課本是重要的教學(xué)資源，例題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是教材的精華，頗受高考命題專家的青睞.數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分對(duì)例題進(jìn)行探究，挖掘其應(yīng)用價(jià)值.著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使其通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”下面通過(guò)一道課本例題的探究談一談如何“立足課本，對(duì)接高考”.

1 題目呈現(xiàn)

題目 （人教A版《數(shù)學(xué)〈選修2-1〉第41頁(yè)的例3）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

2 題目探究

探究1 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-b2a2，求點(diǎn)M的軌跡方程，點(diǎn)M的軌跡是什么？

結(jié)論1 與兩定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積等于定值-b2a2

的點(diǎn)M的軌跡方程是x2a2+y2b2=1（x≠±a）.

情形1：當(dāng)a>b>0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以AB為長(zhǎng)軸的橢圓，除去A，B兩點(diǎn).

情形2：當(dāng)b>a>0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以AB為短軸的橢圓，除去A，B兩點(diǎn).

情形3：當(dāng)a=b>0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A，B兩點(diǎn).

探究2 結(jié)論1的反面是什么？是否成立？

結(jié)論2 橢圓x2a2+y2b2=1上兩個(gè)頂點(diǎn)（-a，0），（a，0）與橢圓上除這兩個(gè)頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)連線的斜率之積為定值-b2a2.

探究3 類比“圓中任一條直徑所對(duì)的圓周角是直角”，將結(jié)論2中的兩頂點(diǎn)換成經(jīng)過(guò)橢圓中心的任意一條弦的兩端點(diǎn)，結(jié)論是什么？結(jié)論是否成立？

結(jié)論3 橢圓x2a2+y2b2=1上任意經(jīng)過(guò)中心的弦的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓上任一點(diǎn)（除這兩點(diǎn)外）連線斜率之積為定值-b2a2.

探究4 將“圓的垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”類比到橢圓中，結(jié)論是什么？結(jié)論是否成立？

結(jié)論4 過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1的中心平分該橢圓弦的直線與弦所在的直線的斜率之積為定值-b2a2.

探究5 將“圓的切線定理：過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直于過(guò)該切點(diǎn)的圓的切線”類比到橢圓中，結(jié)論是什么？結(jié)論是否成立？

結(jié)論5 過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1上一點(diǎn)與中心連線的直線的斜率與橢圓在該點(diǎn)處切線的斜率之積為定值-b2a2.

當(dāng)然，可將以上橢圓中的結(jié)論類比到雙曲線中，探究其是否成立.（限于篇幅，留給讀者探究總結(jié)）

3 對(duì)接高考

例1 （2013年高考全國(guó)大綱卷（理科）第8題）

橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上，且直線PA2斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（ ）.

A.12，34 B.38，34

C.12，1 D.34，1

解析 由結(jié)論2得，kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2（-2≤kPA2≤-1）.因?yàn)閗PA1單調(diào)遞增，所以38≤kPA1≤34，故選B.

例2 （2013年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷（理科）第10題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）則E的方程為（ ）.

A.x245+y236=1 B.x236+y227=1

C.x227+y218=1 D.x218+y29=1

解析 由結(jié)論4得：-b2a2=-12，所以a2=2b2.又a2=b2+9，所以b2=9，a2=18，選D.

例3 （2013年高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ（理科）第20題第⑴問(wèn)）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點(diǎn)的直線x+y-3=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為12.求M的方程.

解析 由結(jié)論4得，-b2a2=12×（-1），所以a2=2b2.又直線x+y-3=0過(guò)焦點(diǎn)（c，0），所以c=3，即a2-b2=3，所以a2=6，b2=3，點(diǎn)M的軌跡方程為x26+y23=1.

例4 （2013年高考北京卷（理科）第19題第（2）問(wèn)）已知A、B、C是橢圓W：x24+y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.

解析 四邊形OABC不可能為菱形.理由如下：

假設(shè)四邊形OABC為菱形，則對(duì)角線OB與AC互相垂直且平分于點(diǎn)M，于是kOB·kAC=-1.又由結(jié)論4知，kOM·kAC=-14.因?yàn)閗OM=kOB，所以kOB·kAC=-14.因?yàn)?14≠-1，所以假設(shè)不正確.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形.

例5 （2013年山東卷（理科）壓軸題）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為32，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程;

（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2

的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍;

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個(gè)定值.

解析 （1）x24+y2=1（過(guò)程略）.

（2）設(shè)P（x0，y0）（y0≠0）.

當(dāng)x0=0時(shí)，m=0.

當(dāng)x0≠0時(shí)，由結(jié)論5知kOP·k切=-14，所以k切=-x04y0.

由橢圓光學(xué)性質(zhì)知kPM·k切=-1，所以kPM=4y0x0，所以∠F1PF2的角平分線PM的方程為y-y0=4y0x0（x-x0），令y=0得m=34x0（-2<x0<0或0<x0<2）.綜合上述得-32<m<32.

（3）由題意，設(shè)P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由結(jié)論5知，kPM·k切=-14，所以k=k切=-x04y0，而k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，所以1k1+1k2=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-4y0x0·2x0y0=-8.

例6 （2013年高考山東卷（理科）壓軸題的一般化）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.

（1）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍;

（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個(gè)定值.

解析 （1）由題意，設(shè)P（x0，y0）（y0≠0）.

當(dāng)x0=0時(shí)，m=0.

當(dāng)x0≠0時(shí)，由結(jié)論5知kOP·k切=-b2a2，所以k切=-b2x0a2y0.

由橢圓光學(xué)性質(zhì)知，kPM·k切=-1，所以kPM=a2y0b2x0，所以∠F1PF2的角平分線PM的方程為y-y0=a2y0b2x0（x-x0）.

令y=0得m=x0-b2a2x0=a2-b2a2x0（-a<x0<0或0<x0<a），

綜合上述得-a2-b2a2<m<a2-b2a2.

（2）由題意，設(shè)P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由結(jié)論5知，kOP·k切=-b2a2，k=k切=-b2x0a2y0，而k1=y0x0+c，k2=y0x0-c，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-a2y0b2x0·2x0y0=-2a2b2.

4 教學(xué)啟示

4.1 注重對(duì)課本例題教學(xué)價(jià)值的挖掘.

課本例題具有示范性，通過(guò)例題教學(xué)，幫助學(xué)生深究教材例習(xí)題，挖掘其潛在功能，發(fā)揮其使用價(jià)值，對(duì)激發(fā)學(xué)生的探索興趣，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，都具有積極的作用.

42 立足教材，高效備考.

新課程提倡教師在教學(xué)中對(duì)課程資源進(jìn)行開(kāi)發(fā)和利用，教材是教師進(jìn)行教學(xué)的主要資源，是學(xué)生能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，是高考命題的主要依據(jù).立足教材，開(kāi)發(fā)教材，做透教材中的典型例題和習(xí)題，善于在高考題中尋找教材題目的原型，探索高考試題與教材題目的結(jié)合點(diǎn)，打通教材與高考的通道，對(duì)接高考，才能最終實(shí)現(xiàn)在高考復(fù)習(xí)中跳出題海，高效備考.

作者簡(jiǎn)介 張立政，男，1964年生，山西孝義人，山西省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究.