曹 樂，王朝英，孔云波，劉玉軍，鹿傳國

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077;2.95806 部隊(duì)，北京100086)

0 引 言

無源傳感器具有良好的隱蔽性、抗電磁干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等優(yōu)點(diǎn)［1］，近年來已被廣泛研究，成果日益增多［2～5］。但無源傳感器的量測(cè)信息僅包含角度信息，加大了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的難度，利用幾何交叉定位技術(shù)對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行定位則產(chǎn)生了大量的虛假點(diǎn)［6］，且隨著傳感器與目標(biāo)數(shù)目的增多呈指數(shù)級(jí)增加。

為解決多無源傳感器跟蹤中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，Bar－Shalom Y 等人將其描述為一個(gè)多維分配問題。Pattipati K R 在文獻(xiàn)［7］中提出利用量測(cè)與偽量測(cè)的極大似然比構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)，并利用多維分配模型求解最優(yōu)劃分。但該代價(jià)函數(shù)仍難以精確反映量測(cè)數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)的可能性大小，且當(dāng)維數(shù)高于二維時(shí)，多維分配問題計(jì)算復(fù)雜度高，無法求得最優(yōu)解。因此，目前的大部分研究多致力于降低該模型的復(fù)雜度，如文獻(xiàn)［3］提出了約減關(guān)聯(lián)假設(shè)空間的二面角聚類算法;文獻(xiàn)［8］利用方位角和俯仰角信息篩選可能的關(guān)聯(lián)組合，通過指示函數(shù)分析挑選出正確關(guān)聯(lián)組合;文獻(xiàn)［9］根據(jù)最大似然算法將定位問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題;文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)了基于測(cè)向線的關(guān)聯(lián)依據(jù)，提出了兩級(jí)消元式數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法。以上方法都是利用先驗(yàn)信息來減小搜索區(qū)域以降低計(jì)算復(fù)雜度，從分配方式角度改進(jìn)算法，而忽略了關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)的構(gòu)造。

文獻(xiàn)［11］明確指出極大似然法［7］在構(gòu)造代價(jià)函數(shù)時(shí)忽略了極大似然估計(jì)所引入的誤差，可以通過修正代價(jià)函數(shù)增強(qiáng)模型的完備性以提高關(guān)聯(lián)正確率。因此，本文從增強(qiáng)多維分配模型完備性的角度，提出基于信息熵的多無源傳感器數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法。信息熵可以有效地度量相似概率密度函數(shù)之間的差異，充分考慮到極大似然估計(jì)所引入的隨機(jī)誤差。本文利用最常用的兩種信息熵:相對(duì)熵和Renyi熵度量偽量測(cè)的概率密度函數(shù)與真實(shí)量測(cè)數(shù)據(jù)的極大后驗(yàn)分布［4］之間的相似性，構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步證明了該算法的有效性。

1 問題模型

假定在觀測(cè)區(qū)域內(nèi)有M 個(gè)目標(biāo)，通過N 只傳感器進(jìn)行協(xié)同目標(biāo)定位。圖1 即表示目標(biāo)j 與傳感器之間的關(guān)系模型。其中，傳感器s 的坐標(biāo)，目標(biāo)j 的坐標(biāo)

圖1 多無源傳感器目標(biāo)跟蹤模型Fig 1 Multi passive sensor target tracking model

1.1 量測(cè)模型

根據(jù)圖1 所示的模型，傳感器s 測(cè)得目標(biāo)j 的角度量測(cè)為θsj=［βsj，αsj］T，其中

每只傳感器均允許漏檢與虛警，則傳感器的量測(cè)模型可以表示為

其中，量測(cè)噪聲服從正態(tài)分布，即vsi～N(0，Rs)，虛警在觀測(cè)區(qū)域近似服從均勻分布，psj=1/φs。

為簡(jiǎn)化由漏檢引起的不完全測(cè)量與目標(biāo)的互聯(lián)，為傳感器s 引入一個(gè)虛擬量測(cè)ms0，則傳感器s 獲得的量測(cè)集合可以表示為，所有傳感器獲得的量測(cè)數(shù)據(jù)表示為

1.2 多維分配模型

數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)即識(shí)別真實(shí)目標(biāo)的數(shù)目并估計(jì)目標(biāo)的位置，同時(shí)對(duì)量測(cè)集合進(jìn)行可行性劃分。設(shè)γ 為一可行劃分，Ψ={γ}為所有可行劃分的集合，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)即是尋找到Ψ中的最優(yōu)劃分γest，通常利用多維分配算法求解。

傳統(tǒng)多維分配算法是利用量測(cè)與偽量測(cè)間的統(tǒng)計(jì)距離構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)，即

其中，PDs為傳感器s 的檢測(cè)概率，δ0is為狄拉克函數(shù)，為某關(guān)聯(lián)假設(shè)下目標(biāo)的偽量測(cè)與量測(cè)的統(tǒng)計(jì)距離。

定義 ρi1i2…iN為二元變量，表示分配的量測(cè)集合是否與目標(biāo)互聯(lián)，則完整的多維分配模型表述為

滿足約束條件

1.3 目標(biāo)位置估計(jì)

為獲得目標(biāo)偽量測(cè)信息，首先要確定目標(biāo)的位置估計(jì)信息。不考慮量測(cè)噪聲的影響，根據(jù)式(1)和式(2)將N 只傳感器的量測(cè)方程用矩陣形式表示為

其中

則利用偽線性最小二乘定位算法［12］求得目標(biāo)位置估計(jì)為

對(duì)應(yīng)的估計(jì)協(xié)方差陣為

2 基于信息熵的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)

信息熵是對(duì)事件不確定性的一種度量。若P，Q 分別表示兩個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)分別為p(x)，q(x)，則隨機(jī)變量P 的信息熵H(P)可以表示為

條件信息熵表示在某個(gè)變量確定的前提下，其它未知變量所包含的信息量，表示為

其中，H(Q，P)表示變量P，Q 的聯(lián)合熵。條件熵表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度，因此，可以利用條件熵度量目標(biāo)真實(shí)位置與極大似然估計(jì)之間的相關(guān)性程度，修正關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)，以提高關(guān)聯(lián)正確率。本文主要利用兩種常用的信息熵:相對(duì)熵與Renyi 熵對(duì)關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行修正。

2.1 偽量測(cè)統(tǒng)計(jì)特性

關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)的構(gòu)造為數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的核心，而修正代價(jià)函數(shù)首先即要確定偽量測(cè)的統(tǒng)計(jì)特性。無跡(UT)變換是計(jì)算隨機(jī)變量經(jīng)非線性變換后統(tǒng)計(jì)特性的方法，因此，本文采用對(duì)稱采樣的UT 變換［13］求解偽量測(cè)的統(tǒng)計(jì)特性。

基于式(1)，式(2)所述的傳感器觀測(cè)模型，記xj與對(duì)應(yīng)于傳感器s 的偽量測(cè)~mj之間的映射關(guān)系為

1)Sigma 點(diǎn)采樣:采用對(duì)稱采樣確定目標(biāo)位置估計(jì)的Sigma 點(diǎn)集

采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值為

其中，i=0，1，…，2n(n 為x^j的維數(shù))為比例系數(shù)，調(diào)節(jié)Sigma 點(diǎn)與均值的距離。

2)非線性變換:將Sigma 點(diǎn)ηi按式(13)進(jìn)行非線性變換得點(diǎn)集

3)數(shù)值計(jì)算:偽量測(cè)的均值和方差分別為

2.2 基于相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)代價(jià)

相對(duì)熵是描述兩個(gè)隨機(jī)變量P，Q 之間差異的一種方法，利用其可以度量不同概率密度函數(shù)之間的差異，則兩個(gè)一維連續(xù)隨機(jī)變量之間的相對(duì)熵定義為

由于相對(duì)熵不滿足交換律，不是嚴(yán)格意義上的距離信息。因此，利用對(duì)稱相對(duì)熵構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)。對(duì)稱相對(duì)熵定義如下

假設(shè)不同傳感器之間的觀測(cè)相互獨(dú)立，考慮漏檢和虛警的影響，則對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)假設(shè)的代價(jià)函數(shù)為

代價(jià)函數(shù)的核心即相對(duì)熵的計(jì)算，假設(shè)P，Q 均服從高斯多維分布，即p ～N(μ0，∑0)，q ～N(μ1，∑1)，則相對(duì)熵可化簡(jiǎn)為

2.3 基于Renyi 熵的關(guān)聯(lián)代價(jià)

Csiszar 在20 世紀(jì)60 年代前后提出f 散度的概念，定義為

f 散度是通過f 函數(shù)對(duì)散度進(jìn)行調(diào)節(jié)，不同的f 函數(shù)，對(duì)應(yīng)著不同的散度。當(dāng)f 函數(shù)取時(shí)，代表f 散度的一種特殊的情況—Renyi 熵，定義為

其中，α 為Renyi 熵參數(shù)(α∈(0，1))。

Renyi 熵同樣不是嚴(yán)格意義上的距離信息，因此，定義對(duì)稱Renyi 熵如下

則對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)假設(shè)Mi1i2…iN的代價(jià)函數(shù)為

其中，Renyi 熵的表達(dá)式可以化簡(jiǎn)為

將上式結(jié)果代入式(25)即修正關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提算法的正確性，對(duì)相同配置方案下本文算法與文獻(xiàn)［7］算法進(jìn)行比較分析。由于多維分配算法是一典型的NP 難題，實(shí)驗(yàn)中的多維分配問題均利用線性松弛法［14］求解。

本仿真設(shè)置2 只無源傳感器，其坐標(biāo)分別為(20，0，0.1)km，(0，20，0.1)km，目標(biāo)在以探測(cè)器為中心，半徑為20 km 的球形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生。不考慮漏檢和虛警，在傳感器角度量測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差為1，3，5 mrad 的情況下分別進(jìn)行仿真。由于α=0.5 時(shí)Renyi 熵能夠充分考慮到兩個(gè)相似概率密度函數(shù)之間的最大差別［15］，因此，以下仿真實(shí)驗(yàn)中 的值均取0.5。

3.1 兩目標(biāo)關(guān)聯(lián)

假設(shè)在觀測(cè)區(qū)域內(nèi)有2 個(gè)目標(biāo)，坐標(biāo)分別為(x，y，z)和(x+d，y，z)。其中，d 為兩目標(biāo)之間的距離，在［0.05，2］km之間每隔0.1 km 進(jìn)行取值，蒙特—卡羅仿真次數(shù)取1 000。仿真結(jié)果如圖2，由圖可以看出:隨著量測(cè)噪聲的增加，目標(biāo)關(guān)聯(lián)正確率明顯下降，同時(shí)，隨著目標(biāo)間距的增大，關(guān)聯(lián)正確率逐漸提高。利用信息熵構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)，相對(duì)于文獻(xiàn)［7］算法明顯提高了關(guān)聯(lián)正確率，且基于Renyi 熵的改進(jìn)效果優(yōu)于基于相對(duì)熵的改進(jìn)。

圖2 兩目標(biāo)關(guān)聯(lián)正確率曲線Fig 2 Association accuracy curve of two-target

3.2 多目標(biāo)關(guān)聯(lián)

假設(shè)在觀測(cè)區(qū)域內(nèi)有5，10，15 個(gè)等間隔排列的目標(biāo)，相鄰目標(biāo)之間的間隔為d，蒙特—卡羅仿真次數(shù)取500。表1 ～表3為不同目標(biāo)間隔、不同量測(cè)誤差下各算法的關(guān)聯(lián)正確率。表中數(shù)據(jù)進(jìn)一步證明了利用信息熵修正關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)的有效性，與文獻(xiàn)［7］算法相比，相對(duì)熵改進(jìn)算法關(guān)聯(lián)正確率提高了1.5%～5.8%，平均提高了近3.7%;Renyi 熵改進(jìn)算法關(guān)聯(lián)正確率提高了2.2%～7.5%，平均提高了近5.2%。

表1 5 目標(biāo)關(guān)聯(lián)正確率Tab 1 Association accuracy ratio of five-target

表2 10 目標(biāo)關(guān)聯(lián)正確率Tab 2 Association accuracy ratio of ten-target

表3 15 目標(biāo)關(guān)聯(lián)正確率Tab 3 Association accuracy ratio of fifteen-target

3.3 算法復(fù)雜度分析

表4 為2 只傳感器跟蹤2 個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)不同算法計(jì)算關(guān)聯(lián)代價(jià)的相對(duì)運(yùn)算強(qiáng)度。由表中數(shù)據(jù)看出:基于信息熵的算法增大了算法運(yùn)算強(qiáng)度，提高了關(guān)聯(lián)的復(fù)雜度，分析其主要是由于偽量測(cè)統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算?；谙鄬?duì)熵的改進(jìn)算法計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，更適于實(shí)際應(yīng)用。

表4 相對(duì)運(yùn)算強(qiáng)度Tab 4 Relative computing intensity

4 結(jié) 論

本文將偽量測(cè)視作隨機(jī)變量，利用信息熵度量量測(cè)與偽量測(cè)概率密度函數(shù)之間差異構(gòu)造關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)，以增強(qiáng)模型的完備性，提高關(guān)聯(lián)的性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明:該方法充分考慮了極大似然估計(jì)引入的誤差，更精確地反映數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的可能性程度，有效地提高了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的正確率。其中利用Renyi 熵修正關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)改進(jìn)效果更明顯，但其計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)于相對(duì)熵方法略有提高。

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