龍騰飛　郭巍　申睿

摘 要：奇異性檢測在類似故障診斷這樣的工程應(yīng)用中意義非凡，其中一項就是關(guān)于信號故障奇異性特征的提取。通過數(shù)學(xué)軟件Matlab做了關(guān)于小波變換在噪聲信號的奇異性特征和故障信號檢測中的仿真實驗。結(jié)果表明，小波分析在非平穩(wěn)信號特征檢測中有著較好的穩(wěn)定性和可靠性。

關(guān)鍵詞：小波變換；奇異點；模極大值；Matlab仿真

近年來，小波分析理論成為眾多學(xué)術(shù)團(tuán)體和學(xué)科領(lǐng)域共同關(guān)注的熱點。它是應(yīng)用數(shù)學(xué)家和數(shù)據(jù)處理工程師在各自領(lǐng)域研究中分別獨立發(fā)現(xiàn)的。隨著小波分析在應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程科學(xué)領(lǐng)域的迅速發(fā)展，尤其是計算機(jī)和信息處理技術(shù)的普及，其在信號特征檢測中的應(yīng)用越來越受到人們的關(guān)注。對于穩(wěn)定不變的信號來說，傅立葉分析是理想的處理工具，但在實際工程應(yīng)用中由于絕大多數(shù)信號是非平穩(wěn)的，其最佳處理工具則是小波分析。

1 信號奇異性的相關(guān)理論[1-2]

奇異信號也稱突變信號，在諸如圖像邊緣檢測、機(jī)械故障診斷、電力系統(tǒng)故障、腦電圖、心電圖的異常等實際問題中，每一個細(xì)小的變化都對應(yīng)著信號的突然變化。因此，研究信號的奇異性突變檢測有著十分重要的意義。

1.1 奇異信號的種類

一般說來，信號的奇異性有兩種：一種是其幅值在某一時刻內(nèi)由于發(fā)生了突變而產(chǎn)生了非連續(xù)信號，我們把其幅值的突變點稱為第一類間斷點；另一種是信號的外觀很光滑且幅值不發(fā)生突變，而信號的一階倒數(shù)有突變但不連續(xù)，我們把幅值的突變點稱為第二類間斷點。

1.2 信號奇異性與Lipschitz指數(shù)

信號的奇異點表征了信號的突變特征，有時表現(xiàn)為間斷或尖峰，有時則表現(xiàn)為某階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)。從數(shù)學(xué)的角度分析，如果函數(shù)f（t）存在間斷點或其某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該間斷點為函數(shù)f（t）的奇異點。轉(zhuǎn)換成信號領(lǐng)域，我們習(xí)慣用利普西茲指數(shù)（Lipschitz）α來刻畫信號f（t）在該點處的奇異程度。

一般情況下，我們用某一點處的利普西茲指數(shù)α表征信號函數(shù)f（t）在該點處的奇異性大?。害猎酱笮盘柕墓饣仍胶?，在該點處擁有越小的奇異性；反之，α越小信號的光滑度越差，在該點處擁有越大的奇異性。

如果信號函數(shù)f（t）在時間點t0處可導(dǎo)，則該點的利普西茲指數(shù)α>1；如果f（t）在t0連續(xù)不可導(dǎo)，則該點的利普西茲指數(shù)α=1；假若f（t）在t0點不連續(xù)且其值有限，則該點的利普西茲指數(shù)0<α<1。如表1所示，給出了沖擊函數(shù)、階躍函數(shù)、斜升函數(shù)以及白噪聲在奇異點處的利普西茲指數(shù)一覽。

2 小波變換在奇異性信號檢測中的應(yīng)用

2.1 小波變換與信號的奇異性檢測的相關(guān)理論

在工程應(yīng)用中，故障的發(fā)生往往會帶來信號峰值的突然變化。因此，研究奇異點所隱含的信息將為解決實際問題提供極大幫助[3]。

研究表明，小波變換的模極大值與變換尺度和奇異指數(shù)α之間有如下關(guān)聯(lián)：當(dāng)α=0時，無論尺度如何變化，小波變換的模極大值都不變；當(dāng)α>0時，隨著尺度的增大，小波變換的模極大值跟著增大；當(dāng)α<0時，隨著尺度的增大，小波變換的極大值隨之減小。白噪聲是一種特殊的隨機(jī)分布信號，它的利普西茲指數(shù)保持α<0，故隨著尺度的增大，其小波變換的極大值將減小。

據(jù)此，結(jié)合已有研究成果可以進(jìn)一步推導(dǎo)得出：信號f（t）的小波變換模極值點就是它自身的信號奇異點，描述該奇異點特征的利普西茲指數(shù)則可以通過計算小波變換尺度的衰減細(xì)況得到。

2.2 仿真實驗

2.2.1 故障奇異信號檢測的Matlab仿真

系統(tǒng)如果發(fā)生故障會出現(xiàn)噪聲信號，我們可以通過小波變換提取噪聲特征的方式進(jìn)行系統(tǒng)故障的精確定位，進(jìn)而做到故障修復(fù)。

在仿真實驗中，對信號f（t）先進(jìn)行多尺度分解，隨后重構(gòu)其不同尺度的高頻部分[4，5]，得到了相應(yīng)的噪聲成分。實驗中使用db3小波基對系統(tǒng)異常時的輸出信號進(jìn)行了六層多分辨率分析。如圖1所示。

仿真結(jié)果分析：由圖1可以看出，該實例中出現(xiàn)的間斷點是第一類間斷點，通過db3小波對信號進(jìn)行多尺度分析，由細(xì)節(jié)信號可以很明顯判斷出故障的位置，在t=500時，系統(tǒng)出現(xiàn)了異常情況，在t=1000時，系統(tǒng)工作恢復(fù)了正常。觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過用db3小波對系統(tǒng)異常時輸出信號進(jìn)行六層多分辨率分析的過程，實際上是每層分解是用不同的高、低通濾波器對上一層的低通信號進(jìn)行濾波處理，最終的分解信號中第六層的低頻信號ca6是得到的信號的低頻成分，而經(jīng)過六層分解得到的高頻信息成分分別為dl、d2、d3、d4、d5、d6，它們在頻率分辨率和時間分辨率兩項數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)剛好相反，即頻率分辨率越來越高，而時間分辨率會越來越小。第一層分解的d1高頻系數(shù)清楚地確定了故障信號所持續(xù)的時間段。

2.2.2 用Matlab檢測噪聲奇異信號

在實際應(yīng)用中，信號往往都夾雜著噪聲，這無疑增加了檢測奇異點的難度。本仿真實例中引入的是一個含高斯白噪聲的矩形波信號，如圖2所示。在利用小波變換對含噪信號進(jìn)行奇異點檢測時有兩種方法：一是對含噪信號采用適當(dāng)?shù)奶幚矸椒ㄟM(jìn)行去噪處理，然后對消噪信號進(jìn)行小波分解；二是利用小波函數(shù)對含噪信號f（t）進(jìn)行直接分解，通過分解出來的的第一層細(xì)節(jié)信號特征估算出噪聲所在的大體位置，進(jìn)而在小波分解的更深層次上展現(xiàn)出信號的奇異點[5，6]。

使用db3小波對原始信號進(jìn)行六層多分辨率分析，得到的小波分解圖，如圖3所示，在第一層細(xì)節(jié)信號中可以清晰地看到奇異點的位置。接下來，對含噪信號進(jìn)行去噪處理，即抑制信號中的無用部分，增強(qiáng)信號中的有用部分。觀察圖2，處理后的信號大體上保留了初始信號的特征，同時去除了噪聲干擾，去噪效果比較明顯。對消噪信號進(jìn)行小波分解，由第一層和第二層細(xì)節(jié)信號能夠粗略地判斷出奇異點的位置，而直接對含噪信號進(jìn)行小波分解，第一層細(xì)節(jié)信號噪聲影響是很明顯的，信號奇異性在更深層次的細(xì)節(jié)信號d3、d4表現(xiàn)了出來，如圖4所示。

因此，如果一個系統(tǒng)發(fā)生了故障，往往會帶來輸出信號的奇變，所混雜的噪聲信號也會隨之增強(qiáng)。因此，在提取系統(tǒng)輸出信號特征時進(jìn)行去噪處理，同時重點分析系統(tǒng)輸出信號的高頻分量特征可以有效實現(xiàn)系統(tǒng)故障的檢測。

3 結(jié)語

小波變換在信號處理中被稱為顯微鏡，通過局部模極大值的性質(zhì)能精確分析信號在小波變化下的局部奇異性，給出各奇異點的位置。實驗表明，小波變換在故障信號、噪聲信號的奇異性特征檢測方面有著較好可靠性和穩(wěn)定性，正成為當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域。

[參考文獻(xiàn)]

[1]李章勇，姜瑜，王偉，等.基于小波變換的皮電信號濾波及奇異性檢測[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2013（4）.

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[3]陳克祥.多小波理論在輸電線故障定位中的應(yīng)用研究[D].合肥：安徽大學(xué)，2012.

[4]洪從魯，趙慧.小波變換在輸電線路故障檢測中的應(yīng)用[J].信息通信，2012（4）.

[5]廖曉輝，梁恒娜，丁倩. 基于小波變換的電力電纜故障測距研究[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2013（3）.

[6]魏阿妮.基于小波變換的心電信號奇異性的檢測分析研究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2012.