姚星宇，王建軍，翟學(xué)

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京100191)

螺栓連接結(jié)構(gòu)具有構(gòu)造簡(jiǎn)單、可操作性好等特點(diǎn)［1］，因此在機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣和轉(zhuǎn)子的連接［2-3］.近年來，航空發(fā)動(dòng)機(jī)不斷向高轉(zhuǎn)速、高推重比發(fā)展，使得螺栓連接結(jié)構(gòu)對(duì)整機(jī)模型動(dòng)力特性影響越來越大.從20 世紀(jì)80 年代開始，美國(guó)NASA 報(bào)告［4］和Sandia實(shí)驗(yàn)室白皮書［5］就有關(guān)于螺栓連接結(jié)構(gòu)的研究?jī)?nèi)容.可見，螺栓連接結(jié)構(gòu)建模方法研究一直是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題［6-8］.

起初，人們將螺栓連接結(jié)構(gòu)接觸面設(shè)置為剛性連接，忽略所有接觸面對(duì)整體結(jié)構(gòu)的影響，這樣處理使得結(jié)構(gòu)剛度增加從而影響其動(dòng)力學(xué)特性.隨著有限元法和接觸理論的發(fā)展，Liu 等［2-3，9］建立了三維實(shí)體有限元模型，即精細(xì)有限元模型.該模型保留了結(jié)構(gòu)的幾何特征，需使用較小的單元尺寸進(jìn)行網(wǎng)格劃分，從而導(dǎo)致模型自由度數(shù)目龐大，因此在航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)建模中不宜采用.為了降低問題規(guī)模，Ahmadian 等［10-11］利用彈簧、阻尼單元對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，并通過試驗(yàn)結(jié)果對(duì)剛度、阻尼系數(shù)進(jìn)行修正，但是這些方法均將螺栓連接結(jié)構(gòu)面—面接觸簡(jiǎn)化為點(diǎn)—點(diǎn)接觸而且忽略了剪切剛度，因此運(yùn)用到復(fù)雜機(jī)械模型中仍存在困難，特別是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)建模中，上述方法均存在局限性.

在復(fù)雜機(jī)械連接結(jié)構(gòu)中，Ahmadian 等［12］運(yùn)用薄層單元法［13-14］對(duì)AWE-MACE 機(jī)構(gòu)中的連接部位進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，將連接結(jié)構(gòu)面—面接觸等效為厚度很薄的實(shí)體單元，并運(yùn)用優(yōu)化算法結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)薄層單元材料參數(shù)進(jìn)行修正;馬雙超等［15］將薄層單元法運(yùn)用到航空發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域，對(duì)靜子機(jī)匣焊接部位進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并運(yùn)用模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)修正.由此可知，薄層單元能夠模擬復(fù)雜機(jī)械中的連接結(jié)構(gòu)并保持結(jié)構(gòu)完整性，但薄層單元法還未應(yīng)用到航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)建模領(lǐng)域中，更沒有從最基本的力學(xué)原理出發(fā)給出航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)薄層單元法建模原理、薄層單元材料參數(shù)理論推導(dǎo)以及應(yīng)用前景.

因此，本文以薄層單元法為基礎(chǔ)，探討航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)薄層單元建模原理，確定薄層單元相關(guān)材料參數(shù)，并與精細(xì)有限元模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證薄層單元法的正確性和應(yīng)用前景.

1 薄層單元法建模原理

圖1 所示為某航空發(fā)動(dòng)機(jī)典型螺栓連接，其中包括兩個(gè)部件間的連接，如進(jìn)氣機(jī)匣與風(fēng)扇機(jī)匣螺栓連接(圖1(a))和加力擴(kuò)散器與加力筒體螺栓連接(圖1(b))，以及多個(gè)部件間的連接，如燃燒室后套壁、低壓渦輪機(jī)匣與渦輪后承力框架螺栓連接(圖1(c)).根據(jù)結(jié)構(gòu)主要承載方式及連接件定位要求的不同，航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接可以分為以下3 種形式:①普通螺栓連接;②帶止口螺栓連接;③精密螺栓連接，詳細(xì)分類如表1 所示.這3 種連接形式有其共同點(diǎn):①均帶有法蘭安裝邊;②螺栓連接的構(gòu)件多為薄壁圓筒;③承受載荷主要為軸向載荷、彎矩、橫向載荷和扭矩.因此根據(jù)共同點(diǎn)可將其簡(jiǎn)化為短粗薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)(見圖2)作為分析模型.

圖1 某航空發(fā)動(dòng)機(jī)典型螺栓連接結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical aero-engine bolted joints structure

表1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接分類Table 1 Classification of aero-engine bolted joints

圖2 薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)Fig.2 Bolt joints thin-walled cylinder structure

當(dāng)螺栓預(yù)緊力足夠大或者外界激勵(lì)幅值相對(duì)小時(shí)［13，6］，可以忽略螺栓連接處的非線性性質(zhì)并將其線性化.航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接在結(jié)構(gòu)裝配、組裝和定位起重要作用，而且為了盡可能減小螺栓連接帶來的剛度損失，經(jīng)常使用帶止口螺栓連接［2-3］和精密螺栓連接并使用較大預(yù)緊力進(jìn)行預(yù)緊，因此忽略航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)的非線性，運(yùn)用薄層單元法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接進(jìn)行參數(shù)化建模，考慮3 個(gè)剛度作用，即軸向剛度、彎曲剛度、剪切剛度.首先介紹薄層單元法有限元計(jì)算方程的形成過程，然后給出螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向、彎曲、剪切剛度的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，最后進(jìn)行小結(jié).

1.1 薄層單元法有限元計(jì)算方程形成

薄層單元可用通用四面體或六面體單元生成.假設(shè)薄層單元為8 節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系為笛卡兒坐標(biāo)系.8 節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元中任一點(diǎn)位移坐標(biāo)(x，y，z)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi，zi)的關(guān)系可表示為

式中:Ni為形函數(shù).

根據(jù)彈性力學(xué)基本方程，單元應(yīng)變(ε)、單元應(yīng)力(σ)與節(jié)點(diǎn)(a)的關(guān)系為

式中:B 為幾何矩陣;D 為彈性矩陣.

忽略螺栓連接結(jié)構(gòu)對(duì)接面各方向耦合剛度［16-17］，則彈性矩陣為

式中:c11、c22、c33為3 個(gè)方向的彈性模量;c44、c55、c66為3 個(gè)平面的剪切模量，彈性矩陣所在坐標(biāo)系與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系一致.

根據(jù)虛功原理，單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

式中:V0為有限元單元的體積.

集合單元?jiǎng)偠染仃嘖e和節(jié)點(diǎn)力向量Fe形成螺栓連接結(jié)構(gòu)剛度矩陣K 和節(jié)點(diǎn)載荷向量F，得到靜力學(xué)有限元計(jì)算方程:

其中:i，j =1，2，…，n;?Ni/?x =Aix;?Ni/?y =Aiy;?Ni/?z=Aiz;k≤8 為某節(jié)點(diǎn)所在單元的個(gè)數(shù).結(jié)構(gòu)剛度矩陣K 是3n ×3n 階矩陣，包括了薄層單元和非薄層單元.

對(duì)于薄層單元厚度的選擇，Desai 等［14-15，18］都對(duì)其進(jìn)行了研究.結(jié)果表明，如果不考慮界面的附加質(zhì)量和阻尼，厚度的影響會(huì)很小.下面給出螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向、彎曲和剪切剛度的數(shù)學(xué)表達(dá)形式.

1.2 軸向剛度

螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向剛度定義如圖3 所示，假設(shè)薄壁圓筒一端固定，另一端在圓筒中心節(jié)點(diǎn)j上施加軸向載荷FN，其中x 為軸向方向，y、z 代表薄壁圓筒結(jié)構(gòu)橫向方向.結(jié)構(gòu)的軸向位移Δlx由節(jié)點(diǎn)i 的軸向位移值Xi表示，則螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向剛度定義為

代入邊界條件和載荷，求解式(6)可得

圖3 螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向剛度定義Fig.3 Definition of axial stiffness of bolted joints structure

式中:Xi、Yi、Zi為節(jié)點(diǎn)位移.

對(duì)于薄層單元，厚度h 較單元其他兩個(gè)方向的特征尺寸小得多，所以在圖3 所示的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系xyz 下，可近似認(rèn)為［19］

代入形函數(shù)Ni可得

而且當(dāng)螺栓連接結(jié)構(gòu)受到軸向力作用時(shí)，結(jié)構(gòu)的橫向位移幾乎為0，即

將式(10)和式(11)代入式(8)，軸向剛度簡(jiǎn)化為

結(jié)構(gòu)剛度矩陣K 包括薄層單元和非薄層單元.從式(12)可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)的截面尺寸和單元類型確定時(shí)，軸向剛度kN由軸向彈性模量c11確定.因此，當(dāng)非薄層單元材料屬性不變時(shí)，軸向剛度kN由薄層單元軸向彈性模量確定.

1.3 彎曲剛度

根據(jù)文獻(xiàn)［20］可知，當(dāng)薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)受到橫向載荷作用時(shí)，基于連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度，可以獲取其等效彎曲剛度，即連接結(jié)構(gòu)的彎曲剛度可由軸向剛度表示:

式中:M 為彎矩;θ 為轉(zhuǎn)角;b 為圓筒的外徑.

從式(13)可以看出，螺栓連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度kM與軸向剛度kN、截面尺寸有關(guān).因此在薄壁圓筒尺寸確定情況下，彎曲剛度kM由薄層單元軸向彈性模量確定.

1.4 剪切剛度

螺栓連接結(jié)構(gòu)剪切剛度定義如圖4 所示，假設(shè)薄壁圓筒一端固定，另一端在圓筒中心節(jié)點(diǎn)j上施加y 向剪切載荷FSy.橫向剪切力作用產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)橫向位移由節(jié)點(diǎn)i'的y 向位移值Δly表示，則螺栓連接結(jié)構(gòu)的y 向剪切剛度可定義為

圖4 螺栓連接結(jié)構(gòu)剪切剛度定義Fig.4 Definition of shear stiffness of bolted joints structure

代入邊界條件和載荷，可得

同理［21］，將式(10)代入式(15)，螺栓連接結(jié)構(gòu)y 向剪切剛度簡(jiǎn)化為

同理，螺栓連接結(jié)構(gòu)z 向剪切剛度為

式(16)和式(17)表明螺栓連接的剪切剛度與剪切模量有關(guān)，因此當(dāng)非薄層單元的材料屬性和結(jié)構(gòu)截面尺寸不變時(shí)，剪切剛度kS由薄層單元剪切模量決定，其中xy 平面剪切模量決定y 向剪切剛度，xz 平面剪切模量決定z 向剪切剛度.

綜上所述，航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度、彎曲剛度可由薄層單元軸向彈性模量確定，剪切剛度可由薄層單元橫向剪切模量來確定.

2 薄層單元對(duì)連接剛度影響規(guī)律

第1 節(jié)詳細(xì)敘述了航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)薄層單元法建模原理，現(xiàn)闡述薄層單元材料參數(shù)對(duì)連接剛度的影響規(guī)律.

2.1 建 模

圖5 所示為薄層單元薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)有限元模型，單元類型為SOLID185.由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)軸向、彎曲剛度由薄層單元軸向彈性模量確定，剪切剛度由薄層單元橫向剪切模量確定，為了使薄層單元材料參數(shù)互不影響且忽略各個(gè)方向耦合剛度［13，17］，將其設(shè)置為正交各向異性材料，材料屬性設(shè)置如表2 所示.

圖5 薄壁圓筒螺栓連接有限元模型Fig.5 Finite element model of thin-walled cylinder bolted joints

表2 有限元模型材料屬性Table 2 Material properties of finite element model

在該模型中，x 軸代表圓筒的軸向，y、z 軸分別代表圓筒的橫向，那么薄層單元的Ex、Ey、Ez分別表征連接處軸向(x 向)、橫向(y 向、z 向)的剛度，Gxy、Gyz、Gxz分別表征xy 平面、yz 平面、xz平面的剪切剛度.因此在該模型中，對(duì)軸向、彎曲剛度起決定作用的是軸向(x 向)彈性模量Ex，對(duì)剪切剛度起決定作用的是xy、xz 平面的剪切模量Gxy、Gxz.由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)大多數(shù)是帶止口的螺栓連接或精密螺栓連接，剪切剛度可認(rèn)為是無限大，因此本節(jié)中不對(duì)剪切剛度進(jìn)行驗(yàn)證，只驗(yàn)證軸向剛度和彎曲剛度的建模原理.

2.2 軸向剛度影響規(guī)律

對(duì)圖5 所示的有限元模型一端完全約束，另一端施加載荷為2 kN 的軸向力，改變薄層單元材料參數(shù)，得到對(duì)軸向剛度的影響規(guī)律.

2.2.1 剪切模量對(duì)軸向剛度的影響

保證彈性模量E 不變，改變剪切模量G(3 個(gè)平面值一致).圖6 所示為軸向剛度隨剪切模量G改變的變化曲線圖.研究表明:①當(dāng)薄層單元彈性模量E 分別為100、10、1 GPa 時(shí)，隨著剪切模量G的變化，軸向剛度幾乎不變，說明剪切模量對(duì)軸向剛度幾乎沒有影響;②當(dāng)彈性模量E 較小時(shí)(1 GPa)，隨著剪切模量的改變，軸向位移有一定改變，但變化程度在3%以內(nèi).根據(jù)式(8)可以看出，當(dāng)彈性模量E 較小時(shí)，Ai1Aj1c11、Ai2Aj2c44、Ai3Aj3c66的共同影響造成了這種結(jié)果，但這種影響可以忽略.

圖6 剪切模量對(duì)軸向剛度的影響Fig.6 Influence of shear modulus on axial stiffness

2.2.2 彈性模量對(duì)軸向剛度的影響

保證剪切模量G 不變(均取180 GPa)，然后依次改變Ex、Ey、Ez(值不變時(shí)取10 GPa).圖7 所示為軸向剛度隨彈性模量Ex、Ey或Ez改變的變化曲線圖.研究表明:①當(dāng)剪切模量一定時(shí)，改變彈性模量Ey、Ez值，軸向剛度幾乎不變，說明Ey、Ez對(duì)機(jī)匣軸向剛度沒有影響;②當(dāng)剪切模量一定時(shí)，改變彈性模量Ex，軸向剛度有明顯變化，說明軸向彈性模量對(duì)軸向剛度有很大影響，特別是當(dāng)Ex較小時(shí)影響更大.

現(xiàn)分析軸向彈性模量對(duì)軸向剛度具體影響規(guī)律.從圖7 可以看出:①隨著軸向彈性模量的減小(160 ～18 GPa)，軸向剛度線性逐漸減小，但剛度變化趨勢(shì)并不明顯;②當(dāng)彈性模量減小到一定時(shí)(18 GPa 附近)，軸向剛度突然減小，并存在一個(gè)明顯的拐點(diǎn);③當(dāng)通過拐點(diǎn)之后，機(jī)匣軸向剛度又線性減小，但剛度變化趨勢(shì)比160 ～18 GPa 間大很多.

圖7 不同方向彈性模量對(duì)軸向剛度的影響Fig.7 Influence of elastic modulus on axial stiffness

圖8 Ex =160 GPa 和1.8 GPa 時(shí)機(jī)匣軸向位移圖Fig.8 Axial displacement when Ex is 160 GPa and 1.8 GPa

從上述分析可知，軸向彈性模量對(duì)機(jī)匣軸向剛度影響是存在兩段線性變化的區(qū)間，這主要是隨著軸向彈性模量的改變，整個(gè)機(jī)匣承受軸向力的部位發(fā)生了變化，造成軸向位移分布發(fā)生了變化.如圖8 所示，當(dāng)軸向彈性模量較大時(shí)，薄層單元處的軸向剛度比較大，并且與圓筒部分軸向剛度值相差不大，因此整個(gè)圓筒結(jié)構(gòu)共同承受軸向力，機(jī)匣軸向位移云圖是均勻分布的，如圖8(a)所示.隨著軸向彈性模量逐漸減小，此時(shí)薄層單元處軸向剛度也逐漸減小，并且與圓筒部分軸向剛度相差越來越大，因此逐漸從整個(gè)圓筒結(jié)構(gòu)共同承受軸向力變?yōu)檫B接處薄層單元單獨(dú)承受，此時(shí)軸向變形主要發(fā)生在薄層單元，機(jī)匣圓筒部分主要發(fā)生軸向剛性位移，如圖8(b)所示.這也解釋了軸向彈性模量的改變引起整個(gè)結(jié)構(gòu)軸向剛度非線性變化的原因.

2.3 彎曲剛度影響規(guī)律

對(duì)圖5 所示的機(jī)匣有限元模型一端完全約束，另一端施加載荷為2 kN·m 的彎矩，改變薄層單元的材料屬性參數(shù)，得到對(duì)彎曲剛度的影響規(guī)律.

2.3.1 剪切模量對(duì)彎曲剛度的影響

保證彈性模量不變，改變剪切模量G，圖9 所示為彎曲剛度隨著剪切模量G 改變的變化曲線圖.研究表明:①當(dāng)薄層單元彈性模量E 分別為100、10、1 GPa 時(shí)，隨著剪切模量G 的變化，彎曲剛度幾乎不變，說明剪切模量對(duì)彎曲剛度沒有影響;②當(dāng)彈性模量E 較小時(shí)(1 GPa)，隨著剪切模量的改變，彎曲剛度有一定改變，但變化程度在3%以內(nèi).這主要是因?yàn)楫?dāng)彈性模量E 較小時(shí)，Ai1Aj1c11、Ai2Aj2c44、Ai3Aj3c66共同影響造成的結(jié)果，但這種影響可以忽略.

圖9 剪切模量對(duì)彎曲剛度的影響Fig.9 Influence of shear modulus on bending stiffness

2.3.2 彈性模量對(duì)彎曲剛度的影響

保證剪切模量G 不變(取180 GPa)，依次改變Ex、Ey、Ez(值不變時(shí)取10 GPa).圖10 所示為彎曲剛度隨著彈性模量改變的變化曲線圖.研究表明:①當(dāng)剪切模量一定時(shí)，改變彈性模量Ey、Ez值，彎曲剛度幾乎不變，說明Ey、Ez對(duì)機(jī)匣彎曲剛度沒有影響;②當(dāng)剪切模量一定時(shí)，改變軸向彈性模量，彎曲剛度有明顯變化，說明軸向彈性模量對(duì)機(jī)匣彎曲剛度有很大影響.

現(xiàn)分析軸向彈性模量對(duì)彎曲剛度的影響規(guī)律.從圖10 中可以看出:①隨著軸向彈性模量的減小(160 ～18 GPa)，彎曲剛度線性逐漸減小，但剛度變化的趨勢(shì)并不大;②當(dāng)軸向彈性模量減小到一定程度(18 GPa 附近)，彎曲剛度突然減小，并存在明顯的拐點(diǎn);③當(dāng)通過拐點(diǎn)后，彎曲剛度又線性減小，但剛度變化趨勢(shì)比160 ～18 GPa間大.

圖10 不同方向彈性模量對(duì)彎曲剛度的影響Fig.10 Influence of elastic modulus on bending stiffness

圖11 Ex =130 GPa 和1.8 GPa 時(shí)機(jī)匣Von Mises 位移圖Fig.11 Von Mises displacement of casing when Ex is 130 GPa and 1.8 GPa

從上述分析可知，軸向彈性模量對(duì)彎曲剛度影響主要是存在兩段線性變化的區(qū)間，這主要是隨著軸向彈性模量的改變，整個(gè)圓筒承受彎矩的部位發(fā)生了變化，從而造成位移分布改變.如圖11(a)所示，當(dāng)軸向彈性模量較大時(shí)，薄層單元處的軸向剛度較大，與圓筒部分的軸向剛度值相差不大，因此在受到彎矩作用時(shí)，整個(gè)機(jī)匣共同承受彎矩，螺栓連接結(jié)構(gòu)和機(jī)匣作為整體發(fā)生彎曲變形，機(jī)匣Von Mises 位移云圖是均勻分布的.當(dāng)軸向彈性模量逐漸減小，此時(shí)薄層單元軸向剛度逐漸減小，并且與圓筒部分軸向剛度相差越來越大，因此在受到彎矩作用時(shí)，彎矩逐漸從整個(gè)圓筒共同承受變?yōu)檫B接處薄層單元單獨(dú)承受，此時(shí)變形主要發(fā)生在薄層單元，為軸向變形，存在受拉側(cè)和受壓側(cè)，且受拉側(cè)和受壓側(cè)軸向位移一致，機(jī)匣圓筒部分主要發(fā)生剛性轉(zhuǎn)角位移，如圖11(b)所示.這也解釋了軸向彈性模量的改變引起整個(gè)結(jié)構(gòu)彎曲剛度非線性變化的原因.

3 薄層單元法材料參數(shù)確定

第1 節(jié)和第2 節(jié)詳細(xì)闡述了航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接薄層單元法建模原理以及薄層單元材料參數(shù)對(duì)薄壁圓筒連接剛度的影響規(guī)律，本節(jié)給出薄層單元相關(guān)材料參數(shù)的理論表達(dá)式并研究螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)連接剛度的影響規(guī)律.

由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)大多數(shù)是帶止口的螺栓連接或精密螺栓連接，剪切剛度可認(rèn)為是無限大，因此本節(jié)中不考慮結(jié)構(gòu)的剪切剛度，只給出軸向彈性模量的理論表達(dá)式.

3.1 螺栓連接軸向剛度理論表達(dá)式

對(duì)于一般薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)，去掉圓筒部分，保留安裝邊及螺栓，那么連接區(qū)域可以分為3 個(gè)部分:①螺桿連接區(qū)域;②螺栓預(yù)緊力夾緊區(qū)域;③安裝邊對(duì)接面連接區(qū)域，如圖12所示，其中螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向連接剛度主要由①、②決定.

圖12 螺栓連接結(jié)構(gòu)連接區(qū)域Fig.12 Connection region of bolted joints structure

對(duì)于螺桿連接區(qū)域，螺桿軸向剛度［21］可以表示為

式中:Ab為螺桿截面面積;db為螺桿直徑;Lb為螺桿等效長(zhǎng)度，可表示為L(zhǎng)b=L +(1.95 －β/2 －υ)db［22］，其中L、β 和υ 分別為螺孔長(zhǎng)度、無量綱系數(shù)及螺桿泊松比，這充分考慮了螺母、墊片等對(duì)連接剛度的影響;Eb為螺桿彈性模量.在本文中Lb取L.

對(duì)于螺栓預(yù)緊力夾緊區(qū)域，該區(qū)域可近似為對(duì)稱的切去頂端的圓錐形區(qū)域，可得每塊安裝邊軸向連接剛度［23］為

式中:Emi(i=1，2)為安裝邊彈性模量;t 為安裝邊厚度;α 為半錐形角，與螺栓預(yù)緊力Fp大小有關(guān).

對(duì)于安裝邊厚度不同的螺栓連接結(jié)構(gòu)，如圖13所示，螺栓預(yù)緊力壓緊區(qū)域?yàn)樯舷聦?duì)稱的去頂端圓錐區(qū)域加中間的圓環(huán)區(qū)域，圓環(huán)柱狀區(qū)域的軸向連接剛度可表示為

式中:Ac為圓環(huán)面積;t'為圓環(huán)柱狀區(qū)域厚度.

圖13 安裝邊厚度不同的螺栓連接結(jié)構(gòu)Fig.13 Bolted joints structure of different thickness flange

因此整個(gè)螺栓預(yù)緊力夾緊區(qū)域軸向連接剛度為

那么圖12 所示整個(gè)螺栓連接軸向剛度可表示為(式(7)為整個(gè)薄壁圓筒的軸向剛度)

式中:n 為整個(gè)法蘭邊周向螺栓的個(gè)數(shù).

可見，整個(gè)螺栓連接軸向、彎曲剛度與螺桿彈性模量Eb、螺桿直徑db、螺孔長(zhǎng)度L 以及安裝邊彈性模量Emi、螺栓預(yù)緊力Fp、螺母壓緊區(qū)域半徑D、螺栓數(shù)目n 有關(guān).

3.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)軸向剛度的影響

下面探討螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)軸向剛度的影響規(guī)律，主要研究螺栓數(shù)目n 和螺栓預(yù)緊力Fp對(duì)其的影響.

假設(shè)兩安裝邊的厚度一致，安裝邊以及螺栓的材料屬性一樣，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖14 所示，那么螺栓連接軸向剛度可表示為

圖14 精細(xì)有限元模型Fig.14 Detailed finite element model

3.2.1 螺栓數(shù)目對(duì)軸向剛度的影響

當(dāng)螺栓連接其他結(jié)構(gòu)參數(shù)都確定，螺栓預(yù)緊力為3 kN 時(shí)，螺栓個(gè)數(shù)與連接剛度的變化曲線如圖15 所示.從圖中可以看出，軸向剛度隨著螺栓數(shù)目的變化線性增加，說明螺栓個(gè)數(shù)越多，螺栓連接軸向剛度越大.

圖15 螺栓個(gè)數(shù)對(duì)連接剛度影響Fig.15 Influence of bolt numbers on joint stiffness

3.2.2 螺栓預(yù)緊力對(duì)軸向剛度的影響

由于半錐形角α 與螺栓預(yù)緊力有關(guān)，因此通過半錐形角α 作為中介研究螺栓預(yù)緊力對(duì)連接剛度的影響規(guī)律.當(dāng)螺栓連接其他結(jié)構(gòu)參數(shù)都確定，螺栓個(gè)數(shù)為12 時(shí)，螺栓預(yù)緊力與連接剛度的變化曲線如圖16 所示.從圖中可以看出，當(dāng)螺栓預(yù)緊力較小時(shí)，軸向剛度隨著螺栓預(yù)緊力的增加幾乎線性增加;當(dāng)預(yù)緊力增加到一定程度時(shí)，軸向剛度趨近不變，說明此時(shí)螺栓連接已接近于剛性連接.

圖16 螺栓預(yù)緊力對(duì)連接剛度影響Fig.16 Influence of bolt preload on joint stiffness

3.3 薄層單元材料參數(shù)理論表達(dá)式

如圖17 所示，當(dāng)用薄層單元法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化建模時(shí)，結(jié)構(gòu)軸向剛度可表示為(去掉圓筒，保留安裝邊和螺栓)

式中:k1、k2、k3分別為上安裝邊、薄層單元以及下安裝邊的剛度，表示為ki=EiAi/Li，其中Ei、Ai和Li分別表示各部分的軸向彈性模量、橫截面積以及厚度.

圖17 螺栓連接薄層單元Fig.17 Thin-layer element of bolted joints

因此，薄層單元軸向彈性模量與連接剛度的關(guān)系為

4 應(yīng) 用

第1 ～3 節(jié)對(duì)薄層單元法的建模原理、材料參數(shù)對(duì)連接剛度的影響規(guī)律以及材料參數(shù)的確定進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.現(xiàn)在將薄層單元法應(yīng)用到實(shí)際的結(jié)構(gòu)中，并與精細(xì)有限元模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證薄層單元法的正確性和應(yīng)用前景.

首先，通過精細(xì)有限元模型計(jì)算薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度和彎曲剛度以作為標(biāo)準(zhǔn)剛度;然后，通過第3 節(jié)內(nèi)容得到薄層單元的材料參數(shù)，并計(jì)算出薄層單元薄壁圓筒的軸向、彎曲剛度;最后，將兩個(gè)模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

4.1 精細(xì)有限元模型方法

圖14 所示為薄壁圓筒精細(xì)有限元模型，法蘭邊周向有12 個(gè)M9 的螺栓，建模過程中充分考慮螺栓預(yù)緊力(PRETS179 單元模擬，設(shè)置為3 kN)、螺母與法蘭邊、螺栓頭與法蘭邊以及法蘭邊對(duì)接面間的接觸(TARGE170 和CONTA174 單元模擬)，單元類型為SOLID185，整個(gè)結(jié)構(gòu)有88 333 個(gè)單元數(shù)和95 917 個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)，結(jié)構(gòu)的彈性模量為210 GPa，密度為7 850 kg·m－3，泊松比為0.3.

將該結(jié)構(gòu)一端固定，另一端分別施加軸向載荷和彎曲載荷，從而得到軸向剛度和彎曲剛度(第1 節(jié)的定義)的變化曲線，如圖18 所示.

從圖18 中可以看出:①結(jié)構(gòu)軸向位移隨著軸向載荷的增加線性變化，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角隨著彎曲載荷的增加線性變化，說明結(jié)構(gòu)的軸向剛度、彎曲剛度隨著外載荷的增加不改變;②通過計(jì)算，軸向剛度為3.35 GN/m，彎曲剛度為9.16 ×107N·m/rad.

圖18 剛度變化規(guī)律Fig.18 Change law of stiffness

4.2 薄層單元法

運(yùn)用薄層單元法對(duì)該結(jié)構(gòu)建模，薄層單元厚度為h(h=3 mm)，單元類型SOLID185，整個(gè)結(jié)構(gòu)共有19 927 單元數(shù)和28 161 節(jié)點(diǎn)數(shù)，薄層單元材料屬性為正交各向異性材料，橫向彈性模量為100 GPa，剪切模量為300 GPa，泊松比為0.尺寸如圖17 所示，螺桿直徑d =9 mm，安裝邊厚度t =7 mm，螺母壓緊區(qū)域直徑D =14 mm，薄層單元厚度h=3 mm，螺栓個(gè)數(shù)n =12，螺栓預(yù)緊力3 kN對(duì)應(yīng)的半錐形角位α=16°，通過第3 節(jié)相關(guān)內(nèi)容計(jì)算得到薄層單元軸向彈性模量E=2.62 GPa.將該結(jié)構(gòu)一端固定，另一端分別施加軸向載荷和彎曲載荷，從而得到薄層單元模型的彎曲剛度為9.71×107N·m/rad，軸向剛度為3.58 GN/m.

4.3 對(duì) 比

將薄層單元薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度和彎曲剛度與精細(xì)有限元模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，詳細(xì)的對(duì)比結(jié)果如表3 所示，可以得出以下結(jié)論:

1)通過薄層單元法建立的薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度、彎曲剛度與精細(xì)有限元模型(標(biāo)準(zhǔn)值)相比，彎曲剛度與軸向剛度分別只相差6%和6.8%.

2)精細(xì)有限元模型的軸向、彎曲剛度影響因素為螺桿直徑、螺栓數(shù)目、螺栓孔位置、法蘭邊厚度、預(yù)緊力，而薄層單元法模型的影響因素則只有軸向彈性模量.

3)薄層單元模型的單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)分別比精細(xì)有限元模型少78%和71%.

4)薄層單元模型的計(jì)算時(shí)間相對(duì)精細(xì)有限元模型少98%.

綜上所述，薄層單元法能夠很好地模擬航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)且能保證正確性，具有很好的應(yīng)用前景.

表3 薄層單元模型與精細(xì)有限元模型對(duì)比Table 3 Comparisons between detailed FE model and thin-layer element model

5 結(jié) 論

本文將薄層單元法應(yīng)用到航空發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域，從航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)出發(fā)，以薄層單元法為基礎(chǔ)，給出了航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)薄層單元法參數(shù)化建模原理，研究了薄層單元材料參數(shù)對(duì)螺栓連接剛度的影響規(guī)律，并從理論上給出了薄層單元相關(guān)材料參數(shù)的表達(dá)式，最后將該方法應(yīng)用到實(shí)際結(jié)構(gòu)中，并與精細(xì)有限元模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了薄層單元法的正確性和應(yīng)用前景.研究結(jié)果表明:

1)薄層單元法能很好地模擬航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu).

2)薄層單元剪切模量對(duì)軸向、彎曲剛度幾乎沒有影響;橫向彈性模量對(duì)軸向、彎曲剛度幾乎沒有影響.

3)薄層單元軸向彈性模量對(duì)軸向、彎曲剛度起決定作用;薄層單元剪切模量對(duì)剪切剛度起決定作用.

4)螺栓連接的螺栓數(shù)目與軸向連接剛度呈線性變化規(guī)律.

5)當(dāng)螺栓預(yù)緊力較小時(shí)，軸向剛度隨著螺栓預(yù)緊力的增加線性增加;當(dāng)預(yù)緊力增加到一定程度時(shí)，軸向剛度趨近不變，說明此時(shí)螺栓連接已接近于剛性連接.

6)通過精細(xì)有限元模型與薄層單元模型結(jié)果的對(duì)比，薄層單元模型剛度值與精細(xì)有限元模型相差在7%以內(nèi)，而且計(jì)算時(shí)間、模型規(guī)模較精細(xì)有限元模型均大幅減少.

References)

［1］ Bickford J H.An introduction to the design and behavior of bolted joints［M］.2nd ed.New York:Marcel Dekker，Inc.，1990:1-8.

［2］ Liu S G，Wang J，Hong J，et al.Dynamics design of the aeroengine rotor joint structures based on experimental and numerical study［C］∥Proceedings of ASME Turbo Expo.New York:ASME，2010:GT2010-22199.

［3］ 樊寧.航空發(fā)動(dòng)機(jī)連接結(jié)構(gòu)剛度非線性及其對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)影響［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2013.

Fan N.Studies on dynamic characteristics of the joint in the aeroengine rotor system［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2013(in Chinese).

［4］ Belvin W K.Modeling of joints for the dynamic analysis of truss structures，NASA-L-16163［R］.Washington，D.C.:NASA，1987.

［5］ Gregory D L，Martinez D R.On the development of methodologies for constructing predictive models of structures with joints and interfaces，SAND2001-0003P［R］.Albuquerque:Sandia National Laboratories，2001.

［6］ Ibrahim R A，Pettit C L.Uncertainties and dynamic problems of bolted joints and other fasteners［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，279(3-5):857-936.

［7］ Groper M.Microslip macroslip in bolted joints［J］.Experimental Mechanics，1985，25(2):171-174.

［8］ Gaul L，Nitsche R.The role of friction in mechanical joints［J］.Applied Mechanics Reviews，2001，54(2):93-106.

［9］ Kim J，Yoon J C，Kang B S.Finite element analysis and modeling of structure with bolted joints［J］.Applied Mathematical Modelling，2007，31(5):895-911.

［10］ Ahmadian H，Jalali H.Identification of bolted lap joints parameters in assembled structures［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(2):1041-1050.

［11］ Boeswald M，Link M，Meyer S.Experimental and analytical investigations of non-linear cylindrical casing joints using base excitation testing［C］∥2003 IMAC-XXI:Conference ＆ Exposition on Structural Dynamics.Kissimmee:Society for Experimental Mechanics，2003:1-9.

［12］ Ahmadian H，Mottershead J E，James S，et al.Modelling and updating of large surface-to-surface joints in the AWE-MACE structure［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20(4):868-880.

［13］ Desai C S，Zaman M M，Lightner J G，et al.Thin-layer element for interfaces and joints［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1984，8(1):19-43.

［14］ Sharma K G，Desai C S.Analysis and implementation of thinlayer element for interfaces and joints［J］.Journal of Engineering Mechanics，1992，118(12):2442-2462.

［15］ 馬雙超，臧朝平，蘭海波.某航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣的動(dòng)力學(xué)模型修正［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2013，28(4):878-884.

Ma S C，Zang C P，Lan H B.Dynamic model updating of an aero-engine casing［J］.Journal of Aerospace Power，2013，28(4):878-884(in Chinese).

［16］ Ahmadian H，Ebrahimi M，Mottershead J E，et al.Identification of bolted-joint interface models［C］∥Proceedings of the 2002 International Conference on Noise and Vibration Engineering.Leuven:Katholieke Universiteit Leuven，2002:1741-1747.

［17］ Iranzad M，Ahmadian H.Identification of nonlinear bolted lap joint models［J］.Computers and Structures，2012，96-97:1-8.

［18］ Pande G N，Sharma K G.On joint interface elements and associated problems of numerical ill-conditioning［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1979，3(3):293-300.

［19］ 黃耀英，吳中如，王德信.薄層單元基本假設(shè)和簡(jiǎn)化探討［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2008，30(2):49-52.

Huang Y Y，Wu Z R，Wang D X.Discuss on fundamental assumption and simplification of thin-layer element［J］.Mechanics in Engineering，2008，30(2):49-52(in Chinese).

［20］ 欒宇.航天器結(jié)構(gòu)中螺栓法蘭連接的動(dòng)力學(xué)建模方法研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，2012.

Luan Y.Study on dynamic modeling of bolted flange connections in aerospace structures［D］.Dalian:Dalian University of Technology，2012(in Chinese).

［21］ Williams J G，Anley R E，Nash D H，et al.Analysis of externally loaded bolted joints:Analytical，computational and experimental study［J］.International Journal of Pressure Vessels and Piping，2009，86(7):420-427.

［22］ Pedersen N L，Pedersen P.Stiffness analysis and improvement of bolt-plate contact assemblies［J］.Mechanics Based Design of Structures and Machines，2008，36(1):47-66.

［23］ Oskouei R H，Keikhosravy M，Soutis C.Estimating clamping pressure distribution and stiffness in aircraft bolted joints by finite-element analysis［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part G:Journal of Aerospace Engineering，2009，223(7):863-871.