徐興元,蔡遠(yuǎn)利

(1 河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院,河南洛陽 471023;2 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院,河南洛陽 471009;3 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,西安 710049)

具有碰撞角約束的微分對(duì)策導(dǎo)引律研究*

徐興元1,2,蔡遠(yuǎn)利3

(1 河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院,河南洛陽 471023;2 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院,河南洛陽 471009;3 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,西安 710049)

控制碰撞角度可以提高攔截彈的打擊效果。文中提出了一種具有碰撞角約束的微分對(duì)策導(dǎo)引律,能夠同時(shí)對(duì)脫靶量和碰撞角進(jìn)行控制。把攔截彈和目標(biāo)當(dāng)作兩個(gè)獨(dú)立的受控對(duì)象,通過最小化代價(jià)函數(shù)同時(shí)得到了攔截彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略和目標(biāo)的最優(yōu)逃避策略。仿真結(jié)果表明,文中提出的微分對(duì)策導(dǎo)引律適用于攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo),而且在滿足厘米級(jí)脫靶量的情況下,攔截彈在交匯點(diǎn)處不需要過大的橫向加速度指令,從而避免指令被限幅。

攔截彈;碰撞角;微分對(duì)策導(dǎo)引律;機(jī)動(dòng)目標(biāo)

0 引言

傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律不能實(shí)現(xiàn)對(duì)終端碰撞角度的控制,但是一些比例導(dǎo)引律的變種形式,可以實(shí)現(xiàn)預(yù)先確定的碰撞角度[1-4]。偏差比例導(dǎo)引律[1]是在傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上再加上一項(xiàng)隨時(shí)間變化的偏差項(xiàng),這一偏差項(xiàng)可以使導(dǎo)彈以特定的角度碰撞目標(biāo)。橢圓弧導(dǎo)引律[2]是另一種針對(duì)靜止目標(biāo)的偏差比例導(dǎo)引律,這種制導(dǎo)方法假定導(dǎo)彈始終位于一條預(yù)先確定的連接導(dǎo)彈和目標(biāo)的橢圓弧上,且所需的終端速度方向位于目標(biāo)點(diǎn)的切線上,因此只要控制導(dǎo)彈沿該橢圓飛行,即可在命中目標(biāo)的同時(shí)滿足碰撞角度要求。變系數(shù)比例導(dǎo)引律[3]是根據(jù)彈目運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,通過在線調(diào)整導(dǎo)引系數(shù)以滿足終端角度約束的一類導(dǎo)引律?；谔摂M目標(biāo)的軌跡預(yù)測(cè)比例導(dǎo)引律[4]首先設(shè)計(jì)以期望角度向真實(shí)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的虛擬目標(biāo),然后控制導(dǎo)彈追蹤此虛擬目標(biāo)并保證終端時(shí)刻形成尾追狀態(tài),從而滿足末速方向要求。上述幾種比例導(dǎo)引律的變種形式都具有制導(dǎo)形式簡(jiǎn)單,對(duì)導(dǎo)航信息偏差的敏感性較低的優(yōu)點(diǎn),但所得到的導(dǎo)引律依賴于各種假設(shè)與簡(jiǎn)化,僅適用于靜止目標(biāo)或者緩慢移動(dòng)的目標(biāo)。

以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)的最優(yōu)導(dǎo)引律可以考慮導(dǎo)彈和目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)問題,并可以考慮制導(dǎo)過程起點(diǎn)或終點(diǎn)的約束條件或其它約束條件,如能量消耗最少、終端脫靶量最小、最短時(shí)間、最小控制量、特定的碰撞角度等。Ryoo等[5]研究了勻速導(dǎo)彈具有碰撞角度和控制量約束的最優(yōu)導(dǎo)引律。Sang等[6]提出了基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論和參數(shù)最優(yōu)化方法的碰撞角控制導(dǎo)引律。Lee等[7]提出了同時(shí)控制時(shí)間和碰撞角度的最優(yōu)導(dǎo)引律。Lee等[8]設(shè)計(jì)了同時(shí)滿足終端角度和加速度約束的最優(yōu)導(dǎo)引律。最優(yōu)導(dǎo)引律的缺點(diǎn)體現(xiàn)在,對(duì)目標(biāo)加速度估計(jì)誤差、剩余飛行時(shí)間估計(jì)誤差靈敏度高,對(duì)測(cè)量元件也提出很高的要求。另外,最優(yōu)導(dǎo)引魯棒性較差。

微分對(duì)策的概念早在20世紀(jì)50年代就提出來了,但一直未在導(dǎo)彈制導(dǎo)領(lǐng)域得到重視。微分對(duì)策導(dǎo)引律是將最優(yōu)控制與對(duì)策論相結(jié)合得到的。微分對(duì)策導(dǎo)引律與最優(yōu)導(dǎo)引律的區(qū)別在于:最優(yōu)導(dǎo)引律是一個(gè)單邊優(yōu)化問題,所得到的僅僅是攔截彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略;而微分對(duì)策導(dǎo)引律是一個(gè)雙邊優(yōu)化問題,通過最小化代價(jià)函數(shù)同時(shí)得到攔截彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略和目標(biāo)的最優(yōu)逃避策略。由于在實(shí)戰(zhàn)中導(dǎo)彈和目標(biāo)是一對(duì)獨(dú)立受控對(duì)象。顯然,基于“零和博弈”思想的微分對(duì)策導(dǎo)引律更符合工程需要。

總體來講,現(xiàn)有的各種具有角度約束的導(dǎo)引律,針對(duì)靜止目標(biāo)或者緩慢移動(dòng)的目標(biāo)具有較好的性能,而對(duì)于高速機(jī)動(dòng)目標(biāo),這些導(dǎo)引律往往并不具備足夠高的精度。原因在于過小的脫靶量往往需要攔截彈在交匯點(diǎn)處提供很大的橫向加速度,甚至造成制導(dǎo)指令被限幅,引起脫靶。文中提出的具有碰撞角約束的微分對(duì)策導(dǎo)引律可以克服這一問題。

1 問題描述與建模

末制導(dǎo)段的彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。假定攔截彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)為二維平面飛行,二者的速度均為常量。由于末段飛行時(shí)間較短,假定攔截彈和目標(biāo)速度與初始視線的夾角為小量,運(yùn)動(dòng)方程可以沿初始視線線性化。

圖1 攔截彈和目標(biāo)平面飛行簡(jiǎn)圖

圖1中,X軸沿初始視線方向;下標(biāo)P(Pursuer)表示攔截彈的相關(guān)狀態(tài),下標(biāo)E(Evader)表示目標(biāo)的相關(guān)狀態(tài);VP和VE分別為攔截彈和目標(biāo)的速度;aP和aE分別為攔截彈和目標(biāo)的橫向加速度;γP和γE分別為攔截彈和目標(biāo)的彈道傾角;彈目相對(duì)距離為R;θ為視線角;彈目雙方偏離初始視線的相對(duì)位移表示為y。aP和aE垂直于X軸的分量表示為aPN和aEN,且aPN=aPcosγP0,aEN=aEcosγE0。根據(jù)各個(gè)物理量的定義,彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[9]為:

(1)

(2)

(3)

(4)

假定目標(biāo)的橫向加速度是一階滯后的,則:

(5)

為了較好的表達(dá)文中的研究思想,把攔截彈當(dāng)作零階滯后系統(tǒng)處理,即:

(6)

如果考慮系統(tǒng)滯后,可以按照類似的方法處理,但導(dǎo)出的導(dǎo)引律形式要復(fù)雜得多。

根據(jù)上文的描述,給出如下線性系統(tǒng)模型:

(7)

式中:狀態(tài)變量x1=y;x2為彈目相對(duì)橫向加速度;x3為目標(biāo)的橫向加速度;x4為期望碰撞角度,x4=γP+γE。

系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(8)

式中:uP為攔截彈的制導(dǎo)指令;uE為目標(biāo)彈的制導(dǎo)指令。根據(jù)式(7)～式(8)有:

(9)

(10)

假定在中制導(dǎo)律的作用下,γP+γE大致滿足期望的碰撞角,而且彈目雙方在飛行末段偏離飛行三角形小量。因此,三角形得以維持,彈目接近速度近似為常量,剩余飛行時(shí)間用下式估計(jì)[9]:

(11)

2 導(dǎo)引律推導(dǎo)

考慮到終端狀態(tài)誤差最小和最少的能量消耗,定義線性二次型性能指標(biāo)為[10]:

(12)

式中:e(tf)=x(tf)-xf為終端狀態(tài)誤差,xf為期望狀態(tài)。(e(tf))TSe(tf)體現(xiàn)了對(duì)終端狀態(tài)誤差的約束。最小化代價(jià)函數(shù)(12)分別得到滿足終端狀態(tài)誤差的攔截彈最小控制量uP(t)和目標(biāo)彈最大控制量uE(t)。μ為彈目雙方機(jī)動(dòng)能力的比值。文中的導(dǎo)引律要求對(duì)脫靶量和碰撞角度進(jìn)行控制,也就是控制狀態(tài)x1和x4,通過下式對(duì)系統(tǒng)簡(jiǎn)化。

(13)

式中:Ω(tf,t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;D為一常矩陣,且:

(14)

Ω(tf,t)=

(15)

新變量Z(t)的導(dǎo)數(shù)為:

(16)

選取加權(quán)矩陣:

(17)

式中a1和a2為非負(fù)常數(shù)。定義γf=γP+γE,tg=tf-t,代價(jià)函數(shù)式(12)變?yōu)?

(18)

當(dāng)考慮目標(biāo)橫向加速度滯后時(shí),所得到的導(dǎo)引律形式比較復(fù)雜,下面僅給出目標(biāo)橫向加速度零滯后,即τE=0時(shí)的導(dǎo)引律。令τE=0,則:

(19)

(20)

利用最優(yōu)控制理論的方法,根據(jù)式(18)～式(20),求解出攔截彈和目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)律分別為:

(21)

式中:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

引入變量Z(t),不僅使問題得到了簡(jiǎn)化,而且Z(t)有重要的物理意義。Z1(t)表示零控脫靶量,Z2(t)表示零控碰撞角。Z1(t)和Z2(t)如下式所示:

(31)

(32)

為了應(yīng)用式(21)所示的微分對(duì)策制導(dǎo)律,攔截彈需要獲取必要的信息。假定攔截彈能夠獲取視線角θ(t)的信息且θ(t)為小量,則y≈θR,有:

(33)

3 性能分析

利用表1所示的參數(shù)驗(yàn)證所提出導(dǎo)引律的有效性。所得的仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。圖2表示具有各種碰撞角的彈目飛行軌跡;圖3表示對(duì)應(yīng)圖2中各條飛行軌跡的攔截彈最優(yōu)制導(dǎo)指令;圖4表示對(duì)應(yīng)圖2中各條飛行軌跡的目標(biāo)彈最優(yōu)制導(dǎo)指令;圖5表示脫靶量的變化;圖6表示碰撞角的變化。仿真結(jié)果表明,在滿足0.1 m脫靶量的條件下,能夠同時(shí)控制碰撞角度,且所需的制導(dǎo)指令不大,可以避免指令被限幅。另外,在仿真時(shí)假定攔截彈和目標(biāo)的速度均為1 500 m/s,也就是說,攔截彈相對(duì)于目標(biāo)并沒有速度優(yōu)勢(shì),這是所提出導(dǎo)引律的一大優(yōu)勢(shì)。由圖3看出,當(dāng)碰撞角太大時(shí),攔截彈的最大制導(dǎo)指令明顯變大,因此,對(duì)于特定的碰撞角,選擇合適的初始角度可以有效減小最大制導(dǎo)指令。

表1 非線性仿真的初始參數(shù)

圖2 彈目飛行軌跡

圖3 攔截彈制導(dǎo)指令

圖4 目標(biāo)彈制導(dǎo)指令

圖5 脫靶量的變化

圖6 碰撞角的變化

4 結(jié)束語

文中提出了一種具有碰撞角約束的微分對(duì)策導(dǎo)引律,文中給出了較詳細(xì)的推導(dǎo)過程并通過數(shù)字仿真驗(yàn)證了其有效性。當(dāng)設(shè)定脫靶量為0.1 m,攔截彈和目標(biāo)具有相同的初始速度時(shí),攔截彈在交匯點(diǎn)處不需要太大的橫向加速度指令。雖然微分對(duì)策導(dǎo)引律是在假定彈目雙方偏離初始視線小量的情況下,通過運(yùn)動(dòng)方程線性化得到的,但仿真結(jié)果表明彈目雙方偏離初始視線較大時(shí),導(dǎo)引律仍然具有很好的性能。

文中提出的微分對(duì)策導(dǎo)引律依賴精確估計(jì)剩余飛行時(shí)間,因此研究更精確的估計(jì)剩余飛行時(shí)間的方法是必要的。另外,攔截彈初始發(fā)射角度對(duì)制導(dǎo)性能有很重要的影響,對(duì)于特定的碰撞角,選擇合適的初始角度可以減小最大制導(dǎo)指令,這也是今后的一個(gè)研究?jī)?nèi)容。

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Differential Game Guidance Law with Impact Angle Constraint

XU Xingyuan1,2,CAI Yuanli3

(1 Information Engineering College，Henan University of Science and Technology, Henan Luoyang 471023, China;2 China Airborne Missile Academy, Henan Luoyang 471023, China;3 School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710079, China)

Control of impact angle can considerably increase interceptor’s lethality in terminal engagement. A differential game guidance law was proposed in this paper, which can achieve a specified impact angle as well as zero terminal miss distance. The adversaries in conflict were considered as two independent controlled objects, through minimizing the cost function, one can obtain the adversary’s optimal maneuver strategy simultaneously. Simulation results show that the proposed guidance law is suitable for intercepting high-speed maneuvering target., and, centimeter level miss distance requires less guidance command to avoid command saturation near terminal time.

antimissile interceptor; impact angle; differential game guidance law; target maneuver

2014-07-29

中國(guó)博士后科學(xué)基金(2013M542002);航空科學(xué)基金(20130142002)資助

徐興元(1972-),男,河南洛陽人,博士,研究方向:導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

V249.12

A