李超辰，王宇，武騰飛，茹寧，季俊云

(中航工業(yè)北京長城計量測試技術研究所，北京100095)

0 引言

隨著激光冷卻技術的不斷發(fā)展，冷原子干涉技術在重力加速度精密測量等領域獲得成功應用［1］，展示出了極大的發(fā)展?jié)摿?。在冷原子干涉測量過程中，影響測量結果精度的因素眾多，激光相對原子運動的多普勒頻移是其中一項。在原子受重力自由下落過程中，由于速度以重力加速度變化，因此感受的激光頻率也相應發(fā)生變化。普遍情況下，原子的自由下落過程中會受到三次脈沖激光照射，各個冷原子干涉測量研究小組都會對這三次激光脈沖的頻率進行精確的多普勒頻移補償。但是，由于作用于原子的脈沖激光持續(xù)時間極短(μs 量級)，在這段極短時間內，原子依然產生速度變化，如果用固定頻率激光脈沖照射，即使進行了多普勒頻移補償，原子真實感受到的激光頻率仍會因多普勒頻移效應而存在啁啾。對這一光頻率變化的處理，各個研究團隊的做法并不一致［1-6］。在原子整個下落過程中，用掃頻方式補償多普勒頻移是普遍的做法，但掃頻的具體參數(shù)，決定了光脈沖時間內，頻移是否以及如何被補償，當掃頻間隔超過拉曼脈沖持續(xù)時間(10 μs 量級)時，脈沖持續(xù)時間內的多普勒頻移無法被補償，這一點在絕大部分文獻中都沒有被明確分析過。例如，S.Chu 曾在文章［7］中提到過脈沖持續(xù)時間內的多普勒效應問題，但主要為定性描述，沒有具體的過程介紹或結果影響分析。國內中科院數(shù)物所曾研究過專門用于冷原子干涉的聲光調制器信號驅動，提及其掃描步進時間為6.6 ns，信號調節(jié)響應時間107 μs，但公開發(fā)表的文章中并未給出微秒量級的微波掃頻信號信息，以及關于掃頻脈沖過程中的多普勒補償問題。

本文就拉曼激光脈沖持續(xù)時間內，原子相對運動產生的多普勒頻移展開研究，通過分析頻移對原子團躍遷概率的影響，計算有效原子的損失，推算其對干涉測量條紋對比度產生的影響。

1 基本原理

1.1 冷原子干涉測量原理

干涉是波動性的結果，常見的光波、機械波都存在干涉。由量子力學預言，實物粒子也具有波動性，即人們熟知的德布羅意物質波，因此，實物粒子也同樣可以發(fā)生干涉現(xiàn)象，并被用于干涉測量。

原子物質波的干涉分外態(tài)與內態(tài)干涉，這里討論內態(tài)干涉，即利用原子能級躍遷產生的干涉［6］。將原子模型簡化為忽略自發(fā)輻射的二能級系統(tǒng)，原子內態(tài)干涉操作采用普遍的拉曼脈沖型干涉方式，如圖1所示。

圖1 原子干涉的能級躍遷過程

原子波函數(shù)初始處于1 態(tài)，經過一束拉曼π/2 脈沖作用，原子波函數(shù)分裂，原子擁有50%的概率處于1 態(tài)，50%的概率處于2 態(tài)。經過一段時間T 的自由飛行后，原子再次與一束拉曼π 脈沖作用，處于1態(tài)的波函數(shù)附加拉曼光相位信息后躍遷到2 態(tài)，處于2 態(tài)的波函數(shù)同樣附加拉曼光相位信息后躍遷回到1態(tài)，由于兩部分波函數(shù)所處空間位置不同，其攜帶的拉曼光相位信息也因而不同。再經過一段時間T 的自由飛行后，原子與第三束拉曼π/2 脈沖作用，兩部分波函數(shù)分別產生分裂，得到4 部分波函數(shù)。其中，同處于同一能態(tài)的兩個波函數(shù)相干疊加，疊加干涉的結果體現(xiàn)在原子在不同態(tài)上的存在概率。因此，通過探測原子處于1，2 態(tài)概率即可獲得不同路徑原子波函數(shù)攜帶的拉曼激光相位信息，進而得到重力加速度量值。

1.2 原子與拉曼激光的作用［7］

考慮常用的87Rb 原子，其三能級躍遷如圖2所示，其中基態(tài)(S1/2)具有兩個超精細能級(F=1 及F=2)，激發(fā)態(tài)為P3/2。

圖2 87Rb 拉曼躍遷能級

在實際過程中，原子向P3/2的躍遷存在一個失諧Δ，以抑制自發(fā)輻射。將該三能級系統(tǒng)簡化為二能級系統(tǒng)，原子狀態(tài)由波函數(shù)| ψ〉定量描述，則該系統(tǒng)內的任意原子波函數(shù)可表示為

式中:c1，c2模的平方代表原子處于1 態(tài)、2 態(tài)的概率，| 1〉，| 2〉為原子處于1，2 能級的本征波函數(shù)，ω1，ω2為能級本征角頻率?？紤]到對于二能級系統(tǒng)，拉曼激光將等效為微波，其微波角頻率ω 為兩激光的角頻率ω1r與ω2r之差，有

當原子受到拉曼光照射時，系統(tǒng)哈密頓量中應存在定態(tài)項H0和相互作用項Hi，用來定量表示激光對原子的作用，于是哈密頓量整體成為

式中:d21與d12分別為1，2 能級間躍遷電偶極矩;?為普朗克常數(shù);E 為激光的光電場，是位置矢量r 和時間t 的函數(shù)。有

式中:E0為光電場振幅;φ0為初相位。一般的，若d=d21=d12，分別定義拉比頻率Ω 及其復數(shù)共軛Ω*、共振角頻率和激光失諧δ，有

一并代入薛定諤方程，并利用旋波近似得到最終的微分方程為

上述二元微分方程組可化為一元二次齊次微分方程，求解得到通解并代入兩態(tài)初始條件c1(0)=1，c2(0)=0得到

則1 態(tài)、2 態(tài)的分布概率分別為

公式(8)表示拉曼光與原子作用時，原子在1，2能級的分布概率p1，p2的定量關系。易知，隨著拉曼光的持續(xù)照射，原子將在1，2 能級間不停地振蕩。

2 拉曼光多普勒頻率啁啾

在實際情況中，因為光子本身具有動量，當原子(核外電子)吸收光子由低能級躍遷至高能級;或放出光子，由高能級躍遷至低能級，必然伴隨自身速度的變化。另外，一團原子氣體即使經過激光冷卻，溫度達到μK 量級，也具有約100 mm/s 的平均速度，這些都會使原子感受到的激光頻率受到多普勒效應的影響。

因此，當考慮到原子速度的改變時，將動量作為一個新指標引入波函數(shù)，相應的二能級系統(tǒng)本征波函數(shù)表示為| 1，p-?k1r〉，| 2，p +?k2r〉，表示在動量p 附加了一個光子反沖動量。經過類似推導，得到原子能級躍遷概率［8］為

其中，

式中:M 為Rb 原子質量;Δ 為中間能級的失諧;ωij表示i，j 能級間本征頻率差;Ω1，Ω2為從兩個超精細基態(tài)躍遷至中間態(tài)的拉比頻率。式(9)的物理含義是，當原子初始處于［c1(t0)，c2(t0)］狀態(tài)時，若存在一組角頻率為ω、光電場振幅為E 的拉曼激光穩(wěn)定作用于原子，則原子將以式(9)所述的規(guī)律在1，2 兩能級間躍遷。

現(xiàn)在考慮冷原子團在干涉測量過程中與激光相互作用存在的多普勒頻移情況。首先，假設拉曼脈沖作用時間極短，忽略脈沖持續(xù)過程中原子的速度變化，在三次拉曼激光照射冷原子團的時刻，原子因為自由落體運動(不考慮上拋，初始時刻速度為0 m/s)，速度一直在增加。不妨設脈沖間隔時間T=1s，當?shù)刂亓铀俣萭=9.801 m/s2，則原子在三個時刻的速度分別為0，9.801，19.602 m/s。原子感受到的由兩束對射激光組成的拉曼光頻率為

式中:vz為原子縱向速度(沿z 軸);f2r'，f1r'為拉曼光兩頻率各自的多普勒頻移;fr為無多普勒頻移時的基礎頻率，f1r，f2r為拉曼激光頻率。以圖2 中的87Rb 躍遷為例，對應原子三個時刻速度的拉曼光多普勒頻移fr'分別為0 Hz，25.1 MHz 和50.2 MHz。實驗上，可以通過聲光晶體等光學移頻方法，對上述多普勒頻移進行補償。

激光的精確移頻需要微波頻率源產生標準信號，這個信號的質量越高，對整個測量系統(tǒng)引入的誤差就越小。因為激光直接與原子相互作用，因此，光學噪聲應予以盡量降低。在拉曼激光脈沖的數(shù)十微秒量級的持續(xù)時間內，精確調節(jié)標準微波信號并壓制噪聲，需要額外的電學設計。如果使用固定頻率標準微波信號，即固定拉曼激光頻率，本節(jié)后半部分將計算脈沖持續(xù)時間內，多普勒頻移效應對原子躍遷影響的大小。

由于式(9)給出的是固定頻率拉曼激光作用下原子的躍遷規(guī)律，而原子感受到的是頻率存在啁啾變化的拉曼光，因此文本采用類似微分的方式對其進行數(shù)值迭代計算。

設任意時刻t0，原子處于［c1(t0)，c2(t0)］態(tài)，經角頻率差為ω 的拉曼光作用dt 時間，原子處于［c1(t0+dt，ω)，c2(t0+dt，ω)］態(tài)。若dt 趨于零，則ω 趨于ω0，可以利用ω0替代ω，原子態(tài)表示為［c1(t0+dt，ω0)，c2(t0+ dt，ω0)］。利用上述方法，采用Matlab數(shù)值迭代計算拉曼光頻率啁啾下的原子躍遷概率變化規(guī)律，過程如圖3所示，只要選擇dt 的大小，控制數(shù)值偏差在允許范圍即可。

圖3 拉曼光頻率啁啾下的原子躍遷過程

代入實際參數(shù)進行計算，設拉曼光光強Ⅰ=1 mW，光斑半徑R=10 mm，脈沖持續(xù)時間T=1.5×10-4s(約1.5 倍拉比周期)，迭代時間間隔dt=T/1000，拉曼光頻率f=384.23×1012Hz。

分別在補償多普勒頻移拉曼光和定頻率拉曼光作用下的不同速度原子躍遷概率如圖4所示。其中圖4(a)和(b)為原子態(tài)隨時間的變化，橫軸表示時間演化，灰度表示原子態(tài)的分布，初始時刻t=0，原子全部處于1 態(tài)，在拉曼光作用下，靠近中心速度處原子被激發(fā)躍遷(白色表示)。圖4(c)描述了第一個π 脈沖周期時刻，不同速度原子的躍遷概率分布。

由于脈沖持續(xù)時間內，原子速度的增加，原子感受到的激光頻率在相互作用過程中發(fā)生了改變，導致躍遷到2 態(tài)原子的中心速度也相應發(fā)生了改變，偏移量為-0.24k?(如圖4(c)所示，文中動量單位統(tǒng)一取單光子反沖動量k?)。由拉曼脈沖速度選擇效應所決定的，躍遷原子的動量分布半峰寬度為，F(xiàn)WHM=0.37k?，可見即便在極短的脈沖持續(xù)時間內(10μs 量級)，由重力加速度g 造成的原子速度改變，進而引起的多普勒頻移效果也是不可忽視的。

圖4 存在頻移時原子的拉比振蕩

我們以拉曼脈沖型重力儀中的典型干涉操作為例進行分析。當原子經拉曼速度選擇被挑選出來后，設中心速度為0，20 ms 后作用π/2 脈沖，100 ms 后作用π 脈沖，再經100 ms 后作用第二束π/2 脈沖完成干涉。原子團速度變化如圖5所示。按照原子自由落體過程補償多普勒頻移，則在第一個π/2 脈沖起始時刻的激光多普勒頻移補償對應速度為20 ms·g，π 脈沖起始時刻的多普勒頻移補償對應速度為120 ms·g，第二個π/2 脈沖時刻激光多普勒頻移補償對應速度為220 ms·g。

按照普遍情況，設計脈沖持續(xù)時間為10 μs 量級。按上述的數(shù)值計算方法，對不同速度原子躍遷概率進行計算。當原子經過速度選擇后，分布如圖5(a)a1。

首先，原子團經π/2 脈沖激勵拉比振蕩躍遷，1態(tài)、2 態(tài)原子躍遷概率如圖5(a)中a2 和a3，各自偏移-0.12k?。末態(tài)原子數(shù)量分布如圖5(a)中a3，1 態(tài)原子中心速度比無啁啾偏大，2 態(tài)原子正好相反，兩態(tài)原子分布與定頻脈沖基本保持一致。

在上個脈沖末態(tài)的基礎上(初始原子分布如圖5(b)中的b1)，再經π 脈沖作用，1，2 態(tài)躍遷概率各自偏移中心速度(動量)-0.24k?，如圖5(b)中b2，最終原子分部如圖5(b)中b3。易見，1，2 兩態(tài)的有效原子數(shù)量個下降約1/2，且中心速度偏離虛線所示的定頻模式。

圖5 有效原子在動量上的分布率

由上述分析可見，經過拉曼光分束、翻轉后的有效原子，在中心速度附近的總數(shù)量下降了50%左右。另外，兩條路徑最終干涉時的原子數(shù)量也存在明顯的數(shù)量差，占中心速度處總原子數(shù)約34%-30%=4%，因此，兩條路徑分束干涉仍將再次損失8% 左右對比度。

3 結論

由于脈沖持續(xù)時間內(10 μs 量級)的多普勒頻移，原子團中心速度改變，大量原子偏離拉曼光作用范圍，造成有效原子損失;另外，干涉兩路的原子數(shù)量也產生了差別，兩者共同導致干涉條紋對比度理論下降約60%。本文僅就有效原子數(shù)量這一個角度，估算了原子干涉條紋對比度在拉曼光不能補償脈沖持續(xù)時間內多普勒頻移的情況，最終的條紋對比度、測量靈敏度以及系統(tǒng)誤差還應考慮頻率啁啾造成的相移等因素?？梢酝茰y，實際綜合測量能力的降低，有可能遠超60%。因此，拉曼光作用時間內的多普勒頻效應不能忽略;如果采用定頻拉曼激光，應通過本文給出的數(shù)值方法，對激光的中心頻率點位置，及多普勒頻移進行精確計算補償。

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