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(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院， 北京　100191)

引言

減速器是傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分。齒輪嚙合過(guò)程的激勵(lì)特性，系統(tǒng)所傳遞的動(dòng)力特性以及輸出端負(fù)載特性，必然會(huì)激起傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)以及傳動(dòng)系統(tǒng)和機(jī)匣(箱體)結(jié)構(gòu)間的相互耦合振動(dòng)[1]。減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)對(duì)其工作性能的實(shí)現(xiàn)和工作可靠性產(chǎn)生重要的影響，國(guó)內(nèi)外均對(duì)各類(lèi)減速器傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究高度重視。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)給傳動(dòng)系統(tǒng)帶來(lái)重大問(wèn)題，甚至導(dǎo)致災(zāi)難性后果[2]。高速齒輪減速器的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，給系統(tǒng)的可靠性和優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究提供有力支撐。

從已有的研究看，目前對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析通常有兩種方法：有限元方法(FEM, Finite Element Method)和傳遞矩陣方法(TMM， Transfer Matrix Method)[3]。有限元法通過(guò)二階微分方程建立轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，具有計(jì)算精度高，更能貼近曲軸實(shí)際工作情況等特點(diǎn)，但因其計(jì)算規(guī)模巨大，通常被用于系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)和估計(jì)[4]。而傳遞矩陣法通過(guò)將鏈狀傳動(dòng)結(jié)構(gòu)離散化成為一系列集中慣量、集中剛度的集總參數(shù)模型，因其分析計(jì)算鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)振動(dòng)快捷有效等特點(diǎn)，被廣泛用來(lái)解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[5,6]。

文獻(xiàn)[7]利用傳遞矩陣法分析直升機(jī)旋翼試驗(yàn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，找到了系統(tǒng)自激振動(dòng)產(chǎn)生的原因，發(fā)現(xiàn)振動(dòng)發(fā)散與試驗(yàn)臺(tái)主軸支撐剛度有關(guān)。文獻(xiàn)[8]研究表明，增加軸段數(shù)量或增大軸承剛度可以降低直升機(jī)機(jī)尾傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。文獻(xiàn)[9]用傳遞矩陣方法分析了直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及系統(tǒng)的振動(dòng)特性，推導(dǎo)了直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)特有并車(chē)級(jí)和行星級(jí)齒輪傳遞矩陣模型。文獻(xiàn)[10]利用傳遞矩陣法分析計(jì)算了復(fù)雜分支結(jié)構(gòu)的車(chē)輛動(dòng)力傳遞系統(tǒng)扭振的固有頻率及振型。文獻(xiàn)[11]采用傳遞矩陣法對(duì)多軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和齒輪嚙合的多軸傳動(dòng)系統(tǒng)線性和非線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[12]通過(guò)重新定義復(fù)值狀態(tài)向量，引入外部支撐剛度、阻尼和旋轉(zhuǎn)參考系等，改進(jìn)傳統(tǒng)傳遞矩陣法，得到復(fù)合傳遞矩陣法(Complex Transfer Matrix)，克服了傳統(tǒng)方法的兩大不足。

本研究針對(duì)某型小尺寸高速內(nèi)嚙合齒輪軸減速器結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，采用傳遞矩陣法將其結(jié)構(gòu)離散化，建立了系統(tǒng)的集總參數(shù)模型(軸盤(pán)模型)，分析計(jì)算了系統(tǒng)固有頻率和各階主振型，討論了其振動(dòng)特性。

1　高速內(nèi)嚙合齒輪軸減速器

某燃?xì)鉁u輪-泵動(dòng)力裝置地面試驗(yàn)系統(tǒng)主要由中頻電機(jī)、超越離合器、渦輪、減速器、液壓油泵等組成，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示。高速內(nèi)嚙合齒輪軸減速器是該燃?xì)鉁u輪-泵動(dòng)力系統(tǒng)的核心部分。

1.中頻電機(jī)　2、7.軸承　3.殼體　4.燃?xì)鉁u輪　5.外齒輪軸　6.內(nèi)齒輪軸　8.液壓缸圖1　渦輪動(dòng)力裝置的內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意圖

該動(dòng)力裝置地面試驗(yàn)時(shí)，中頻電機(jī)驅(qū)動(dòng)外齒輪軸提供動(dòng)力，中頻電機(jī)的穩(wěn)定輸出轉(zhuǎn)速為15000 r/min。動(dòng)力裝置經(jīng)由齒輪傳動(dòng)減速后，驅(qū)動(dòng)柱塞軸向柱塞液壓泵旋轉(zhuǎn)，輸出增壓油液，為電液伺服機(jī)構(gòu)提供工作介質(zhì)。

如圖1，該結(jié)構(gòu)齒輪傳動(dòng)采用內(nèi)嚙合方案，動(dòng)力裝置外輪廓尺寸為202 mm×150 mm×150 mm，體積小，結(jié)構(gòu)緊湊。齒輪軸減速器是該型電液伺服系統(tǒng)的重要組成部分，結(jié)構(gòu)為一級(jí)齒輪傳動(dòng)，嚙合形式為內(nèi)嚙合，齒輪形式為普通圓柱齒輪。

2　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)傳遞矩陣模型

先做如下假設(shè)：將內(nèi)、外齒輪等效為均質(zhì)圓盤(pán)； 不計(jì)入齒輪嚙合變形；假設(shè)基座對(duì)殼體的支承剛度足夠大，軸承對(duì)齒輪軸的支承剛度足夠大，內(nèi)外齒輪軸的質(zhì)心無(wú)橫向位移，無(wú)彎曲變形。則兩個(gè)齒輪軸只有繞中心軸線旋轉(zhuǎn)的自由度。

在假設(shè)條件下對(duì)系統(tǒng)做離散化：

將內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的梁上帶有若干集中質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)——軸盤(pán)系統(tǒng)。把減速器結(jié)構(gòu)中的渦輪、外齒輪和內(nèi)齒輪處理為集中質(zhì)量的剛體圓盤(pán)，各集中質(zhì)量間的軸段簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧[13]。把傳動(dòng)系統(tǒng)按鏈狀結(jié)構(gòu)，劃分為一系列單元(一個(gè)典型單元包括一個(gè)無(wú)質(zhì)量的軸段和一個(gè)作為剛體考慮的圓盤(pán))。

在不影響計(jì)算的情況下，約定各截面上的轉(zhuǎn)角θ和扭矩M都為正值。

圖2所示為內(nèi)嚙合齒輪軸傳動(dòng)系統(tǒng)的軸盤(pán)扭振模型。

圖2　內(nèi)嚙合減速器的軸盤(pán)扭振模型

圖3所示為軸、盤(pán)兩端的受力情況。

圖3　等效軸段和圓盤(pán)的受力情況示意

將任一截面上的轉(zhuǎn)角及扭矩排成列向量Z，則：

(1)

(2)

其中場(chǎng)傳遞矩陣:

(3)

同理，由圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)微分方程，寫(xiě)出傳遞關(guān)系:

(4)

其中點(diǎn)傳遞矩陣:

(5)

有式(2)、式(4)得到第i單元的傳遞矩陣Hi：

(6)

依據(jù)上述定義列出相鄰狀態(tài)向量間的傳遞關(guān)系：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

得出系統(tǒng)最左端與最右端的狀態(tài)向量之間的傳遞關(guān)系為：

(13)

記總傳遞矩陣為H，則：

(14)

3　軸盤(pán)模型解算分析

3.1　模型解算

作為ω函數(shù)的傳遞矩陣已經(jīng)滿足了各個(gè)單元的運(yùn)動(dòng)微分方程，若試算出同時(shí)還能滿足邊界條件的ω值，則該值即為系統(tǒng)的某一階固有頻率。

表1　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)參數(shù)表

ω4J0J1-k1ω2(J1+J0)]/4k1k2+(k3-ω2J3)·

(4ω4J0J2-4k1ω2J2)/k1k3+(k3-ω2J3)·

(k2-ω2J2)[16ω4J0J1A-16ω2k1J1A+

ω4J0J1-k1ω2(J1+J0)]/4k1k2k3

(16)

圖4　余扭矩變化曲線

表2　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率

表3　各主振型計(jì)算值

系統(tǒng)各階主振型如圖5所示。

3.2　結(jié)果分析

動(dòng)力裝置的兩種驅(qū)動(dòng)方式，其激勵(lì)源特性如表4所示?？梢钥吹剑?dāng)動(dòng)力裝置由中頻電機(jī)驅(qū)動(dòng)時(shí)，減速器嚙合頻率稍大于系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的2階固有頻率。燃?xì)鉁u輪驅(qū)動(dòng)時(shí)，嚙合頻率稍大于系統(tǒng)3階、4階固有頻率。

圖5　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)各階主振型

轉(zhuǎn)速r·min-1轉(zhuǎn)頻Hz嚙合頻率/Hz對(duì)比固有頻率/Hz中頻電機(jī)驅(qū)動(dòng)1500025040003674.57燃?xì)鉁u輪驅(qū)動(dòng)40000667106728054.99/8253.61

模型的解析結(jié)果與地面實(shí)驗(yàn)時(shí)的情形吻合，如圖6所示，當(dāng)中頻電機(jī)轉(zhuǎn)速接近13800 r/min時(shí)(嚙合頻率3680 Hz)，系統(tǒng)振動(dòng)加劇，轉(zhuǎn)速繼續(xù)提高，達(dá)到15000 r/min時(shí)(嚙合頻率4000 Hz)，稍趨平穩(wěn)。

圖6　地面試驗(yàn)振動(dòng)頻域圖

4　結(jié)論

燃?xì)鉁u輪-泵動(dòng)力裝置地面試驗(yàn)系統(tǒng)在高速驅(qū)動(dòng)時(shí)發(fā)生劇烈諧振，為找到諧振原因，本研究應(yīng)用傳遞矩陣法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析，建立了內(nèi)嚙合傳動(dòng)系統(tǒng)的軸盤(pán)模型，并進(jìn)行了模型解析，得到結(jié)論如下：

(1) 分析了內(nèi)嚙合齒輪軸的振動(dòng)力學(xué)特性，計(jì)算了系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型，為以振動(dòng)信號(hào)分析為基礎(chǔ)的故障診斷提供了支撐；

(2) 軸盤(pán)模型解析結(jié)果得到了系統(tǒng)扭振固有頻率和主振型，解釋了地面試驗(yàn)時(shí)，電機(jī)高速旋轉(zhuǎn)接近最高轉(zhuǎn)速過(guò)程中， 系統(tǒng)劇烈諧振的原因。當(dāng)燃?xì)鉁u輪驅(qū)動(dòng)

減速裝置動(dòng)力輸出時(shí)，也應(yīng)使燃?xì)鉁u輪轉(zhuǎn)速盡量迅速遠(yuǎn)離共振區(qū)域(系統(tǒng)3階、4階固有頻率范圍，即8054.99～8253.61 Hz)；

(4) 不計(jì)入系統(tǒng)中阻尼影響時(shí)，傳遞矩陣法只需要對(duì)一些階次較低的聯(lián)系矩陣階乘運(yùn)算，數(shù)值求解較為簡(jiǎn)單，計(jì)算工作量不大。

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