蘇志剛，聶 瑩，吳仁彪

SU Zhigang1，2,NIE Ying2,WU Renbiao2

1.中國民航大學(xué) 中歐航空工程師學(xué)院，天津300300

2.中國民航大學(xué) 智能信號與圖像處理天津市重點實驗室，天津300300

1.Sino-European Institute of Aviation Engineering,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

2.Tianjin Key Laboratory for Advanced Signal Processing,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

1 引言

民用航空運輸作為一種快捷安全的交通方式，得到世界各國的高度關(guān)注，世界各主要經(jīng)濟體的民用航空發(fā)展速度均高于其經(jīng)濟發(fā)展速度。為確保民航航空的安全性，地面管制人員需要全面掌握所關(guān)注空域內(nèi)全部航班的動態(tài)信息及相應(yīng)的管制信息，特別是在航班密集空域。為精細(xì)準(zhǔn)確地確定飛行器在空間的位置，飛行器四維航跡（即用加入時間約束的三維空間坐標(biāo)表示的飛行器航跡）的研究成為當(dāng)前空中交通管理領(lǐng)域研究的熱點問題，這也是實現(xiàn)新一代空中交通管理系統(tǒng)（NextGen，SESAR）的關(guān)鍵技術(shù)[1]。國內(nèi)外圍繞四維航跡的預(yù)測、規(guī)劃、顯示等技術(shù)展開了深入的研究[2-4]。2012 年2 月AirBus 公司完成從圖盧茲到哥本哈根的全球首次基于四維航跡技術(shù)的試驗飛行任務(wù)。

傳統(tǒng)空管自動化系統(tǒng)采用二維平面綜合顯示地圖輔助管制員了解空域內(nèi)飛行器的動態(tài)信息，飛行器的高度信息由相應(yīng)的標(biāo)牌指示。然而，新一代空中交通管理系統(tǒng)中，為提高機場容量，采用持續(xù)下降進近或持續(xù)上升離場，傳統(tǒng)的二維平面綜合顯示地圖已經(jīng)無法滿足管理員對空域中飛行器高度變化的掌控[5]?；谌S地理信息的二維投影技術(shù)成為四維航跡的推薦顯示方式。飛行器四維航跡的動態(tài)顯示需利用三維地理信息搭建可投影到二維顯示屏上的三維場景，其支撐技術(shù)為透視投影。20世紀(jì)初，透視基礎(chǔ)理論的兩個重大成果，Kruppa定理和Beskin 定理，揭示了透視投影問題的基本規(guī)律[6]。文獻[7]給出Kruppa 定理的解析形式，隨后，在此基礎(chǔ)上從[7]射影幾何角度完善了透視投影理論[8-10]。隨著計算機圖形學(xué)的發(fā)展，透視投影衍衍生出以物體坐標(biāo)系、視點坐標(biāo)系以及畫面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的透視投影技術(shù)[11-13]。

以物體坐標(biāo)系、視點坐標(biāo)系以及畫面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的透視投影技術(shù)，需要建立三個坐標(biāo)系并且實現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)換，難以適用于空管自動化系統(tǒng)的顯示要求。因此本文在透視投影的規(guī)律下，利用計算機圖形基礎(chǔ)建立三維地理坐標(biāo)系與投影坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)與幾何關(guān)系，分別得到方位角、傾角以及視點、投影平面與地圖基準(zhǔn)面的相對位置對投影的影響因子，從而得到透視投影算法。并將所提出的透視投影算法應(yīng)用于三維地圖軟件搭建的三維背景中，實現(xiàn)三維空間中飛行器標(biāo)牌定位。

2 問題描述

空管自動化系統(tǒng)中飛行器的四維航跡顯示平臺利用三維地理信息數(shù)據(jù)，通過對三維空間的抽象描述，使系統(tǒng)平面位置綜合顯示器上的二維圖像呈現(xiàn)出景深、透視度等三維顯示特征[14-15]。通過三維空間觀測方位、傾角的變化形成對關(guān)注空域不同方位、不同傾角的二維多視角顯示[16]。空管自動化系統(tǒng)所采用的三維空間顯示通常是基于兩點透視投影形成的，即假設(shè)三維空間為一個長方體，投影平面與長方體的所有面相交，且至少與長方體的某一條邊平行[17]。

以空管自動化系統(tǒng)中心O點的水平面ABCD作為地圖基準(zhǔn)面，并以此點為原點構(gòu)建三維坐標(biāo)系OXYZ，其中平面XOY與水平面ABCD重合。將基準(zhǔn)面ABCD分別沿Z軸和X軸旋轉(zhuǎn)角度α和φ，形成如圖1 所示的三維投影結(jié)構(gòu)。在圖1 中平面X′O′Y′為投影平面，其與平面XOY平行，點P(0,0,zp) 為視點，三維空間中點V(xV,yV,zV)是點隨基準(zhǔn)面ABCD旋轉(zhuǎn)后的 位 置。點Vp(x′V,y′V) 是 點V(xV,yV,zV) 在 投 影 平 面X′O′Y′ 上的投影點，且(x′V,y′V) 是該點在投影平面的坐標(biāo)。

圖1 三維地圖投影示意圖

基于上述假設(shè)，空管自動化系統(tǒng)中兩點透視投影問題可以描述為點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的點V(xV,yV,zV)在投影平面上的投影點Vp(x′V,y′V)的坐標(biāo)獲取問題。

3 旋轉(zhuǎn)變換

其中，Mz(α)為3×3 的方位旋轉(zhuǎn)矩陣：

用于反映基準(zhǔn)面ABCD繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度α的情況，Mx(φ)為3×3 的傾斜旋轉(zhuǎn)矩陣：

用于反映基準(zhǔn)面ABCD繞X軸旋轉(zhuǎn)角度φ的情況。

4 投影變換

投影點Vp(x′V,y′V)與點V(xV,yV,zV)之間的關(guān)系如圖2 所示。

圖2 XOZ 平面投影點與像點位置關(guān)系圖

視點P(0,0,zp)經(jīng)點V(xV,yV,zV)在平面XOY上的投影點，根據(jù)幾何關(guān)系可得：

因為zp＞＞zv，式（4）可簡化為：

由于空間信息在平面X′O′Y′上的投影是在平面XOY上投影的等比例縮放，所以假設(shè)縮放因子為k，則

定義

為投影矩陣，其反映了相應(yīng)的三維空間向二維平面的投影關(guān)系。

5 透視投影

如前所述，空管自動化系統(tǒng)的三維空間通過旋轉(zhuǎn)變換和投影變換形成二維圖像顯示，所獲得的二維圖像具有景深、透視度等三維特征。因此，當(dāng)對空間進行旋轉(zhuǎn)或縮放操作時，原空間坐標(biāo)變換為投影面上投影點Vp(x′V,y′V)的過程由式（1）與式（6）所確定，即

根據(jù)參數(shù)α、φ及k可以控制三維空間點的投影點位置。

6 實驗結(jié)果

本文利用三維地圖軟件Google Earth 構(gòu)建三維空管自動化系統(tǒng)的顯示平臺，以天津空域飛機的位置信息作為投影映射的實驗數(shù)據(jù)，驗證本文提出的投影映射方法的有效性。

某一時刻天津空域內(nèi)飛行器的分布情況如圖3所示，所呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)空管自動化系統(tǒng)二維顯示模式。飛行器標(biāo)識旁顯示內(nèi)容為該飛行器對應(yīng)的標(biāo)牌，飛行器后的曲線為10 s內(nèi)飛行器的歷史位置軌跡。圖中場景信息與飛行器位置信息由Google Earth 形成，而標(biāo)牌位置由外掛系統(tǒng)根據(jù)飛行器三維位置信息變換的投影坐標(biāo)決定。由圖可見，標(biāo)牌與相應(yīng)飛行器的位置對應(yīng)關(guān)系一致。

圖3 傳統(tǒng)顯示模式下飛行器分布圖

圖4（a）與（b）為同一空域內(nèi)，不同方位角及傾角下的飛行器顯示情況。與圖3 相比，圖4（a）與（b）明顯地呈現(xiàn)出透視度和景深等三維顯示特征。由圖4（a）與（b）可見，在非傳統(tǒng)顯示模式下利用本文算法所求得的標(biāo)牌位置仍能與相應(yīng)飛行器位置相匹配，說明本文方法可以有效解決三維場景的透視投影問題。

圖4 不同視角下飛行器分布圖

7 結(jié)論

依據(jù)空管自動化系統(tǒng)四維航跡有效顯示的需求，針對三維空間向二維平面透視投影問題，給出適用于空管自動化系統(tǒng)三維顯示特點的方位旋轉(zhuǎn)矩陣、傾斜矩陣及投影矩陣。在基于三維地圖軟件Google Earth 構(gòu)建的三維顯示平臺中，隨著場景旋轉(zhuǎn)與縮放，標(biāo)牌與空域飛行器顯示位置變化一致，表明本文所提出的透視投影算法可以有效地與第三方地圖系統(tǒng)結(jié)合，實現(xiàn)三維透射投影的操控顯示。

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