涂德佳　王洪進(jìn)

在新課程改革的指導(dǎo)下，高中的課堂教學(xué)模式發(fā)生了翻天覆地的變化.以問題為主線或以活動(dòng)為主線的教學(xué)模式正在滲透到教師的教學(xué)中.教師在教學(xué)過程中，以問題為方向，學(xué)生活動(dòng)為途徑，教師引導(dǎo)為輔助，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)的目標(biāo).

然而，在教學(xué)過程中，教師提出的問題和學(xué)生進(jìn)行的活動(dòng)的本身大多由教師設(shè)計(jì)，具有強(qiáng)烈的預(yù)設(shè)性.實(shí)際教學(xué)過程中，問題情境能否起到應(yīng)有的作用？教學(xué)環(huán)節(jié)是否科學(xué)？問題的難易程度是否符合當(dāng)時(shí)的學(xué)生認(rèn)知水平？學(xué)生活動(dòng)目標(biāo)達(dá)成的可能性和預(yù)期效果能否與教師的預(yù)想一致？這些都是需要認(rèn)真思考的問題.筆者以在江蘇省南京市中華中學(xué)舉行的“江蘇省高中數(shù)學(xué)青年骨干教師研修一課三磨活動(dòng)”為例，結(jié)合聽、評課以及上課的體會(huì)，分析教師在教學(xué)過程中深挖以求學(xué)生深知的教學(xué)現(xiàn)象.（課題是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4的131《三角函數(shù)的周期性》）

1“深挖未必深知”教學(xué)現(xiàn)象

“深挖未必深知”的教學(xué)現(xiàn)象廣泛存在于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)過程中.“深挖”是指教師為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生對知識(shí)的深入理解，采取對教學(xué)內(nèi)容深入探索的行為.教師為了使學(xué)生深入理解知識(shí)，對所授內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系、加工、拓展、變式或遷移，增加了知識(shí)的深度或廣度.“深知”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，對問題的掌握和理解水平達(dá)到一定深刻的程度.“深挖未必深知”的教學(xué)現(xiàn)象說明教師引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)進(jìn)行深入探索，但學(xué)生不一定能夠獲得與之相應(yīng)的深刻理解.

現(xiàn)象學(xué)方法是一種重要的數(shù)學(xué)教育研究方法[1].運(yùn)用現(xiàn)象學(xué)方法研究的具體過程有：①描述.對一個(gè)現(xiàn)象予以客觀的描述.②還原.現(xiàn)象的原因是什么.③對策.針對該現(xiàn)象，對教學(xué)的建議是什么[2].“深挖未必深知”的教學(xué)現(xiàn)象可以采用現(xiàn)象學(xué)方法進(jìn)行研究.

2“深挖未必深知”現(xiàn)象的表現(xiàn)

2.1情境設(shè)計(jì)中的“深挖未必深知”現(xiàn)象

案例1

師：同學(xué)們，在學(xué)習(xí)過程中，對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行反思和再認(rèn)識(shí)，往往會(huì)有新的收獲.（出示誘導(dǎo)公式二）

sin（-α）=-sinα，

cos（-α）=cosα，

tan（-α）=-tanα.

師：根據(jù)這組誘導(dǎo)公式，你能發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的什么性質(zhì)？

生：奇偶性.

師：這是我們從“誘導(dǎo)公式二”中所發(fā)現(xiàn)的三角函數(shù)的奇偶性.（出示誘導(dǎo)公式五、六）

sin（π2-α）=cosα，cos（π2-α）=sinα.

sin（π2+α）=cosα，cos（π2+α）=-sinα.

師：根據(jù)這兩組誘導(dǎo)公式，你能發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的什么性質(zhì)？

生：對稱性，奇偶性.

師：從誘導(dǎo)公式一，我們又有哪些發(fā)現(xiàn)呢？特別地，當(dāng)k=1時(shí)，“誘導(dǎo)公式一”為：（出示誘導(dǎo)公式一）

sin（x+2π）=sinx，

cos（x+2π）=cosx，

tan（x+2π）=tanx.

生：對于定義域內(nèi)的任意x，x+2π與x的同名三角函數(shù)值相等.

師：也就是說，當(dāng)自變量x增加2π時(shí)，相應(yīng)的三角函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).

教師創(chuàng)設(shè)情境的目標(biāo)是利用誘導(dǎo)公式二以及五、六，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式中三角函數(shù)具有奇偶性，再由誘導(dǎo)公式一所具有的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其周期性的目的，并期望在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的類比思維.事實(shí)上，學(xué)生并不能輕松發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式中三角函數(shù)的性質(zhì)，尤其是發(fā)現(xiàn)公式五、六具有的性質(zhì).在課堂上，出現(xiàn)了教師提出的問題學(xué)生不會(huì)回答，并耗去大量時(shí)間的情況.

2.2概念認(rèn)知中的“深挖未必深知”現(xiàn)象

案例2

師：我們知道了周期函數(shù)和函數(shù)周期的概念.請判斷真假：因?yàn)閒（π4+π2）=f（π4），所以f（x）=sinx是以π2為周期的周期函數(shù).函數(shù)以π2為周期.

教師概括出周期函數(shù)的概念后，對周期函數(shù)概念的表征，選擇利用判斷“f（x）=sinx是以π2為周期的周期函數(shù)”正誤的方法，以鞏固對概念的理解.概念的表征以反面例題的形式出現(xiàn).事實(shí)上，反例讓學(xué)生感到非常突兀。學(xué)生不知道如何利用已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行判斷.被提問的學(xué)生對問題不理解，回答時(shí)支支吾吾，在教師的提醒下，才給出“這是錯(cuò)誤的命題”的答案.

2.3知識(shí)理解中的“深挖未必深知”現(xiàn)象

案例3

師：我們已經(jīng)知道了周期函數(shù)和最小正周期的概念.請問，是不是所有函數(shù)都有最小正周期？你能找到一個(gè)沒有最小正周期的函數(shù)的例子嗎？

教師設(shè)問的目的是讓學(xué)生尋找出一個(gè)特殊函數(shù)，譬如常函數(shù)f（x）=1.這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期.通過認(rèn)識(shí)這個(gè)函數(shù)進(jìn)一步理解周期函數(shù)和函數(shù)的周期.實(shí)際教學(xué)中，全班沒有一位學(xué)生能夠找到教師想要的周期函數(shù)，更不用說周期函數(shù)的周期了.

2.4問題探究中的“深挖未必深知”現(xiàn)象

案例4

師：例1中鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)是周期函數(shù)嗎？為什么？

生：是.因?yàn)楹瘮?shù)滿足周期函數(shù)的定義.

師：也就是說形如函數(shù)f（x）=sinx，x≥0也是周期函數(shù).但事實(shí)上，這樣的函數(shù)并不是真正的周期函數(shù).課本上的定義是有局限性的.定義：對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對每個(gè)x∈D（f），有f（x+T）=f（x-T）=f（x）成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T為f（x）的一個(gè)周期.

教師想通過課本上的例1，說明課本上周期函數(shù)定義的不嚴(yán)謹(jǐn)性（可能是想在研討課上展示教師的能力），以加強(qiáng)學(xué)生對于周期性的理解.但是，學(xué)生本來能夠理解周期函數(shù)的定義，在教師探究拓展后，不僅對教師給出的新的定義感到茫然無措，甚至出現(xiàn)對課本上周期函數(shù)的概念產(chǎn)生混淆和模糊的情況.

3原因分析

3.1問題情境設(shè)計(jì)沒有遵循依托性原則

教師對情境的設(shè)計(jì)過分依托于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯起點(diǎn).在上述案例1的教學(xué)過程中，學(xué)生的精力就分散在三角函數(shù)的奇偶性發(fā)現(xiàn)上.情境設(shè)計(jì)依托于發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式中三角函數(shù)的性質(zhì).事實(shí)上，問題情境的設(shè)計(jì)主要是為了激發(fā)學(xué)生興趣或求知欲.如果問題情境過分追求數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，追求數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，這樣的問題情境難以發(fā)揮積極的作用[3].過分追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬈瘘c(diǎn)會(huì)讓學(xué)生精力分散，失去創(chuàng)設(shè)情境的根本作用.這樣的情境阻礙了教學(xué).

3.2概念表征沒有科學(xué)地使用正例與反例

反例在教學(xué)中先被使用表明，教師對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的科學(xué)性缺乏研究.對概念的表征，教師通常會(huì)借助例題，讓學(xué)生對概念中的信息進(jìn)行編碼、轉(zhuǎn)化、聯(lián)系、儲(chǔ)存、復(fù)述、提取和表達(dá).表征的宗旨是讓學(xué)生將新的概念內(nèi)化和吸收.學(xué)生對一個(gè)概念理解的起始階段應(yīng)該是直觀的，肯定的.正例包含概念的本質(zhì)屬性，在概念形成的初始階段肯定例證有利于建立概念[4].反例是否定例證的一種，不具有概念本質(zhì)屬性或者只具有部分屬性.教師在此時(shí)給出反例容易給學(xué)生造成負(fù)面的干擾.

3.3加深理解偏離教學(xué)主題

加深理解時(shí)不注意緊扣目標(biāo)，教學(xué)就會(huì)偏離主題.學(xué)生現(xiàn)在研究的背景函數(shù)一直都是三角函數(shù)，對周期的概念也才剛剛了解，教師就想讓學(xué)生找一個(gè)沒有最小正周期的非三角函數(shù).這對于學(xué)生而言，思維的跳躍幅度要求太大.更主要的是研究偏離了教學(xué)的主題.本節(jié)課主要研究的是三角函數(shù)的周期性，在一般函數(shù)周期性上“糾纏”，使教學(xué)偏離了中心.加深理解出發(fā)點(diǎn)沒有錯(cuò)誤，但失去目標(biāo)，教學(xué)就會(huì)偏離正確的軌道.

3.4沒有把握好問題探究的程度

問題的探究過于深廣，對教師的教學(xué)不僅不會(huì)起到促進(jìn)作用，反而會(huì)給教學(xué)帶來負(fù)面的影響.關(guān)于周期函數(shù)的概念，實(shí)際上教材中的定義是不完備的[5].教材中給出的定義是相對狹義上的周期性概念.教師想通過探究分析，使學(xué)生對周期函數(shù)的概念理解更準(zhǔn)確.然而，對于周期函數(shù)的定義在中學(xué)階段只要求了解，沒有必要把定義的來龍去脈都弄清楚.學(xué)習(xí)不能凡是都講過程，需要知道一些知識(shí)的發(fā)生過程，是必要的.但是，不能過頭[6].問題的探究不能過深和過廣.

總之，出現(xiàn)“深挖未必深知”的教學(xué)現(xiàn)象是教師課堂教學(xué)中缺乏教法研究和學(xué)情分析的結(jié)果.

4教學(xué)建議

基于以上原因的分析，本文給出教學(xué)建議以作拋磚引玉.

4.1創(chuàng)設(shè)合適的問題情境

問題情境的設(shè)計(jì)可以從兩方面入手.一是從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)設(shè)計(jì)情境，但不能過分追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬈瘘c(diǎn).教師可以直接利用誘導(dǎo)公式一作為情境進(jìn)行引入.二是從生產(chǎn)實(shí)際，也就是生活事例引入.通過生活事例引入時(shí)要特別注意的是，學(xué)生所舉的例子基本都是模糊的周期現(xiàn)象.教師沒有必要對這些周期現(xiàn)象是否是嚴(yán)格的周期問題進(jìn)行分析探究.引入的目的是為了讓學(xué)生能有直觀的認(rèn)識(shí)，便于學(xué)生思維活動(dòng)的順利進(jìn)行.周期的概念暫時(shí)還沒有準(zhǔn)確的定義，不必過多追求精準(zhǔn).對周期的概念的把握此時(shí)定位在感性理解上就可以了，這已經(jīng)可以為下面的理性分析準(zhǔn)備充實(shí)的鋪墊.

4.2科學(xué)正確地使用正例與反例

科學(xué)的認(rèn)知規(guī)律表明，概念表征時(shí)正例應(yīng)該先于反例.不僅如此，正例應(yīng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上，應(yīng)該連續(xù)呈現(xiàn)[7].同時(shí)，教師還應(yīng)該對概念以多種方式和多種角度繼續(xù)強(qiáng)化.在強(qiáng)化了概念的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性較為熟悉之后，教師再提出反面的情況，反例的作用才能得以體現(xiàn).反例也可以放在下一課時(shí)的教學(xué)中.經(jīng)過一段時(shí)間對概念的消化和吸收，再加以進(jìn)一步理解，效果會(huì)更好.

4.3緊盯教學(xué)目標(biāo)展開教學(xué)

加深知識(shí)的理解應(yīng)該始終圍繞教學(xué)目標(biāo)展開.關(guān)于三角函數(shù)最小正周期問題，學(xué)生此時(shí)不一定能從本質(zhì)上完全理解，但從學(xué)生回答的角度看，學(xué)生能夠初步了解三角函數(shù)最小正周期的含義.對于常函數(shù)的周期性問題，可以讓學(xué)生課后思考或放到下節(jié)課中學(xué)習(xí).教師應(yīng)該始終圍繞三角函數(shù)的周期性展開教學(xué).三角函數(shù)的最小正周期問題是周期問題中的難點(diǎn)，是本節(jié)課的難點(diǎn)，在隨后的教學(xué)環(huán)節(jié)中仍需繼續(xù)學(xué)習(xí)，所以當(dāng)前目標(biāo)能夠達(dá)成即可，不必急于把所有問題一次性解決.教師希望學(xué)生從不同的角度理解概念，但是必須注意瞄準(zhǔn)目標(biāo)，這樣才能對知識(shí)的理解起到促進(jìn)作用.

4.4遵循問題探究的適度性原則

在教學(xué)中，提倡教師多引導(dǎo)探究，但是倡導(dǎo)探究不等于處處探究.受需求、能力和時(shí)間等條件的制約，教師只能在關(guān)鍵環(huán)節(jié)上，在重難點(diǎn)上引導(dǎo)學(xué)生探究，不能也沒必要面面俱到.問題的探究需要教師科學(xué)地把握問題的主次輕重，抓大放小，張弛有度[8].核心問題必須認(rèn)真探究，但探究的過程可以分步驟、分層次、分時(shí)間進(jìn)行.不必要探究的問題就干脆不探究.教學(xué)的目的不是為難學(xué)生，更不是讓學(xué)生感覺難為情.所以，教師應(yīng)該從學(xué)生的角度去審視自己的教學(xué).問題的探究應(yīng)該符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和規(guī)律，遵循適度性原則.難度超出學(xué)生的認(rèn)知水平，那就是無效的問題[9].教師是站在已知的高度去俯瞰未知，容易忽視學(xué)生的接受能力和認(rèn)知水平.教師不能為了問題而隨意提出問題，拋出一個(gè)個(gè)設(shè)好的“陷阱”讓學(xué)生去跳.

“深挖未必深知”教學(xué)現(xiàn)象是教師對學(xué)生認(rèn)知能力和認(rèn)識(shí)水平把握不準(zhǔn)，是教師對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的科學(xué)性研究缺乏，是教師教學(xué)偏離中心，是教師沒有遵循教學(xué)適度性原則的表現(xiàn).因此，不論在教學(xué)的情境引入、概念認(rèn)知、理解深入和問題探究上，教師都應(yīng)該以這節(jié)課的重難點(diǎn)突破為中心.教師的一切教學(xué)行為都應(yīng)該服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，始終圍繞目標(biāo)適度教學(xué).教師還要具有一定的教育學(xué)和心理學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，這樣，教師才能讓自己的教學(xué)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.教無定法，貴在得法.教師在教學(xué)中必須要把握好教學(xué)的分寸.“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，應(yīng)該是對教與學(xué)最好的詮釋.

致謝：文章的寫作得到了天津師范大學(xué)王光明教授的指導(dǎo)，特此表示感謝.

參考文獻(xiàn)

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[9]盧章洪.對高中數(shù)學(xué)問題教學(xué)法的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].教師博覽（科研版），2013，7：51-53.

作者簡介涂德佳，男，1982年生，江蘇宿遷人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).王洪進(jìn)，男，1965年生，江蘇宿遷人，中學(xué)高級(jí)教師.主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).