1問(wèn)題的提出

對(duì)于準(zhǔn)備考取名校的高三優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，在準(zhǔn)確解決高考中低檔題目后，攻克高考?jí)狠S題就顯得尤為重要.這就要求我們老師及時(shí)全面的研究各地高考?jí)狠S題，思考挖掘題中的命題規(guī)律，從而形成一些培養(yǎng)尖子生的方案.筆者研究了2014年安徽理科壓軸題后，產(chǎn)生了一些想法，現(xiàn)把想法整理出來(lái)，希望對(duì)大家理解新課程理念，把握新課程內(nèi)容，從容面對(duì)新課程下的高考有所幫助.

題目（2014年安徽卷理科21題）設(shè)實(shí)數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N*.

（1）證明：當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，（1+x）p>1+px；

（2）數(shù)列{an}滿足a1>c1p，an+1=p-1pan+cpa1-pn，證明：an>an+1>c1p.

2剖析典型高考題目，洞察壓軸命題規(guī)律

題目第一問(wèn)是選修45教材上的例題，證明貝努利（Bernouli）不等式，第二問(wèn)則是應(yīng)用貝努利不等式結(jié)論解決數(shù)列問(wèn)題，體現(xiàn)了高考命題植根于教材又高于教材的特點(diǎn).

2.1第一問(wèn)解法剖析

本題第一問(wèn)，教材中給出的是數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.其實(shí)還有很多證法，不等式中的實(shí)數(shù)x和正整數(shù)p讓我們聯(lián)想到函數(shù)和數(shù)列，從而發(fā)現(xiàn)其它兩種證法.

法一令f（x）=（1+x）p-1-px，x∈（-1，+∞），則f′（x）=p（1+x）p-1-p=p[（1+x）p-1-1]，易知f′（0）=0，所以x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）<0，x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0，所以x∈（-1，+∞）且x≠0時(shí)，f（x）>f（0）=0，即（1+x）p>1+px.

法二只需證1+px1+xp<1.設(shè)bp=1+px1+xp，bp+1-bp=1+p+1x1+xp+1-1+px1+xp=1+p+1x-1+px1+x1+xp+1=-px21+xp+1<0，所以{bp}為單減數(shù)列，故p>1時(shí)，bp

在很多不等式證明的題目中，常常含有函數(shù)和數(shù)列的特征，那么構(gòu)造函數(shù)和數(shù)列解決問(wèn)題就不失一種好的方法，多角度看待問(wèn)題很好地訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維.

2.2第二問(wèn)解法剖析

有了第一問(wèn)的結(jié)論，我們就可以使用此結(jié)論證明第二問(wèn)，這種搭設(shè)臺(tái)階逐步解題的方式也是高考命題中很重要的手段.

法一由條件和結(jié)論中的c1p，想到把問(wèn)題拆成兩步：an>c1p和an>an+1.

先用數(shù)學(xué)歸納法證明an>c1p，當(dāng)n=1時(shí)顯然a1>c1p；假設(shè)n=k時(shí)，不等式ak>c1p成立.要證ak+1>c1p，考慮到ak+1ak=p-1p+cpapk，只需證（ak+1ak）p=（p-1p+cpapk）p=（1+cpapk-1p）p>capk，因?yàn)閍pk>c，所以cpapk-1p∈（-1p，0）（-1，0），由貝努利不等式知：（ak+1ak）p>1+（cpapk-1p）×p=capk，所以ak+1>c1p.

再證an>an+1，由an+1an=p-1p+cpapn

用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an大于常數(shù)這類問(wèn)題往往需要很強(qiáng)的構(gòu)造能力，如果沒(méi)有貝努利不等式這個(gè)臺(tái)階，將很難達(dá)到以上目的.其實(shí)對(duì)于已知遞推關(guān)系但難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題也是這類問(wèn)題的重要方法.把數(shù)列遞推關(guān)系看成函數(shù)an+1=f（an），即得f（x）=p-1px+cpx1-p，且f（c1p）=c1p（即c1p是不動(dòng)點(diǎn)），此時(shí)由a1>c1p去推an>c1p，只需證f（x）在x∈（c1p，+∞）上單調(diào)遞增即可.

法二設(shè)f（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞），所以xp∈（c，+∞），所以f′（x）=p-1p+c（1-p）px-p=p-1p（1-cxp）>0，所以f（x）在x∈（c1p，+∞）上單調(diào)遞增，即x>c1p時(shí)，f（x）>f（c1p）=c1p.所以由a1>c1p推出a2=f（a1）>c1p，依次推得a3>c1p，…，an>c1p.證明an>an+1時(shí)同法一.

無(wú)獨(dú)有偶，2007年湖北省壓軸題也考了與貝努利不等式有關(guān)的題目（理科21題）：已知m，n∈N*，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，1+xn>1+nx；（2）對(duì)于n≥6，已知1-1n+3n<12，求證：1-mn+3n<12m，m=1，2，3，…；（3）求出滿足等式3n+4n+…+n+2n=n+3n的所有正整數(shù)n.

把貝努利不等式從右向左應(yīng)用易證（2），再由（2）的結(jié)論可證n≥6時(shí)（3）無(wú)解，只需特殊檢驗(yàn)n<6時(shí)的情況即可.兩題的命題思路有很多相似之處，命題規(guī)律已然顯現(xiàn)：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，部分大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入高中教材，如貝努利不等式，再如選修22的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容（它使函數(shù)的研究范圍擴(kuò)展到很多超越函數(shù)）.同時(shí)隨著高考命題自主化的深入，各地高考命題組中高校教師占很重要的地位，他們青睞于以高等數(shù)學(xué)為背景的問(wèn)題，從高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的交匯處命制題目，并通過(guò)搭設(shè)臺(tái)階的方式適當(dāng)拓展延伸，這類試題既能開(kāi)闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野，又有利于高校選拔優(yōu)秀人才，經(jīng)常以壓軸題的身份出現(xiàn)，從而達(dá)到提高高考區(qū)分度的目的.

3挖掘有高等數(shù)學(xué)背景的中學(xué)知識(shí)，掌握壓軸命題方向

針對(duì)以高等數(shù)學(xué)為背景的命題的這種規(guī)律，高中教師在教學(xué)實(shí)踐中要有意識(shí)地滲透一些高等數(shù)學(xué)與中學(xué)教材交匯的知識(shí)，將一些常見(jiàn)的、有價(jià)值的知識(shí)挖掘出來(lái)，讓學(xué)生理解這些知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，熟練掌握它們的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，可以有效地提高學(xué)生的解題能力，可謂是高考成功的捷徑.比如高中教材中《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》一章就有很多可挖掘的點(diǎn).

人教A版選修22教材32頁(yè)有一習(xí)題：“證明不等式ex>1+x，（x≠0）”.本題與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容緊密相連，而且它與數(shù)列試題、特別是數(shù)列不等式放縮方面的試題頗有淵源，很值得我們挖掘，其實(shí)在高等數(shù)學(xué)泰勒展開(kāi)式中很容易找到原型：ex=1+x+x22！+…+xnn！+…，當(dāng)然我們沒(méi)必要在教學(xué)中搬出泰勒展開(kāi)式，只需要把它的一些特殊情況和變形拓展給學(xué)生.3.1掌握不等式ex>1+x，（x≠0）的證明和直接應(yīng)用

結(jié)論可以擴(kuò)展成：ex≥1+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）.構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-1-x易證之.在g（x）>0的前提下，對(duì)于含指數(shù)的ex·g（x）形式，可使用結(jié)論將其縮小成（1+x）g（x）.2012年山東理科壓軸題就使用了類似的方法.

2012年山東理科22題：已知函數(shù)f（x）=lnx+kex（k為常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行.（1）求k的值；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0，g（x）<1+e-2.

解法剖析只分析（3），k=1，g（x）=x2+xex（1x-1-lnx），當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≤0，結(jié)論顯然成立，當(dāng)01+x知，g（x）

3.2掌握不等式ex≥1+x（當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）的幾個(gè)自然對(duì)數(shù)變形結(jié)論

（1）在x>-1前提下對(duì)ex≥1+x兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln（1+x）≤x（當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）.兩不等式本質(zhì)上是相通的，合并可得ln（1+x）≤x≤ex-1，（x>-1）.

（2）對(duì)ln（1+x）≤x用x-1代換x得：lnx≤x-1（x>0），再用1x代換x整理得到lnx≥1-1x，（x>0），有時(shí)會(huì)使用xlnx≥x-1，（x>0）的形式.

（3）合并（2）中公式，即得1-1x≤lnx≤x-1（x>0），起到對(duì)lnx的放縮作用.

用以上結(jié)論，我們易證2013年全國(guó)課標(biāo)卷Ⅱ理21題：已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.

解法剖析（1）易求m=1，f（x）=ex-ln（x+1），定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=ex-1x+1，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）=ex-1x+1≥x+1-1x+1=x（x+2）x+1>0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，ex<1，1x+1>1，則f′（x）<0，綜上f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閙≤2，x∈（-m，+∞），所以ln（x+m）≤（x+m）-1≤x+2-1=x+1≤ex，當(dāng)x+m=1，

m=2，

x=0，時(shí)取等號(hào)，但x無(wú)解，所以等號(hào)取不到.所以，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）>0.

4帶有高等數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題同樣也是自主招生命題的熱點(diǎn)

隨著國(guó)家對(duì)自主招生政策的調(diào)整，各地自主招生考試命題比較側(cè)重對(duì)于數(shù)學(xué)的基本思想和解題方法的考查，而不是偏題怪題，重視思維的靈活性與發(fā)散性.特別值得注意的是帶有高等數(shù)學(xué)背景的函數(shù)、不等式或數(shù)列問(wèn)題也是自主招生考試的熱點(diǎn)，2014年華約卷壓軸題，也是考查了貝努利不等式和ex≥1+x的應(yīng)用，只不過(guò)是放在一個(gè)題目同時(shí)考查，難度略高于高考?jí)狠S題.

2014年自主招生華約卷7題：已知n∈N+，x≤n，求證：n-n（1-xn）nex≤x2.

證法剖析首先把n-n（1-xn）nex≤x2變成n（1-xn）nex≥n-x2，由ex聯(lián)想到ex≥1+x，直接證明不易證，調(diào)整ex=（exn）n≥（1+xn）n，兩側(cè)同乘以正數(shù)（1-xn）n，得（1-xn）nex≥（1-xn）n（1+xn）n=（1-x2n2）n，當(dāng)-x2n2>-1即x2n>n-x2.綜上知，n-n（1-xn）nex≤x2.

證法的成敗關(guān)鍵在于ex放縮成（exn）n≥（1+xn）n和貝努利不等式的使用.所用知識(shí)都是帶有高等數(shù)學(xué)背景的函數(shù)、不等式知識(shí).2015年自主招生政策已經(jīng)出臺(tái)，教育部強(qiáng)調(diào)考核中筆試為1至2門，由于數(shù)學(xué)的重要地位，估計(jì)數(shù)學(xué)仍然會(huì)在筆試范圍之內(nèi)，老師在高考備考中及時(shí)對(duì)學(xué)生給以內(nèi)容引領(lǐng)和方法指導(dǎo)，將會(huì)有效提高自主招生考試成績(jī).

參考文獻(xiàn)

[1]洪恩鋒，楊家岐.透過(guò)背景，衍生結(jié)論，巧破難關(guān)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（8上）：80-81.

作者簡(jiǎn)介馬啟銀，男，1975年9月出生，山東泰安人.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題研究.“國(guó)培計(jì)劃（2013）”高中數(shù)學(xué)班學(xué)員，山東省泰安市優(yōu)秀教師，泰山教壇英才.在各類省級(jí)報(bào)刊雜志上發(fā)表教育教學(xué)論文十余篇.