǐn)?shù)，β是修正系數(shù)。

圖7 不同材料殼體屈曲模態(tài)形狀Fig. 7 Buckling mode shapes of different materials' shells

4 結(jié)構(gòu)對(duì)殼體屈曲的影響

帶肋骨各向同性材料圓柱殼體的屈曲研究已經(jīng)很成熟，而帶肋骨復(fù)合材料圓柱殼體的屈曲研究較少，因此，本文中研究了不同的結(jié)構(gòu)包括無(wú)肋骨、矩形肋骨、T形肋骨、L形肋骨等殼體屈曲的影響，材料統(tǒng)一選擇Carbon/Epoxy。

TanguyMessager[21]指出圓柱殼體肋骨的周向加強(qiáng)對(duì)于提高其承受水壓的能力起主要作用，軸向的加強(qiáng)基本不起作用，所以本文中研究的肋骨都是周向肋骨。

圖8 殼體截面圖及肋骨尺寸Fig. 8 Cross-sectional view of shell & ribs dimensions

圖8是圓柱殼體截面圖及肋骨尺寸，矩形、T形和L形3種肋骨的截面積都是36mm2，分布位置相同，沿著軸向等間距分布，肋骨分布間距是100mm，共有五根肋骨，圓柱殼體的幾何尺寸L×d=600mm×300mm，圓柱殼體鋪層厚度是0.15mm，鋪層順序是[0/90]10T，殼厚3mm。

圖9 不同肋骨殼體壓力-位移曲線Fig. 9 Buckling pressure vs. displacement curves of shells with different ribs

圖10 不同肋骨殼體屈曲模態(tài)形狀Fig. 10 Buckling mode shapes of shells with different ribs

圖11 不同肋骨殼體壓力-位移曲線Fig. 11 Pressure vs. displacement curves of shells with different ribs

圖9是3種肋骨圓柱殼體的壓力-位移曲線，觀察4條曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Y坐標(biāo)值，可以得到T形、L形、矩形和無(wú)肋骨殼體的屈曲壓力分別是3.28、3.24、2.28和0.99MPa，可見(jiàn)肋骨大大增強(qiáng)了殼體的耐壓能力，且不同形式的肋骨對(duì)殼體的增強(qiáng)能力是不同的。圖10是不同肋骨殼體屈曲模態(tài)波形圖，其中無(wú)肋骨殼體有4個(gè)周向波，帶肋骨殼體有3個(gè)周向波，T形和L形肋骨殼體屈曲模態(tài)波形是相同的，但它們與矩形肋骨殼體的波形分布不同。

由于3種肋骨的截面積相同，分布位置也相同，而3種肋骨殼體的屈曲壓力卻不同，本文得出以下結(jié)論：T形肋骨的剛度>L形肋骨的剛度>矩形肋骨的剛度。為了驗(yàn)證以上的結(jié)論，本文對(duì)比了3種肋骨在水下的壓力-位移曲線圖，如圖11所示，可以看出，T形肋骨屈曲壓力>L形肋骨屈曲壓力>矩形肋骨屈曲壓力，與結(jié)論相符。

5 結(jié)論

本文對(duì)圓柱復(fù)合材料殼體進(jìn)行了非線性屈曲分析，對(duì)比了不同材料殼體之間、不同結(jié)構(gòu)殼體之間的屈曲行為，得出以下結(jié)論：

1)引入恰當(dāng)?shù)某跏紟缀稳毕?，?duì)復(fù)合材料殼體進(jìn)行非線性屈曲數(shù)值分析，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較好的一致性。

2)水下復(fù)合材料殼體耐壓時(shí)，首先引起纖維的微觀屈曲使基體產(chǎn)生剪切變形，然后發(fā)生殼體整體發(fā)生變形，纖維受到拉伸，其拉伸模量對(duì)殼體屈曲壓力的影響較大，意味著水下復(fù)合材料應(yīng)該選擇拉伸模量較高的纖維。

3)相對(duì)于其他形式的肋骨，T形肋骨的耐壓能力更好，其對(duì)復(fù)合材料殼體的整體剛度有較大增強(qiáng)，提高了殼體的屈曲壓力，說(shuō)明肋骨的形狀對(duì)于殼體整體的剛度有較大影響，有必要對(duì)肋骨形狀和尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)以提高殼體的剛度。

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Nonlinear numerical buckling analysis of composite underwater cylindrical shell

PAN Guang, LU Jiangfeng, SHEN Kechun

(College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

In order to solve low accuracy in underwater composite simulation, the nonlinear numerical analysis method was used to study underwater buckling behaviors of a composite cylindrical shell. The results show that the simulation and an experiment are consistent with each other, which validates the effectiveness of the model and the method. The underwater nonlinear buckling behaviors of an underwater shell made of four kinds of materials , including aluminum, carbon/epoxy, boron/epoxy and glass/epoxy, were contrasted. The results show that the tensile modulus of fibers have great impact on the pressure capacity of the cylindrical shell. Carbon/epoxy is an ideal material for cylindrical shells subjected to hydrostatic pressure.Finally, the underwater nonlinear buckling behaviors of stiffened composite cylindrical underwater shells with different shaped ribs, such as rectanglar, T-shaped, and L-shaped ribs, were studied. The results show that the T-shaped ribs are best for improving the buckling pressure of cylindrical shells. The results of this paper have an important reference value and guidance function for underwater application and study of composite materials.

composites; cylindrical shell; nonlinear buckling analysis; defect factor; arc-length method; finite element analysis; rib

2014-12-18.

時(shí)間：2015-07-28.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51279165,51479170).

潘光(1969-), 男,教授,博士； 魯江鋒(1984-), 男,碩士研究生.

魯江鋒, E-mail：windf.23@gmail.com.

10.3969/jheu.201412056

TB332

A

1006-7043(2015)09-1159-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150728.1414.005.html