國內(nèi)外工科院校高等數(shù)學(xué)教材比較研究

陳文彥,馬紅鋁

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京211189)

[摘要]微積分課程的教學(xué)對(duì)高校創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)具有重要的作用，其教材建設(shè)受到普遍關(guān)注.本文以中美兩部具有代表性的微積分教材為比較對(duì)象，著重對(duì)兩本教材在數(shù)學(xué)內(nèi)容、編排、數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用、與計(jì)算機(jī)的結(jié)合、知識(shí)呈現(xiàn)等各方面進(jìn)行了比較.力圖從中展示出中美高等教育在教學(xué)思想和表現(xiàn)形式上的某些不同之處，由此得到一些有益的啟示.

[關(guān)鍵詞]微積分； 教材； 比較

[收稿日期]2015-04-11

[中圖分類號(hào)]O29；TE312[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

1引言

2數(shù)學(xué)內(nèi)容的總體比較

就兩類教材所覆蓋的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)而言，有差異但并不很大，基本包括了一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分學(xué)、級(jí)數(shù)、常微分方程初步以及空間解析幾何的知識(shí).國外教材中有時(shí)會(huì)有一些平面解析幾何及其它屬于初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，我國大多數(shù)學(xué)生在中學(xué)中已經(jīng)學(xué)過這些內(nèi)容.數(shù)學(xué)內(nèi)容從整體上看，基本相同，都是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)典的內(nèi)容，是應(yīng)用最廣泛的內(nèi)容，也是絕大多數(shù)工科學(xué)生必須具備的經(jīng)典微積分的基礎(chǔ)知識(shí).數(shù)學(xué)內(nèi)容從編排順序，編寫風(fēng)格，難度或深度要求上看都存在較大的差異.

3內(nèi)容編排的比較

中國絕大多數(shù)高校使用的高等數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容編排的順序上除去一些細(xì)微的差異之外，大體相同，且多少年來變化很少.美國不同教材之間在內(nèi)容編排的順序上往往存在一定的差異，這種差異不僅體現(xiàn)在內(nèi)容體系的總體安排上，也反映在具體細(xì)節(jié)的處理上.

對(duì)教材內(nèi)容，即所覆蓋的知識(shí)點(diǎn)的角度，郭景明在[5]中對(duì)兩種教材分章節(jié)進(jìn)行一些具體的比較.筆者也根據(jù)這幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出美國教材中的幾點(diǎn)不足之處：

(i) 出于一種認(rèn)為并非很必要的嚴(yán)格性的考慮，美國教材將對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)放到定積分的那一章才介紹.同時(shí)，美國教材通常會(huì)將數(shù)列極限和單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則放入級(jí)數(shù)內(nèi)容的那一章，造成關(guān)于無理數(shù)e的重要極限無法及時(shí)給出證明，從而累及對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式無法及時(shí)給出證明.造成涉及有關(guān)這兩類函數(shù)的求極限、求導(dǎo)數(shù)以及求積分這些內(nèi)容與國內(nèi)教材相比有明顯的差異.美國教材對(duì)這部分內(nèi)容的處理顯得比較費(fèi)時(shí)，且給人以支離破碎的感覺.

(ii) 美國教材大多不提無窮小的概念，不講無窮小的比較，這不僅使學(xué)生缺少了一種求極限的有效方法，而且造成諸多后續(xù)概念講解時(shí)的不方便.洛必達(dá)法則放到積分學(xué)后面才出現(xiàn)，不利于學(xué)生盡早完整掌握一元函數(shù)極限的求法并加以應(yīng)用.

(iii) 對(duì)定積分這一部分內(nèi)容的處理，美國教材往往會(huì)出現(xiàn)前后交叉、重復(fù)處較多的現(xiàn)象，從而顯得脈絡(luò)不清.在推導(dǎo)二重積分計(jì)算公式時(shí)，在講富必尼定理時(shí)是先講矩形區(qū)域而后推廣到一般區(qū)域，但也只用平行截面法說明定理結(jié)論，重復(fù)啰嗦而無關(guān)鍵性的證明.同時(shí)，美國教材一般不講三重積分的“切片法”.

在進(jìn)行新課前，學(xué)生已掌握了借貸記賬法的基本知識(shí)，本課的教法為任務(wù)驅(qū)動(dòng)法，學(xué)法為自主探究法、小組合作法。教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)為：知識(shí)目標(biāo)為理解會(huì)計(jì)分錄的概念以及種類，明確會(huì)計(jì)分錄的三要素；能力目標(biāo)是能夠熟練地對(duì)經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)進(jìn)行分析；德育目標(biāo)為感受小組合作學(xué)習(xí)的樂趣。

(iv) 對(duì)曲線、曲面積分這部分內(nèi)容，美國教材不明確區(qū)分兩種不同類型的曲線積分與曲面積分，不突出第二型曲線積分和曲面積分的數(shù)量函數(shù)表示形式，使得教和學(xué)都有一定的難度.

(v) 在常微分方程這部分內(nèi)容的處理方式上，美國教材沒有獨(dú)立成章，涉及的方程類型和解法少，對(duì)用到的理論也不作介紹.

(vi) 關(guān)于邏輯推理的訓(xùn)練偏少.以微分中值定理為例，美國教材[1]在處理這個(gè)問題時(shí)將較難證明的Fermat引理、Roll定理作簡(jiǎn)要說明，Cauchy定理是在洛必達(dá)法則一節(jié)中給出證明，在微分中值定理一節(jié)中，只給出Lagrange定理的證明，習(xí)題也只配了少量的證明題.

當(dāng)然，這些看起來的不足和中外不同的初等教育體系有關(guān)，也和中美的教學(xué)要求不同有關(guān).但是在國內(nèi)的土壤下，是不適合完全照搬這套教材的.不過，下面幾點(diǎn)還是可以拿來使用，是值得在今后編寫中文教材中借鑒的.

(i) 美國教材通過大量實(shí)例說明導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，給學(xué)生印象深刻；又將極值問題與較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模緊密結(jié)合，引進(jìn)大量有客觀實(shí)際背景的應(yīng)用問題，對(duì)提高學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力有幫助.

(ii) 美國教材要多一些向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其物理意義的介紹，突出等量線(面)、梯度等概念和向量值函數(shù)的應(yīng)用，突出對(duì)條件極值和拉格朗日乘子法的幾何解釋.突出了曲面的參數(shù)表示，緊密結(jié)合物理應(yīng)用，內(nèi)容、方法和術(shù)語都要現(xiàn)代一些.

(iii) 美國教材突出一階方程與定積分的內(nèi)在聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)建模和實(shí)際應(yīng)用，往往采取“以應(yīng)用帶出方程”的編寫方法，方程與實(shí)際背景的聯(lián)系比較緊密.

4應(yīng)用方面的比較

國內(nèi)教材中的應(yīng)用題選材無論是例題還是習(xí)題，基本上都只限于微積分在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，多年來變化很小，很少反映出現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，也很少有涉及其它領(lǐng)域的實(shí)例.

與國內(nèi)教材比較，國外教材的的一個(gè)突出特點(diǎn)是：無論是例題還是習(xí)題其應(yīng)用題選材內(nèi)容都比較廣泛、多樣、新穎，與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展聯(lián)系較緊密，且有很多涉及建筑、生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融、軍事、政治、社會(huì)發(fā)展等方面的例子，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和趣味性，容易吸引學(xué)生，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

5數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)軟件結(jié)合方面的比較

國內(nèi)現(xiàn)有教材有不少版本也開始有一些數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，包括軟件介紹，一些例題和習(xí)題.但從總體上看，仍顯得比較薄弱.與國外的很多教材相比有一定的差距.

國外教材中經(jīng)常穿插了大量的利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算、作圖或其它的一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或建模的問題，中間穿插了較多的圖片，這些圖片或用數(shù)學(xué)軟件制作，或來自于新聞圖片，精美漂亮，賞心悅目，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從一個(gè)方面感受到數(shù)學(xué)美.國外教材在數(shù)值計(jì)算方面編排的內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于國內(nèi)教材.

6習(xí)題配置方面的比較

國內(nèi)教材大多按章或按節(jié)配置了各種類型的豐富的習(xí)題，供學(xué)生練習(xí).這些習(xí)題大多由淺入深，循序漸進(jìn)，緊扣教學(xué)內(nèi)容，其中少數(shù)習(xí)題具有較高的技巧性和較強(qiáng)的綜合性，比較注重學(xué)生的推理論證和復(fù)雜計(jì)算能力，有一定難度.通過這些練習(xí)，確實(shí)有助于學(xué)生理解和掌握所學(xué)內(nèi)容.美國不同教材所配習(xí)題差異較大，大多數(shù)教材的習(xí)題量較大，且以基礎(chǔ)題為主，對(duì)技巧性和綜合性的要求不高.但同時(shí)美國部分教材在習(xí)題配置上有一些國內(nèi)教材不常有的亮點(diǎn)：

(i) 有時(shí)會(huì)將國內(nèi)教材中屬于正文的某些內(nèi)容編排在習(xí)題中，能夠啟發(fā)學(xué)生思考，利用在教材中學(xué)到的思想方法去解決教材中沒有直接解決的問題.

(ii) 習(xí)題中經(jīng)常會(huì)有一些簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算題和其它一些引領(lǐng)學(xué)生用各種電子設(shè)備完成的習(xí)題，與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)聯(lián)系較緊密.

(iii) 習(xí)題中的應(yīng)用題部分選材廣泛，往往涉及多個(gè)不同的領(lǐng)域，有些還需要學(xué)生具有將具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言敘述問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題，再用得到的結(jié)論去解釋實(shí)際問題的能力.這種類型的題目在國內(nèi)教材中比較少見.

(iv) 習(xí)題中有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)有啟發(fā)性和探索性的問題，認(rèn)真思考這些題目，或?qū)W(xué)生引入一個(gè)新的領(lǐng)域，開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的興趣；或引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題做更深入的探討與研究，使學(xué)生得到科研工作的基礎(chǔ)訓(xùn)練.

7啟示與建議

通過對(duì)中美教材的多角度比較，我們應(yīng)當(dāng)在保持現(xiàn)有教材體系的優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，積極借鑒美國教材多年改革積累的新經(jīng)驗(yàn)新亮點(diǎn)，為我所用.

(i) 在概念和定理引入時(shí)或更多的介紹其歷史和背景，或利用圖形演示和數(shù)值模擬，使抽象的概念或推理論證過程變得更加直觀，更加易于理解，增加教材的可讀性.同時(shí)配置一些具有啟發(fā)性和探究性的習(xí)題.

(ii) 在教材中適當(dāng)增加一些來源于多個(gè)領(lǐng)域的各種簡(jiǎn)單而有趣的數(shù)學(xué)建模的材料，更加突出應(yīng)用，同時(shí)增加教材的趣味性.

(iii) 減少教材編寫中的制約因素的影響，鼓勵(lì)出版適應(yīng)各種不同層次需要、各具鮮明個(gè)性和特色的教材.

博采眾長(zhǎng)同時(shí)面面俱到是不現(xiàn)實(shí)的，一種方式可能在這種框架下是好的方式，但是在另一種框架下就顯得不倫不類.我們現(xiàn)在能做到的是在現(xiàn)有框架下，在原有教材的基礎(chǔ)上，吸收美國教材中好的并且適用我們的方面為我所用，編寫出適合我國現(xiàn)有教育體系下的微積分教材.目前已經(jīng)編寫好一本這樣的教材，當(dāng)然，更希望在今后的實(shí)踐中更加有所改進(jìn).

[參考文獻(xiàn)]

[1]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. Calculus[M] . 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

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[3]George B. Thomas. Jr，Ross L. Finney, Maurice D. Weir. Calculus and Analytic Geometry[M]. Addison-Wesley Publishing Company, 1996.

[4]羅慶來, 宋柏生. 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)、下冊(cè))[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[5]郭鏡明，朱曉平, 應(yīng)明. 交流互補(bǔ)融合提高-中美微積分教材比較[J]. 高等數(shù)學(xué)研究[J], 2006,9(1)：6-10.

The Comparison of Two Calculus Teaching Materials with Ideas

CHENWen-yan,MAHong-lv

(Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 211189, China)

Abstract:This paper concerns on the comparisons of the calculus in the college textbook between China and America, mainly focusing on the main content, application, exercises, combination with computer. Through the analysis, we provide some idea on the reformation to calculus textbook.

Key words: calculus; teaching material; comparison; analysis