康莊，張立，張翔

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院 深海工程技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱150001)

懸鏈線和大變形梁理論的J型鋪設(shè)研究

康莊，張立，張翔

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院 深海工程技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱150001)

為獲得J型鋪設(shè)解析方法，研究了深水鋼懸鏈立管的J型鋪設(shè)作業(yè)過程中的靜力分析，引入一種稱為分段力學(xué)模型的優(yōu)化模型。首先基于懸鏈線理論建立懸鏈線模型進行求解，然后在懸鏈線模型的基礎(chǔ)上對立管進行分段計算，變形大的區(qū)域使用大變形梁理論，依據(jù)奇異攝動法漸近展開二階非線性微分控制方程，其余區(qū)域使用懸鏈線理論重新求解，最后合成兩部分結(jié)果為整體解。與懸鏈線理論和大變形梁理論對比分析之后發(fā)現(xiàn)，分段力學(xué)模型對邊界條件滿足較好，計算結(jié)果與高精度的大變形梁理論結(jié)果相當(dāng)。同時，使用分段力學(xué)模型來分析了濕重以及剛度的參數(shù)敏感性影響。

鋼懸鏈立管；J型鋪設(shè)；懸鏈線；大變形梁；攝動法；分段力學(xué)模型

立管系統(tǒng)作為連接海上浮體與水下生產(chǎn)系統(tǒng)的關(guān)鍵性部分，是海洋開發(fā)中不可或缺的組成部分，其中鋼懸鏈立管(steel catenary risers, SCR)以其良好的適用性以及低廉的價格成為立管系統(tǒng)的首選形式[1]，鋪設(shè)深度也從淺水走向3 500 m以上的超深水。與S型鋪設(shè)和卷筒鋪設(shè)方法相比，J型鋪設(shè)，以立管近乎垂直下放到水中的形態(tài)而得名，能夠使鋼懸鏈立管產(chǎn)生更小的應(yīng)力，成為超深水立管鋪設(shè)中的最優(yōu)選擇。有以下優(yōu)點：1)縮短安裝船與觸地點(touch down point，TDP)之間的距離；2)有效降低安裝船對立管的水平支撐力，進而降低了立管的應(yīng)力；3)消除了立管在托管架附近上彎段的彎曲；4)減小了安裝船所提供的拉力的要求，無需脆弱的托管架[2]；5)除了接近海面的一小段區(qū)域外立管受波浪影響很小[3]。J型鋪設(shè)過程中鋼懸鏈立管的鋪設(shè)形態(tài)和受力分析是立管總體設(shè)計的重點，一方面關(guān)系到鋼懸鏈立管的安全性能，決定了立管在自重和張緊器作用下的靜張力和彎矩，另一方面靜力分析更是動力分析的初始平衡位置[4]。

立管J型鋪設(shè)分析中，懸鏈線理論、有限元和有限差分法是常用到的方法：懸鏈線理論忽略了立管的彎曲剛度，有限元和有限差分法[5]離散了立管結(jié)構(gòu)帶來了結(jié)果的不精確，與鋼懸鏈立管的實際受力有一定的不同，而大變形梁理論則能夠充分把握受力的最主要特點[6]，國際上有不少學(xué)者[2,4-10]提出了基于大變形梁理論的解析方法。

R.PLUNKETT[7]建立了大變形梁理論的受力非線性微分方程，利用奇異攝動法漸進展開，對立管受力求解。D .A .DIXON等[8]對原有的懸鏈線理論加以改進，引入了剛性懸鏈線理論進行管道鋪設(shè)形態(tài)分析，并嘗試用數(shù)值方法迭代求解。F. Guarracino等[9]研究了S型鋪設(shè)的立管彈性變形，考慮了立管彎矩影響、立管橫截面的變形，以及立管在水中的內(nèi)壓和外壓影響，修正彎矩表達，通過使用奇異攝動法，獲得立管S型鋪設(shè)的解析解。S.Lenci 等[2]從經(jīng)典懸鏈線微分方程出發(fā)，提出了3種階梯狀的不同形式的簡化模型，解決不同邊界條件下的求解，但是其可靠性和安全性有待驗證。Torselletti等[10]基于大變形梁理論分析S型鋪設(shè)過程中管線懸垂段的應(yīng)力。王琴等[4]基于大變形梁理論，對J型鋪設(shè)研究，并利用奇異攝動法求解，得到J型鋪設(shè)過程中的彎矩和頂部張力。然而，大變形梁理論雖然求解精度較高，但是計算過程針對于高階非線性方程復(fù)雜，計算量較大，其在計算J型鋪設(shè)時，假設(shè)立管頂端的彎矩為零，這與工程實際有一定的誤差，另外，懸垂段使用大變形梁理論分析并不必要。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，對立管的大變形梁理論模型進行改進，提出“分段力學(xué)模型”：先對立管整體使用懸鏈線理論計算得到其一般初始形態(tài)，找到立管上曲率小于某值λ的分段點E，然后在垂彎段使用大變形梁理論，通過攝動法得到解析解，自分段點至立管頂部分離點使用懸鏈線模型重新求解，進而合成兩部分解得到整體解。

1 J型鋪設(shè)的靜力分析

在深水鋪設(shè)過程中，立管要受到多種力的復(fù)雜作用，其中主要為自身重力、浮力，以及水動力的影響，為了建立模型對J型鋪設(shè)進行靜力分析，做出以下合理假設(shè)：1)立管在變形時候不產(chǎn)生扭矩；2)立管是細長體，可以簡化為梁單元；3)海床是剛性的，忽略立管的剪切變形和軸向變形。

為了更好地對鋼懸鏈立管進行靜力分析，本文使用了兩個逐步近似的懸鏈線模型和分段力學(xué)模型。后者在前者的基礎(chǔ)上，對立管整體使用分段計算：觸地點附近使用大變形梁理論，彎曲變形較小的區(qū)域使用懸鏈線模型。

1.1 懸鏈線模型

深水J型鋪設(shè)中，懸鏈線模型是描述J型鋪設(shè)的最簡單的形式，它忽略了彎曲剛度，只承受軸向拉力，在假設(shè)條件下，模型可簡化為固定平面內(nèi)的二維模型，如圖1所示。在該分析模型中，模型的原點O建立在觸地點TDP，該點是立管從海床脫離的位置；x軸是水平軸，正向沿著管線伸展的方向；D是最大海水深度，即海床所在水深；l表示立管頂端的水平位置，微元承受的張力為T(x)，單位長度立管的濕重為w。

懸鏈線的控制方程為

(1)

式中：δ=w/H，考慮觸地點TDP處的邊界條件：

(2)

當(dāng)海床坡角為0o，有

(3)

同時,考慮到鋪管船位置的邊界條件：y(l)=D，y′(l)=tanφ(φ由J型塔控制)，可得任意位置與水平方向夾角、曲率以及張力如下：

(4)

(5)

(6)

雖然在微元力學(xué)模型中并沒有計入彎曲剛度影響，但是近似的彎矩仍然可以通過將抗彎剛度乘以管線的曲率得到：

(7)

懸鏈線模型主要優(yōu)點是：1)概念上較為簡單；2)計算結(jié)果不復(fù)雜，便于工程應(yīng)用；3)能夠給出懸垂段的可靠結(jié)果；4)對于更高精度的解析模型或者數(shù)值模型，能夠給出一個初始值，便于其使用；5)當(dāng)抗彎剛度越小，該模型的結(jié)果越精確[2]。懸鏈線模型建立在對于管線受力極大限度簡化的基礎(chǔ)之上，主要缺點是在觸地點TDP附近的不精確，而對于深水J型鋪設(shè)而言，TDP附近的求解是非常重要的。

圖1 J型鋪設(shè)示意圖Fig. 1 Configuration of J lay installation

1.2 分段力學(xué)模型

在利用1.1中懸鏈線模型得到SCR的解之后，立管的曲率從O點(TDP)到分離點A逐漸下降，在κ(x)函數(shù)曲線上，點E處κ(x)=λ，且OE段曲率變化迅速，EA段曲率變化平緩。圖2分別對OE和EA的微元描述如下。圖中，H，V分別表示微元在水平和豎直方向的受力，M表示微元所受彎矩，θ表示與水平方向的夾角，w表示單位微元在水中的濕重，f(s)表示單位微元所受的流體力。

圖2 分段力學(xué)模型形態(tài)和受力示意圖Fig. 2 Configuration and forces diagram of piecewise mechanics model

1.2.1OE段

f(s)sinθ·ds=0

(8)

根據(jù)彎矩剪力的微分關(guān)系：M=EIdθ/ds將微元當(dāng)作梁單元處理，則I為常數(shù)，dM/ds=EId2θ/ds2，顯然水平力H=C，且dV/ds=w。

對于θ有：dy/ds=cosθ，dx/ds=sinθ，深水鋪設(shè)過程中，f(s)/w?1 ，因而f(s)≈0可以忽略。則微分方程可以寫成：

(9)

式(9)大變形梁理論控制方程是典型的二階非線性方程，且由于其邊界可動，此類問題常用奇異攝動理論進行求解。本文采用匹配漸進展開法，借助Wasow的研究，使用VanDyke匹配原則，在O點(TDP)和E點鄰域使用內(nèi)場展開，對于其余部分使用外場展開。

主要求解過程如下：

1)控制方程的無量綱化

(10)

2)一般區(qū)域的外場展開

將θ(ξ,ε) 展成關(guān)于ε的冪級數(shù)：

(11)

則

(12)

展開并使ε各次冪系數(shù)為0，可得θk(ξ)的各階遞推方程，前三階方程表示為

ε0階

(13)

(14)

ε1階

(15)

由式(13)～(15)，解得方程(10)的二階外場展開解為：

θo(ξ,ε)=arctan(ωξ+a)+

(16)

顯然，此外場解對ξ=0，1 的2個邊界層區(qū)域內(nèi)不適用，因此需分別建立兩邊界層內(nèi)的內(nèi)場近似解。

3)ξ=1 端的內(nèi)場展開

(17)

(18)

(19)

與外場解求解過程類似，將方程(19)代入式(18)并展開，使ε各次冪系數(shù)為0，獲得φ的各階遞推方程。考慮ξ=1 處的邊界條件：

(20)

則

(21)

式中：τ為無量綱曲率。

利用邊界條件(21)求解各階遞推方程，同時，運用VonDyke匹配原則，即n項外部展開式的m項內(nèi)部展開式等于m項內(nèi)部展開式的n項外部展開式，確定遞推方程中積分常數(shù)。這里取m=n=2。可得θ在ξ=1 端的二階內(nèi)場展開解為

(22)

4)TDP附近(ξ=0 端)的內(nèi)場展開

(23)

(24)

考慮TDP點邊界條件，為保證彎矩的連續(xù)性，選擇曲率邊界條件，有：

(25)

利用邊界條件求解遞推方程，同時利用VonDyke匹配原則，確定積分常數(shù)，仍取m=n=2。

得θ在ξ=0 端的二階內(nèi)場展開解為：

(26)

5)合成漸進展開解

(27)

后兩項分別表示ξ=0及ξ=1端邊界處外場解的內(nèi)場極限。將內(nèi)場解統(tǒng)一為外場變量，有：

θC(ξ,ε)=arctan(ωξ+a)+

(28)

(29)

6)其他參數(shù)的獲得

為得到管線彎曲形態(tài)，需獲得曲線各點的橫縱坐標。由式(29)得到：

同理，大變形梁總長L可表示為：

(30)

注意，L是利用大變形梁理論重新求解后的結(jié)果，與1.1節(jié)中提供的初值有區(qū)別。

考慮端點E受力情況，如圖3所示。

圖3 分段點E點受力分解Fig. 3 Components of the force acting on point E

(31)

則軸向張力可表示為

T=Hcosθ+Vsinθ

(32)

(33)

1.2.2EA段

當(dāng)OE段使用大變形梁理論計算出結(jié)果之后，根據(jù)E點的形態(tài)和彎矩連續(xù)作為邊界條件，利用1.1節(jié)中懸鏈線模型重新計算得到EA段的結(jié)果。得到鋼懸鏈立管的形態(tài)、軸向張力、彎矩等參數(shù)之后，馮米塞斯應(yīng)力計算原理可以計算出立管的等效應(yīng)力等參數(shù)。

1.2.3 分段力學(xué)模型的優(yōu)點

1)計算精度高，與懸鏈線模型相比，不受抗彎剛度EI影響；2)在曲率較大影響的區(qū)域，充分考慮了彎矩影響；3)相對于全部使用大變形梁理論的攝動法求解，分段力學(xué)模型求解非線性方程區(qū)域縮小，具有計算效率高的特點；4)不需要假設(shè)頂端未知條件；5)為包含大變形和小變形的結(jié)構(gòu)，如S型鋪設(shè)、緩波和陡波形SCR和柔性立管的求解提供了解決思路。

2 數(shù)值求解

鋼懸鏈式立管J型鋪設(shè)分段力學(xué)計算模型的計算流程如圖4所示。

圖4 計算流程圖Fig. 4 Flowchart of calculation

求解過程敘述如下：

1)輸入初始參數(shù)；

2)確定分段點E位置，OE初始長度L0；

3)匹配漸進展開法求解OE段，具體過程為：

①確定方程參數(shù)ε的初始值，得到新參數(shù)ε；

4)重新對EA段采用懸鏈線理論求解；

5)將兩部分力學(xué)模型的結(jié)果進行綜合，得到J型鋪設(shè)全長范圍內(nèi)的撓曲線形態(tài)以及彎矩等參數(shù)。

3 算例分析

為了驗證懸鏈線模型和分段力學(xué)模型的合理性，使用算例進行分析，J型鋪設(shè)進行計算，鋼材選取為X65鋼，密度為7 850 kg/m3，海床傾角為0，其余數(shù)據(jù)根據(jù)API規(guī)范設(shè)定。計算程序基于MATLABVersion7.10，畫圖使用Origin8.0。

3.1 模型對比

管徑為18英寸，壁厚1.25英寸，作業(yè)水深為3 000m，管線總長為4 000m，預(yù)張力為5 681kN。懸鏈線理論、大變形梁理論和分段力學(xué)模型對形態(tài)和彎矩的計算結(jié)果如圖5和6所示。

圖5 3種模型的形態(tài)計算結(jié)果Fig. 5 Configuration of three models

圖6 3種模型的彎矩計算結(jié)果Fig. 6 Bending moment of three models

根據(jù)圖5，三者形態(tài)計算結(jié)果相似，僅在頂部附近出現(xiàn)較小偏差，詳細數(shù)據(jù)如表1所示，大變形梁理論和分段力學(xué)模型對懸垂段和分離角都有較好的符合。在圖6中，懸鏈線理論計算出的最大值大于大變形梁理論和分段力學(xué)模型的結(jié)果，最大值出現(xiàn)位置與后兩者略有差距，且在觸地點TDP位置出現(xiàn)彎矩不連續(xù)，由于底端受海床約束，浮體響應(yīng)以及海流誘發(fā)的立管渦激振動容易導(dǎo)致SCR觸地點區(qū)域的疲勞破壞[11]，而觸地點區(qū)域的動力響應(yīng)主要決定了鋼懸鏈線立管的可行性[12]，故懸鏈線理論受到極大局限。而后兩者在除立管頂端分離點以外的計算結(jié)果近似重合，證明分段力學(xué)模型是合理的；實際鋪設(shè)過程中立管從J型塔分離要產(chǎn)生一定彎矩，大變形梁理論假設(shè)頂端彎矩為零不但不合實際，且導(dǎo)致其結(jié)果在頂部分離點附近出現(xiàn)彎矩突變。分段力學(xué)模型由于在垂彎段使用的是可控的曲率作為邊界條件，在懸垂段使用的是分段點的形態(tài)和彎矩的連續(xù)作為邊界條件，避免了不合理假設(shè)帶來的誤差。

表1 3種模型的計算數(shù)據(jù)

注：0 m自井口算起，下同；分離角是立管與豎直方向的夾角。

3.2 濕重

本質(zhì)上，立管尺寸的變化是濕重和剛度的變化，因而根據(jù)API規(guī)范，選取相應(yīng)類型的立管作為分析算例。圖7、8中給定的濕重分別是1.50、1.55、1.60、1.65、1.70 kN/m。

圖7顯示隨著濕重的增加，TDP位置不同，立管從J型塔的頂部分離點與TDP的距離減小。圖8表明立管彎矩從TDP迅速增加到最大值后減小，而隨著濕重的增加，TDP附近的最大彎矩的值隨之增加，詳細計算結(jié)果如表2所示。

圖7 不同濕重的形態(tài)計算結(jié)果Fig. 7 Configuration of different wet weights

圖8 不同濕重的彎矩計算結(jié)果Fig. 8 Bending moment of different wet weights

表2 不同濕重計算結(jié)果

3.3 剛度

不同剛度時的形態(tài)和彎矩計算結(jié)果如圖9和10所示，剛度EI分別是1.0×108、1.5×108、2.0×108、2.5×108、3.0×108N·m2。

圖9 不同剛度的形態(tài)計算結(jié)果Fig. 9 Configuration of different bending stiffness

圖10 不同剛度的彎矩計算結(jié)果Fig. 10 Bending moment of different bending stiffness

根據(jù)圖9和表3，5者的形態(tài)十分相近，立管從鋪管船J型塔的分離位置和分離角近似相同；根據(jù)圖10，彎矩的最大值隨著剛度的增加而增加。

表3 不同剛度計算結(jié)果

4 結(jié)論

1)基于懸鏈線理論和大變形梁理論的“分段力學(xué)模型”在TDP附近能夠很好地與大變形梁理論的結(jié)果吻合較好；在懸垂段，由于立管的曲率不大，分段力學(xué)模型能夠與懸鏈線理論和大變形梁理論結(jié)果較好近似，同時兼具懸鏈線理論和大變形梁理論的優(yōu)點，并且有效回避了二者的缺點，計算過程較大變形梁理論簡單，是一種合理的優(yōu)化模型，證明其高效高精度合乎工程實際，其計算結(jié)果可以為鋼懸鏈立管J型鋪設(shè)提供預(yù)報。

2)算例結(jié)果表明，分段力學(xué)模型與大變形梁理論精度相當(dāng)。分段力學(xué)模型與大變形梁理論的結(jié)果吻合較好，特別在TDP位置；對比不同濕重和剛度的結(jié)果后，發(fā)現(xiàn)濕重和剛度對計算結(jié)果影響明顯。

3)分段力學(xué)模型經(jīng)過擴展后可以為包含大變形和小變形結(jié)構(gòu)如S型鋪設(shè)、緩波和陡波形SCR和柔性立管的解析求解提供一種思路，延拓了單一懸鏈線理論和大變形梁理論的使用范圍。

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Analysis of J lay installation of a steel catenary riser based on catenary and large deflection beam theory

KANG Zhuang，ZHANG Li，ZHANG Xiang

(Deepwater Engineering Research Center, College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In order to obtain an analytic method for J lay installation, a static analysis was made of the J lay installation process of a deepwater steel catenary riser, then introduced an optimized model called the piecewise mechanics model. First the catenary model based on the catenary theory was established and solved. Then the riser was computed piece by piece, based on the catenary model, applying large deflection beam theory for the area with large deformation, and developed asymptotically the 2nd-order nonlinear differential control equation on the basis of a singular perturbation equation. This process was repeated using catenary theory for the remaining areas. Last, the results of the two parts were combined into an overall solution. A comparison of the piecewise mechanics model with the catenary riser theory and large-deflection beam theory, shows that the piecewise mechanics model meets the boundary conditions very well, the computation result matches the result of high-precision large-deformation beam theory. The piecewise mechanics model can also be used to analyze the influence of wet weight and stiffness on parameter sensitivity.

steel catenary riser; J lay; catenary method; large deflection beam; perturbation; piecewise mechanics model

2014-06-23.

時間：2015-07-15.

國家科技重大專項基金資助項目(2011ZX05027-002-004-008).

康莊(1978-), 男, 副教授； 張立(1991-), 男, 碩士研究生.

張立，E-mail：vzhangli@hrbeu.edu.cn.

10.3969/jheu.201407009

O312.2

A

1006-7043(2015)09-1170-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150715.1727.004.html