何飛龍 張賀旭 雷琪琪 王 振 戴 康 朱春花

（新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆烏魯木齊 830046）

選材引起測量金屬絲楊氏模量的誤差分析

何飛龍 張賀旭 雷琪琪 王 振 戴 康 朱春花

（新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆烏魯木齊 830046）

楊氏模量的測量是大學(xué)物理中重要的力學(xué)實驗之一。我們對不同直徑、不同長度的鋼絲進行了楊氏模量測定，分析了選材對實驗結(jié)果的影響。研究結(jié)果表明，在儀器允許的測量范圍內(nèi)，直徑越小、長度越長的材料，其楊氏模量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度越小。

楊氏模量；選材；誤差

楊氏模量是表征固體材料性質(zhì)的一個重要的物理量，是工程設(shè)計上選用材料時經(jīng)常涉及的重要參數(shù)。金屬絲楊氏模量的測定是大學(xué)物理中必不可少的力學(xué)實驗之一。很多學(xué)者針對楊氏模量測量結(jié)果存在的儀器和系統(tǒng)誤差進行了研究。如關(guān)壽華、徐輯彥對楊氏模量測量中的方法誤差和非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)造成的誤差進行了定量分析，指出系統(tǒng)應(yīng)處于的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，并對傳統(tǒng)儀器進行有效改進，提高了測量精度［1］。除了儀器和系統(tǒng)誤差外，選材方面（例如金屬絲的長短粗細等）是否會對實驗結(jié)果造成影響呢？如果有影響，又該如何減小誤差呢？本文在儀器允許的測量范圍內(nèi)，對不同直徑、不同長度的鋼絲材料的楊氏模量進行了多組測量，并對實驗結(jié)果進行了分析，討論了材料選擇對測量結(jié)果的影響，指出了實驗過程中提高測量精度需要注意的事項。

1 實驗原理

本實驗采用拉伸法測量鋼絲的楊氏模量。設(shè)鋼絲長為L，截面積為S。沿長度方向施力F后，鋼絲伸長了ΔL，則其應(yīng)力為F/S，應(yīng)變?yōu)棣/L。按照胡克定理，在彈性限度范圍內(nèi)鋼絲的應(yīng)力與應(yīng)變的比值是一個常數(shù)，即楊氏模量，記為：

其單位為N/m2。

為實現(xiàn)對微小長度變化ΔL的測量，我們采用光杠桿法，測量裝置原理如圖1所示。長為b的光杠桿兩前足放置于平臺溝槽內(nèi)，后足置于中間穿有鋼絲的圓柱體上，調(diào)整光杠桿鏡面豎直，且與望遠鏡光軸垂直，然后從望遠鏡中讀出叉絲對準(zhǔn)標(biāo)尺上的讀數(shù)n1。懸掛重物后，鋼絲受力伸長，光杠桿后足尖隨之下降ΔL，平面鏡則以光杠桿前兩足的連線為軸轉(zhuǎn)過角度θ，根據(jù)光的反射原理，反射線將轉(zhuǎn)過2θ角，再讀出與望遠鏡叉絲對應(yīng)的標(biāo)尺刻度n2，根據(jù)幾何關(guān)系，

tanθ=ΔLb（2）tan2θ=（n2-n1）D=ΔnD（3）

由于θ很小，有tanθ≈θ，tan2θ≈2θ，得：

ΔL=bΔn2D（4）

因此，鋼絲的楊氏模量

E=8LDπd2b·FΔn（5）

圖1 光杠桿原理圖［2］

2 實驗結(jié)果

我們準(zhǔn)備了四種不同直徑（分別為0.3mm、0.37mm、0.5mm、0.6mm）的鋼絲，每種直徑的鋼絲選取五種不同長度（分別為28cm、31cm、34cm、37cm、40cm）進行楊氏模量的測量。

下面以直徑為0.3mm、長度為40cm的鋼絲的楊氏模量測量為例，給出具體實驗數(shù)據(jù)及處理。表1、表2和表3分別給出了鋼絲長度、直徑及望遠鏡中標(biāo)尺的讀數(shù)。

表1 測量各物理量選用儀器及測量值

表2 金屬絲直徑d選用儀器：游標(biāo)卡尺

利用逐差法處理標(biāo)尺讀數(shù)，其平均差值為：鋼絲的楊氏模量為：

表3 加外力后標(biāo)尺的讀數(shù)

鋼絲楊氏模量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

按照同樣的處理方法，我們得到了不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量，見表4。

表4 楊氏模量實驗結(jié)果

3 誤差分析和討論

根據(jù)表4中的實驗結(jié)果，我們給出了不同直徑、不同長度的鋼絲的楊氏模量及其誤差棒，如圖2所示。

從圖2中可以看出，當(dāng)鋼絲直徑一定時，隨著長度的減小，鋼絲楊氏模量的誤差棒變長，即相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度增大；當(dāng)鋼絲長度一定時，隨著直徑的增加，鋼絲楊氏模量的誤差棒也變長，即相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度也增大。當(dāng)鋼絲直徑為0.6mm時，楊氏模量的測量值相差較大，從1.38×1011N/m2（鋼絲長度為31cm）到1.64×1011N/m2（鋼絲長度為40cm）。但無論哪種直徑的鋼絲，當(dāng)其長度為40cm時，楊氏模量測量值的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度最小。

圖2 不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量

當(dāng)鋼絲直徑一定時，鋼絲伸長引起標(biāo)尺位置變化的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（）變化不大，但隨著鋼絲長度變短，鋼絲伸長量的逐差減小。根據(jù)鋼絲楊氏模量相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度公式可知，隨著減小鋼絲長度，其楊氏模量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度增大。例如直徑為0.3mm的鋼絲在長度為40cm、37cm、34cm、31cm、28cm時楊氏模量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為2.49%、2.59%、2.76%、2.85%、3.49%，顯然其相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度隨著長度變短不斷增大。

我們發(fā)現(xiàn)，實驗中所使用的鋼絲大多處于彎曲狀態(tài)。對于較細的鋼絲而言，加上一個砝碼就能將其拉直，所得到的數(shù)據(jù)誤差較小。但對于較粗的鋼絲，初始所加的一個砝碼難以將其拉直，后續(xù)加上的砝碼使鋼絲緩慢伸直，其彎曲量也就不可避免地被當(dāng)作鋼絲的伸長量計入數(shù)據(jù)。另外，鋼絲直徑越大，其上、中、下各位置直徑測量誤差也越大，這也導(dǎo)致鋼絲楊氏模量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度增大。這一點在測量直徑為0.6mm的鋼絲楊氏模量時表現(xiàn)最為明顯，如圖2所示。

在鋼絲楊氏模量測量實驗中，以下因素也可能造成測量誤差：

第一，從儀器上來看，楊氏彈性模量儀器的下卡頭與平臺中圓孔內(nèi)壁之間的間隙很小，如果楊氏彈性模量儀立柱不豎直，下卡頭受平臺中圓孔限制，與上卡頭的中心軸線不在同一豎直線上，下卡頭與圓孔內(nèi)壁接觸就會發(fā)生摩擦，造成實際伸長量的誤差［3］。另外，由于使用的鋼絲比較細，砝碼的重量比較大，如果金屬絲夾頭不緊，也會導(dǎo)致增減砝碼時金屬絲發(fā)生滑動［4］。由公式（1）可以看出，如果金屬絲滑動導(dǎo)致△L偏大，那么測量的楊氏模量值將偏小。

第二，從實驗原理上來看，鋼絲楊氏模量的值是通過光杠桿放大法測得。它將鋼絲的細微伸長量放大了40多倍(2D/ b)，從而可以測量。但是，也會將實驗上微小的誤差放大，對實驗結(jié)果造成一定影響。所以在組裝儀器時要保證平面鏡呈豎直狀態(tài)，望遠鏡鏡身水平且與平面鏡等高。實驗過程中應(yīng)盡量保證動作幅度較小，不用手去觸碰桌面，以免導(dǎo)致平面鏡晃動，產(chǎn)生讀數(shù)誤差。此外，實驗過程中砝碼應(yīng)輕拿輕放，一旦打翻砝碼將會導(dǎo)致整個裝置位置的改變，造成實驗失敗。

4 結(jié)語

本文對不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量進行了多組測量，分析了選材對實驗結(jié)果造成的影響。研究發(fā)現(xiàn)：在儀器允許的測量范圍內(nèi)，鋼絲直徑越小、長度越長，其楊氏模量測量值的相對合成不確定度越小。在本實驗中，選取直徑為0.3mm、長度為40cm的鋼絲所測得的楊氏模量誤差最小。因此，在一定范圍內(nèi)采用直徑較細、長度較長的鋼絲進行楊氏模量的測量，將有助于提高測量結(jié)果的精確度。

［1］關(guān)壽華，徐輯彥.用光杠桿測量楊氏模量的誤差分析及改進［J］.大連民族學(xué)院學(xué)報，2004，6（1）：11-15.

［2］應(yīng)雄純.楊氏模量實驗誤差問題探討［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報，2000，22：7-9.

［3］李穎.用拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量實驗誤差分析及改進［J］.科技信息，2011，23：549.

［4］姜偉.拉伸法測金屬絲楊氏模量研究［J］.大學(xué)物理實驗，1996，9（3）：32-33.

［5］艾爾肯·阿不列木，阿合買提江，等.新編大學(xué)物理實驗教程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013：41-45.

Error Analysis on Measuring Metal Wire Young’s Modulus Caused byMaterial Selection

He Feilong Zhang Hexu Lei Qiqi Wang Zhen Dai Kang Zhu Chunhua
(School of Physical Science and Technology，Xinjiang University，Urumqi Xinjiang 830046)

Measure of Young’s modulus is one of the most important mechanical experiments in university physics. Inthis paper，the Young's modulus of steel wires with different diameters and lengths were measured，and the effects ofmaterial selections on experimental results were discussed. Within the permitted measuring range of experimentalinstrument，we found that，for the materials with the smaller diameter and the longer length，their relative combinedstandard uncertainties of Young's modulus were smaller.

Young’s modulus；material selection；error

O4-33

A

：1003-5168（2015）03-0123-3

2015-2-27

新疆維吾爾自治區(qū)級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（10755201400007）。

何飛龍（1994-），男，本科在讀，研究方向：物理學(xué)。通訊作者：朱春花（1976-），女，副教授，博士，研究方向：理論物理和天體物理研究