周建友，張凱威

ZHOU Jianyou1,ZHANG Kanwei2

1.遵義市煙草公司 道真縣分公司，貴州 遵義563500

2.貴州大學 計算機科學與信息學院，貴陽477004

1.Daozhen Branch,Zunyi Tobacco Company,Zunyi,Guizhou 563500,China

2.College of Computer Science and Information,Guizhou University,Guiyang 477004,China

1 引言

卷煙銷售是卷煙行業(yè)管理中最為關(guān)鍵的內(nèi)容，卷煙銷售的預測可以為卷煙生產(chǎn)、運輸、配送提供指導，因此設計高精度的卷煙銷售預測模型是卷煙管理領(lǐng)域中的重要研究課題[1]。

多年來，國內(nèi)外大量學者對卷煙銷售預測進行了大量的研究，并提出一些預測模型[2]。傳統(tǒng)卷煙預測模型包括回歸分析方法、時間序列法、灰色關(guān)聯(lián)法和馬爾可夫鏈等，它們假設卷煙銷售量是一種線性變化趨勢，而實際上卷煙銷售量受到經(jīng)濟、人口、市場波動和季節(jié)等多種因素綜合影響，具有非線性、隨機變化特點，因此，傳統(tǒng)預測模型難以正確描述該變化趨勢，卷煙銷售的預測精度不理想[3]。隨著非線性理論不斷發(fā)展，出現(xiàn)了基于神經(jīng)網(wǎng)絡等非線性預測模型，并取得了比較好的預測效果，但其對學習樣本的需求量大，而獲得的卷煙銷售量訓練樣本非常有限，因此預測結(jié)果有時出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象[4-6]。最小二乘支持向量機（LSSVM）是一種專門研究小樣本情況下的機器學習算法，一定程度上解決了神經(jīng)網(wǎng)絡過學習和欠學習以及局部最優(yōu)解、維數(shù)災難等問題，為解決小樣本卷煙銷售量預測提供了一種新的研究方法[7]。不同參數(shù)下的LSSVM 預測精度差別大，出現(xiàn)了基于粒子群優(yōu)化算法、遺傳算法、野草算法等LSSVM參數(shù)優(yōu)化方法，但這些算法均存在各自的不足，因此選擇合適的LSSVM參數(shù)是提高卷煙銷售預測精度的關(guān)鍵[8-11]。Yang 和Deb 于2009 年提出模擬布谷鳥尋窩產(chǎn)卵行為的全局搜索方法—布谷鳥搜索（Cuckoo search，CS）算法，具有容易實現(xiàn)、參數(shù)設置少等優(yōu)點，一些研究表明，CS算法的性能超過了遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法[12-13]。

為了提高卷煙銷售量預測精度，提出一種改進布谷鳥算法（MCS）優(yōu)化混合核LSSVM 的卷煙銷售量預測模型（MCS-LSSVM），并通過仿真實驗測試了MCS-LSSVM的可行性和優(yōu)越性。

2 布谷鳥優(yōu)化混合核LSSVM 的卷煙銷售量預測模型

2.1 LSSVM 基本原理

給定N個訓練樣本{(xi,yi),…,(xN,yN)}，其中xi為n維的訓練樣本輸入，yi為訓練樣本輸出，LSSVM 算法的目標優(yōu)化函數(shù)為：

式中，φ(·)為核空間映射函數(shù)；w為權(quán)矢量；ei為誤差變量；b為偏置量；μ和γ為可調(diào)參數(shù)。

為求解函數(shù)的最小值，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

式中，αi為拉格朗日乘子。

對式（1）求偏導可得：

式中，i=1,2,…,N。

通過消去w和e，求解的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程：

式中，y=[y1,y2,…,yN]，1v=[1,1,…,1]，α=[α1,α2,…,αN]，Ω=φ(xi)Tφ(xi)=K(xi,xl)。

通過求解式（4）可得到α和b則用于函數(shù)估計的LSSVM 為：

式中，K(x,xi)為核函數(shù)。

2.2 混合核函數(shù)

不同核函數(shù)，構(gòu)建不同的LSSVM 預測模型，當前核函數(shù)可分為全局和局部核函數(shù)，全局核函數(shù)的一個典型是多項式核函數(shù)，局部核函數(shù)的一個典型是RBF 核函數(shù)。為了提升LSSVM 的性能，得到學習能力和泛化能力都較強的核函數(shù)，本文將通過組合兩種具有代表性的局部核函數(shù)（RBF 核函數(shù)）和全局核函數(shù)（多項式核函數(shù)）的映射特性，構(gòu)造一種混合核函數(shù)，此混合核函數(shù)滿足Mercer條件，其表達式為：

式中，Kpoly=[(x·xi)+1]2表示二次多項式核函數(shù)，KRBF=exp(-‖x-xi‖2/ 2σ2),σ＞0 表示RBF 核函數(shù)，β是調(diào)整兩種核函數(shù)對總的混合核函數(shù)的影響，即權(quán)系數(shù)。

2.3 改進的布谷鳥搜索算法（MCS）

在CS 算法中，一個鳥巢的卵表示一個候選解，一個布谷鳥的卵表示一個新的解，布谷鳥尋窩的路徑和位置更新公式如下：

通過位置更新后，用隨機數(shù)r∈[0, 1]與鳥窩的主人發(fā)現(xiàn)外來鳥的概率Pa對比，若r＞Pa，則對進行隨機改變，否則不變。

在基本CS 算法中，布谷鳥尋窩的路徑和位置是隨機的，以父代位置信息為參考進行更新。為了提高CS算法的性能，本文在布谷鳥尋窩的路徑和位置更新公式（8）中引入慣性權(quán)重：

慣性權(quán)重的引入，可使CS 算法有擴展搜索空間的趨勢，有能力搜索新的區(qū)域，實驗表明，較大的慣性權(quán)重w有利于跳出局部最優(yōu)，進行全局尋優(yōu)；較小的w值有利于局部尋優(yōu)，加速算法收斂。為了平衡算法的全局和局部搜索能力，慣性權(quán)重w的值應隨著迭代次數(shù)的增加而遞減。然而，CS 算法在實際搜索過程中是非線性的，慣性權(quán)重線性遞減策略不能反映實際的優(yōu)化搜索過程。因此，本文引入一種慣性權(quán)重非線性遞減策略：

式中，iter為當前迭代次數(shù)。

2.4 MCS-LSSVM 的卷煙銷售量預測步驟

（1）收集卷煙銷售量歷史數(shù)據(jù)，確定LSSVM 的輸入與輸出，生成LSSVM 的學習樣本。

（2）根據(jù)經(jīng)驗確定β、γ、σ取值范圍以及MCS 算法的相關(guān)參數(shù)值。

（4）保留上代最小誤差Fmin對應的最優(yōu)鳥巢位置。

（5）利用式（9）計算Levy Flight 步長大小，由Levy Flight對其他鳥巢進行更新，得到一組新的鳥巢位置，并計算它們的預測誤差。

（8）找出步驟（7）最后找到pt中最優(yōu)的一個鳥巢位置，并判斷其最小誤差Fmin是否滿足卷煙銷售量預測精度要求，如果滿足，則停止搜索；反之，則返回步驟（4）繼續(xù)尋優(yōu)。

3 仿真實驗

3.1 數(shù)據(jù)來源

在CPU P4 3.0 GMHz，RAM 2 GB，Windows 2000的PC 機上，采用VC++進行仿真實驗。數(shù)據(jù)來自貴州某卷煙公司2012 年的某種卷煙銷售數(shù)據(jù)，具體如圖1 所示。選擇前80 個樣本作為訓練集，其余40 個樣本作為測試集。

圖1 卷煙歷史銷售數(shù)據(jù)

3.2 對比模型及性能評價標準

選擇基本布谷鳥算法優(yōu)化混合核LSSVM（CS-LSSVM）、改進谷鳥算法優(yōu)化RBF 核的LSSVM（RBF-LSSVM）以及改進谷鳥算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡（MCS-BPNN）進行對比實驗。單步預測模型主要考察預測點的精度，采用均方根誤差RMSE和平均絕對百分誤差MAPE作為模型的評價標準，它們定義如下：

式中，yt表示實際值，表示預測值，n表示樣本數(shù)。

3.3 構(gòu)建LSSVM 學習樣本

卷煙銷售量具有后效性，當前時間的卷煙銷售量與前一段時間卷煙銷售量有關(guān)，需要通過確定最佳時延對LSSVM 學習樣本進行構(gòu)建。本文采用逐步增加時延數(shù)，并通過比較其預測精度來確定最佳時延數(shù)，具體化變化曲線如圖2 所示。從圖2 可知，卷煙銷售量的最佳時延為5，即表示當前時刻的卷煙銷售量與前5 個時間點的卷煙銷售量相對應，從而形成LSSVM 的卷煙銷售量學習樣本。

圖2 確定卷煙銷售量的最佳時延

3.4 結(jié)果與分析

3.4.1 單步預測性能分析

對重構(gòu)后的卷煙銷售量數(shù)據(jù)，選擇最后40 個卷煙銷售量數(shù)據(jù)作為測試集，其他數(shù)據(jù)作為訓練集，利用MCS-LSSVM 建立卷煙銷售量預測模型，MCS-LSSVM的預測結(jié)果與實際卷煙銷售量如圖3 所示，預測結(jié)果的誤差變化曲線如圖4 所示。對圖3 和4 進行分析可知，MCS-LSSVM 的單步預測結(jié)果與實際輸出相當吻合，具有較高的預測精度，具有良好的泛化推廣性。

圖3 單步預測結(jié)果與實際輸出的變化曲線

圖4 卷煙銷售量測試集預測結(jié)果的誤差分布

各模型單步預測結(jié)果見表1。從表1 可知，與對比模型相比，MCS-LSSVM 的卷煙銷售量預測結(jié)果更優(yōu)，具有更好的優(yōu)越性和穩(wěn)健性。

表1 不同模型的單步預測性能對比

3.4.2 提前多步預測性能分析

通常預測要求有較大的提前時間量，采用一步預測（即僅對下一個時間的卷煙銷售量進行預測），既不能有效反映卷煙銷售量變化趨勢，也無法針對卷煙銷售量對銷售策略做出改變。因此，有必要將一步預測擴展到多步預測，于是采用多步預測模型對未來多個時刻的卷煙銷售量進行預測，所有模型均采用迭代法的多步預測，即重復使用一步向前預測若干次，并把上一次的預測值視作系統(tǒng)輸出真值，應用于下一次預測中。采用MCSLSSVM 構(gòu)建卷煙銷售量預測的多步預測模型，分別提前2 步、3 步預測，提前2 步預測結(jié)果和實際輸出值如圖5 所示。從圖5 可以看出，MCS-LSSVM 模型對卷煙銷售量測試集提前2 步預測輸出與實際輸出幾乎相同，預測結(jié)果的預測誤差變化曲線如圖6 所示，預測誤差控制在有效范圍內(nèi)，只能夠在很小的數(shù)量級上才能區(qū)分，獲得了較高的預測精度。

圖5 提前2 步預測結(jié)果與實際輸出

圖6 提前2 步預測誤差分布

MCS-LSSVM 提前3 步預測卷煙銷售量結(jié)果和實際輸出值如圖7，各點預測誤差分布如圖8 所示。從圖7 可以看出，MCS-LSSVM 對卷煙銷售量測試集的提前3 步預測輸出與實際輸出符合得很好，因此，預測模型具有很好的推廣性。

圖7 提前3 步預測結(jié)果與實際輸出

圖8 提前3 步預測誤差分布

不同卷煙銷售量預測模型的預測性能對比見表2。對表2的結(jié)果進行分析可知，相對于對比模型，MCS-LSSVM具有預測性能高，預測結(jié)果更加準確、可靠等優(yōu)點，是一種預測精度高的卷煙銷售量預測模型。

表2 MCS-LSSVM 與其他模型多步預測性能對比

4 結(jié)論

為了獲得更優(yōu)的卷煙銷售量預測結(jié)果，提出一種MCS-LSSVM 的卷煙銷售量預測模型，根據(jù)仿真實驗可得如下結(jié)論：

（1）LSSVM 核函數(shù)及參數(shù)對卷煙銷售量預測結(jié)果有較大影響，通過將二次多項式核函數(shù)和RBF 核函數(shù)進行組合，提高模型的通用性，并采用布谷鳥算法對參數(shù)進行自動尋優(yōu)，克服了LSSVM 參數(shù)選擇的盲目性。對比結(jié)果表明，改進布谷鳥算法比標準布谷鳥算法尋優(yōu)能力更強，提高了卷煙銷售量預測精度。

（2）相對于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡，LSSVM 解決了神經(jīng)網(wǎng)絡在訓練樣本少的情況下過擬合的缺陷，具有訓練時間短及預測速度快等優(yōu)點，為小樣本下的卷煙銷售量預測提供了有效的解決方案，具有較高的實用價值。

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