王 青

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

教學(xué)研究

電磁學(xué)與電動力學(xué)中的磁單極—Ⅲ

王 青

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

本文為作者磁單極系列文章的第3篇，該系列文章在電磁學(xué)和電動力學(xué)框架內(nèi)用盡量科普的方式分別介紹磁單極的若干奇特性質(zhì). 在本篇文章中作者通過一個(gè)實(shí)例顯示有磁單極存在的點(diǎn)電荷系統(tǒng)的作用量涉及磁單極的部分在物理區(qū)域是不存在的，但在以物理區(qū)域?yàn)檫吔绲母呔S非物理區(qū)域可以存在,考慮量子力學(xué)則要求點(diǎn)電荷必須是量子化的.

磁單極;最小作用量;高維;全息;電荷量子化

本文是在電磁學(xué)和電動力學(xué)中講解磁單極奇妙性質(zhì)的第3篇文章.在前2篇文章[1,2]中分別介紹了磁單極在角動量方面的角色和作用，以及狄拉克磁單極及其與規(guī)范變換的關(guān)系;在本文中介紹磁單極在最小作用量原理中所起的特殊作用.本篇內(nèi)容安排如下: 第1節(jié)通過幾個(gè)具體例子介紹最小作用量；然后在第2節(jié)提出本文所主要關(guān)心的作用量是否存在的問題，并在第1節(jié)討論的一個(gè)例子中證明加進(jìn)磁單極將導(dǎo)致這個(gè)體系的作用量不再存在；最后在第3節(jié)討論作用量不存在會給我們什么深刻的啟示.

1 最小作用量原理

對物理系統(tǒng)人們總是選擇一些坐標(biāo)(一般地叫廣義坐標(biāo)，第i個(gè)坐標(biāo)經(jīng)常被記為qi(t))用其隨時(shí)間的變化行為來描述體系隨時(shí)間的演化.例如一個(gè)質(zhì)點(diǎn)我們用它在空間坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)構(gòu)成的矢量r(t)來描寫，對電磁場則用每個(gè)空間點(diǎn)的標(biāo)量勢φ(r,t)和矢量勢A(r,t)來描寫，等等.在經(jīng)典物理學(xué)中，這些坐標(biāo)滿足某個(gè)對時(shí)間的二階微分方程，如自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)滿足，

這些關(guān)于時(shí)間的微分方程通常叫體系的運(yùn)動方程，給它們加上初始條件(一般是初始的坐標(biāo)和速度值，對像電磁場這樣的具有無窮多自由度的體系通常還要補(bǔ)充相應(yīng)的邊界條件)就完全把體系坐標(biāo)隨時(shí)間的變化行為唯一地確定下來.這種用微分方程加初始條件確定體系運(yùn)動規(guī)律的方式是日常描述一個(gè)體系的習(xí)慣和標(biāo)準(zhǔn)的做法.它不僅適用于物理體系，世上很多其他系統(tǒng)諸如經(jīng)濟(jì)運(yùn)轉(zhuǎn)，人口變化等只要有確定的隨時(shí)間變化的描寫變量的體系,原則上都可以采用此類方式來描述.探尋和理解這些體系隨時(shí)間演化的規(guī)律因此轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ液徒忉尀槭裁催@些體系會選擇如此樣子的運(yùn)動方程.至少在眾多可能候選的微分方程中，對某個(gè)確定的體系為什么選擇某種特定的方程一下子是看不出來的.

最小作用量原理不用微分方程而用極值原理來描寫一個(gè)體系隨時(shí)間演化的規(guī)律.它的表述是: 對每一個(gè)物理體系都存在一個(gè)由其廣義坐標(biāo)及其微商構(gòu)造的泛函；這個(gè)體系的實(shí)際運(yùn)動總是使這個(gè)泛函取極小值.例如對前面提到的自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，最小作用量原理就說此體系存在一個(gè)拉格朗日量L，

其中積分的上下限分別為粒子運(yùn)動的起始和終了時(shí)刻.不難證明，讓式(3)取極值即可得到由式(1)給出的微分方程.

進(jìn)一步如果這個(gè)粒子帶電荷q，并且在由標(biāo)量勢φ和矢量勢A描寫的外電磁場中運(yùn)動，則體系的拉格朗日量變?yōu)?/p>

把式(4)代入式(3)再求極值即可得到點(diǎn)電荷的運(yùn)動方程

在式(5)中進(jìn)一步定義

我們發(fā)現(xiàn)此點(diǎn)電荷所受的力就是通常的洛倫茲力.

如果此帶電粒子不在外電磁場中運(yùn)動(因而拉氏量式(4)中沒有與標(biāo)量勢φ和矢量勢A相關(guān)的項(xiàng))，而被限制在一個(gè)半徑為單位長度(r=1)的一個(gè)球面上運(yùn)動(如圖1所示).

圖1 約束在球面上的質(zhì)點(diǎn)

這個(gè)體系的作用量應(yīng)該就是把式(2)代入式(3)得到的結(jié)果，只不過在求極值時(shí)要額外考慮到約束條件.數(shù)學(xué)上有一個(gè)拉氏乘子方法可以避免在求極值時(shí)再考慮約束條件，只要把約束方程乘以一個(gè)獨(dú)立參數(shù)λ加進(jìn)拉格朗日量即可，即

由此代入式(3)并對坐標(biāo)求極值得到運(yùn)動方程:

方程右邊是對應(yīng)把質(zhì)點(diǎn)約束在球面上所需要的力，其中存在一個(gè)未知參數(shù)λ.為確定它，將約束條件(它可以通過把式(7)代入式(3)并對參數(shù)λ求極值得到)對時(shí)間求2次導(dǎo)數(shù)，得到

從以上幾個(gè)例子可以看到對我們熟知的粒子運(yùn)動(如前面討論的自由質(zhì)點(diǎn)和在外電磁場中的帶電點(diǎn)粒子)都可以找到相應(yīng)的作用量，其運(yùn)動方程是對作用量求極值的導(dǎo)出物，而不是原始理論計(jì)算的出發(fā)點(diǎn).甚至對有約束的系統(tǒng)，其運(yùn)動方程也可被看作是作用量極值的產(chǎn)物.由此可以把原來

這個(gè)方程也叫拉格朗日方程，它在原來微分方程體系中被作為體系原始出發(fā)點(diǎn)的第一原理.

2 作用量的存在性

既然最小作用量原理可以替代運(yùn)動方程作為第一原理，那么要描述任意一個(gè)體系隨時(shí)間的演化規(guī)律，只需找到其相應(yīng)的作用量即可.這里可能會有一個(gè)問題:是否對任意一個(gè)系統(tǒng)都存在有相應(yīng)的作用量？為了方便，姑且假設(shè)這個(gè)體系隨時(shí)間的演化是可以用微分方程來描寫的，這個(gè)體系不一定非得是物理體系.或者換句話說，是否任何一組微分方程(假設(shè)它描述某個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間演化規(guī)律)都可化成為方程(11)的形式？如果可以就意味著存在拉格朗日量，因此由式(3)也就存在作用量.這個(gè)問題看起來有點(diǎn)數(shù)學(xué)化，因?yàn)樽饔昧孔鳛橐粋€(gè)數(shù)學(xué)量(而不是物理實(shí)體)，其存在性的討論似乎應(yīng)屬于數(shù)學(xué)的范疇.如果對此問題的回答是肯定的，那就意味著任何一個(gè)微分方程都等價(jià)于一個(gè)極值問題，對有確定規(guī)律(也就是存在微分方程描述)的體系的看法就都等價(jià)于其存在某種極值，因而最小作用量原理升格成放之四海而皆準(zhǔn)的普世原則，那好像挺不錯的.如果對此問題的回答是否定的，那就比較奇怪了.因?yàn)槲覀兯熘奈锢硐到y(tǒng)基本都是具有作用量的，如果某個(gè)特定體系作用量真不存在，它一定十分有別于我們熟知的系統(tǒng)，那里也許應(yīng)該有什么奇異的事情發(fā)生……?

筆者的學(xué)生很多年前在南開大學(xué)開會時(shí)有幸問過陳省身先生此問題，回答是否定的，陳先生還說了一堆學(xué)生無法聽懂的理由.學(xué)生最后反饋回來說只是了解到如果體系有某種特別的性質(zhì)好像是某種對稱性，就會有運(yùn)動方程存在而作用量不存在的現(xiàn)象.鑒于此信息，筆者當(dāng)時(shí)的理解是: 那些不存在作用量的體系很可能是一些十分怪異的純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，所有物理體系都應(yīng)該存在作用量.如果是這樣，即使找到不存在作用量的體系也與物理無關(guān)，因而對我們做物理研究不會有什么影響.后來某天讀到獲得菲爾茲獎的知名物理學(xué)家E.Witten的著名文章[3]，才發(fā)現(xiàn)原來在物理體系里也存在這樣的系統(tǒng)，作用量在其中不存在！本文以下的大部分討論都來自Witten的文章，我們略去了量子場論的復(fù)雜討論而只局限在電磁學(xué)和電動力學(xué)的范圍內(nèi)進(jìn)行討論.

選擇合適的磁荷單位可以使這個(gè)磁單極產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

注意在球面上的質(zhì)點(diǎn)帶電荷q，在其作受限運(yùn)動的球面上，原來的運(yùn)動方程式(10)中現(xiàn)在還應(yīng)包括洛倫茲力的貢獻(xiàn)，即

其中使用了約束條件r2=1.式(13)是描述限制在單位球面上帶電荷q質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，方程右邊第一項(xiàng)是把質(zhì)點(diǎn)約束在球面上的約束力，第二項(xiàng)是磁單極場產(chǎn)生的洛倫茲力.現(xiàn)在對這個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)動方程有了，是否存在作用量？

且慢！有些仔細(xì)的讀者會說，不對呀！對在外電磁場中運(yùn)動的帶電粒子，你不是在式(4)中給出了一個(gè)拉格朗日量，怎么能說不存在拉格朗日量呢？ 只要把式(4)給出的反映外電磁場的項(xiàng)-qφ+q·A寫出來不就是了嗎? 我們看看真把這項(xiàng)寫出來會咋樣.對第1項(xiàng)，磁單極不會產(chǎn)生標(biāo)量勢因而它恒為零；對第2項(xiàng)需要寫下磁單極所貢獻(xiàn)的矢量勢，但如本系列第2篇文章[2]所討論的，對磁單極來說矢量勢是奇異的，或者說它無法在全空間很好地定義.或者再明確一點(diǎn)地說式(12)給出的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足方程▽·B=δ(r)，其中等號右邊是反映具有單位磁荷的磁單極的磁荷密度的δ函數(shù).而另一方面由矢量勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系B=▽×A，可以得到▽·B=0.這明顯和前面具有磁單極的式子相互沖突，唯一的可能性是矢量勢在一些地方?jīng)]有很好地定義，導(dǎo)致公式B=▽×A不在全空間處處適用.事實(shí)上，如果強(qiáng)行要求矢量勢在全空間處處可微，則會導(dǎo)出一些極為奇怪的結(jié)果，例如這時(shí)可以利用著名的亥姆霍茲定理(這個(gè)關(guān)系實(shí)際上是一個(gè)恒等式，如果不熟悉它可以跳過下面的兩組式子直接閱讀其后的內(nèi)容)

其中第1項(xiàng)通常叫矢量勢的縱場部分，它可以通過在本系列第2篇文章[2]中重點(diǎn)研究的規(guī)范變換給完全變換掉因而為零；第2項(xiàng)叫矢量勢的橫場部分，下面證明對式(12)給出的磁單極它也為零，

因此假設(shè)矢量勢在空間處處可微，結(jié)合規(guī)范變換得到式(12)給出的磁單極的矢量勢在空間可以處處為零.

以這樣看，即使按照式(4)強(qiáng)行寫下一個(gè)拉格朗日量并代入式(3)給出相應(yīng)的作用量，這個(gè)作用量也是有奇異沒能很好定義的作用量.更準(zhǔn)確的陳述應(yīng)該是: 對這個(gè)系統(tǒng)全空間很好定義的作用量不存在！進(jìn)一步，由于我們已經(jīng)把討論的體系限制在了單位半徑的球面上，這時(shí)實(shí)際上并不真正要求矢量勢在全空間都有很好的定義，而只要求其在球面上有很好的定義就可以了.遺憾的是，即使這樣退而求其次的要求也是達(dá)不到的，因?yàn)樗沟孟旅嬖谇蛎嫔系拿娣e分產(chǎn)生矛盾的結(jié)果:

其中第一個(gè)等號成立是因?yàn)榘凑崭窳止酱说忍栍疫叺姆e分應(yīng)該等于在積分曲面的邊界曲線上曲線積分，而目前由于是封閉曲面，沒有邊界曲線或者說邊界曲線的長度為零(可以看成是一個(gè)縮小為一個(gè)點(diǎn)的邊界)，因而在邊界上的曲線積分為零.在第4個(gè)等號后我們應(yīng)用了此磁場是來自于位于球心的磁單極的條件.從上面結(jié)果看即使在這簡化了的球面上，矢量勢仍是無法很好定義的，因而用勢定義的作用量在球面上似乎仍是不存在的！如前所述，這樣的事情發(fā)生一定意味著有什么更深刻的內(nèi)涵.請見下節(jié)的討論.

3 出現(xiàn)磁單極導(dǎo)致不存在作用量體系的啟示

上節(jié)討論了一個(gè)在球心具有單位磁荷的磁單極、限制在單位球面上電荷q質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，對此質(zhì)點(diǎn)來說它的運(yùn)動范圍被限制在三維空間的一個(gè)二維球面上，它自己的運(yùn)動實(shí)際上是這個(gè)二維球面上的一條曲線，即它的實(shí)際運(yùn)動軌跡是一維的，具體運(yùn)動軌跡由方程(13)決定.我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)的作用量是不存在的，如果非要強(qiáng)行寫下來它的作用量應(yīng)該是

它由于矢量勢無法定義因而也是沒有很好定義的.既然此系統(tǒng)作用量不存在，它一定會有某些特別之處，深度挖掘也許會給我們有價(jià)值的啟示.首先注意到作用量式(14)實(shí)際并未涉及所討論的球面的全部，而只是球面上涉及質(zhì)點(diǎn)所走過的曲線.因此由上節(jié)中證明的矢量勢在整個(gè)球面上沒有很好的定義，所導(dǎo)出的作用量沒有很好的定義實(shí)際上并不真的發(fā)生在整個(gè)球面上，而只是在球面上質(zhì)點(diǎn)所走過的曲線上沒有很好定義.

為了能繼續(xù)深入下去，考慮一個(gè)子情形: 其中粒子在球面上走了一個(gè)閉合回路γ，也就是r(t初始)=r(t結(jié)尾),具體如圖2所示.

圖2 在球心有磁單極的單位球面上的帶電質(zhì)點(diǎn)走過了閉合回路γ

由于粒子走的是閉合路徑，這個(gè)回路γ就把球面分割成為D和D′兩個(gè)區(qū)域.而作用量中出問題的涉及磁單極貢獻(xiàn)的矢量勢的最關(guān)鍵項(xiàng)可以寫為

其中由于r(t初始)=r(t結(jié)尾) ，積分變成一個(gè)回路積分，因而可以利用格林積分公式把在回路γ上的曲線積分轉(zhuǎn)化為回路所包圍的表面D上的曲面積分，而被積函數(shù)相應(yīng)地轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶繄龅男?也就是磁感應(yīng)強(qiáng)度.雖然矢量勢是奇異的，但最后結(jié)果并不依賴它，而只依賴一個(gè)沒有奇異被很好定義的磁感應(yīng)強(qiáng)度.把式(15)代回式(14)，發(fā)現(xiàn)對粒子走一個(gè)回路的情形，作用量不是不存在或不能很好定義的，而是存在且能很好定義的量，

代價(jià)是此質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的描述不再只局限在它所運(yùn)動的路徑γ上了，它與磁單極相關(guān)的部分必須被擴(kuò)充到它所沒走過的區(qū)域D，而γ只是D的邊界.從這個(gè)角度看，在球面上，雖然矢量勢沒有很好定義，但作用量確能夠很好定義，只不過是超出了質(zhì)點(diǎn)所走的路徑.如何理解這個(gè)結(jié)果？

首先，作用量按其原始定義都只存在于坐標(biāo)所經(jīng)歷的區(qū)域，對粒子來說就是在它所走過的路徑上，此路徑對目前的系統(tǒng)是一維的.超出這個(gè)區(qū)域意味著要用非坐標(biāo)所經(jīng)歷的區(qū)域(姑且把它定義為非物理區(qū)，對應(yīng)坐標(biāo)經(jīng)歷的區(qū)域叫物理區(qū))的東西來表征在物理區(qū)里所展示的物理，對目前的系統(tǒng)就是要用延展到粒子所沒走過的二維表面D上的磁場來表征在軌道γ上運(yùn)動的粒子涉及磁單極部分的作用量.這隱含了兩層意思: 對涉及磁單極部分的作用量，一是物理區(qū)域(目前即為粒子所走的路徑)自己在作用量層面上已經(jīng)無法有效地描述自己的運(yùn)動了(體現(xiàn)為作用量不存在)，非需要非物理區(qū)域(目前就是粒子足跡未曾踏及的區(qū)域D)的某些東西的介入.再有就是在目前系統(tǒng)從物理區(qū)域到非物理區(qū)域涉及了空間維數(shù)的升高，

原本物理一維曲線上的事務(wù)現(xiàn)在需要在非物理的二維曲面上辦理才可以.

再有在目前這個(gè)系統(tǒng)中，對涉及磁單極部分的作用量，這個(gè)一維不存在作用量的區(qū)域和二維存在作用量的區(qū)域的聯(lián)系是，一維物理區(qū)域是二維非物理區(qū)域的邊界，這體現(xiàn)了某種全息性: 二維不可觀察(也就是粒子沒有踏及)的非物理區(qū)的信息全都最后以實(shí)際的粒子運(yùn)動展現(xiàn)在了一維可觀察(粒子真實(shí)走過)的物理區(qū)內(nèi)，即大范圍區(qū)域的信息在小范圍區(qū)域展示.到此為止，好像我們被啟發(fā)了一些似是而非的“洞見”.這些結(jié)果在當(dāng)今量子場論最前沿的進(jìn)展中有進(jìn)一步的發(fā)展，我們不在這里介紹.

故事還不止于此，注意到在圖2中D和D′兩個(gè)區(qū)域?qū)嶋H上是對稱的，在應(yīng)用格林公式時(shí)結(jié)果既可表達(dá)在D上，也可表達(dá)在D′上，表達(dá)式由于回路正方向和曲面法向相同或相反會導(dǎo)致相差一個(gè)負(fù)號.這兩個(gè)區(qū)域的結(jié)合會導(dǎo)致更奇葩的結(jié)果.首先利用

這實(shí)際上是磁場的高斯定理，它把在區(qū)域D上的磁單極所產(chǎn)生的磁通量與在D′上的磁通量關(guān)聯(lián)起來了，

這樣又得到在第一篇文章[1]中所得到的電荷量子化條件.我們發(fā)現(xiàn)只要涉及磁單極和量子力學(xué)，電荷就要量子化！

4 結(jié)語

磁單極存在導(dǎo)致在物理區(qū)域不存在的涉及磁單極的作用量可以在延拓到以物理區(qū)域作為邊界的高維非物理區(qū)域存在，并且考慮到量子力學(xué)則要求電荷是量子化的.

[1] 王青.電磁學(xué)與電動力學(xué)中的磁單極——I[J]. 物理與工程，2013，23(6): 8-11.

[2] 王青.電磁學(xué)與電動力學(xué)中的磁單極——II[J]. 物理與工程，2013，24(5): 29-33.

[3] Witten Edward. Global aspects of current algebra [J]. Nucl Phys, 1983, B223: 422-432.

祝賀張曉光教授榮獲“北京高校教學(xué)名師獎”

近日，北京郵電大學(xué)理學(xué)院張曉光教授被評選為“第十一屆北京市高等學(xué)校教學(xué)名師”.作為基礎(chǔ)物理教師和光纖通信專家，他將基礎(chǔ)物理教學(xué)工作與光纖通信科研工作完美結(jié)合，走出了一條教學(xué)與科研相互促進(jìn)，教學(xué)成果與科研成果雙豐收的學(xué)術(shù)之路.

張曉光教授1994年和1996年在我刊發(fā)表《普通物理教材中氦氖能級圖的一些問題》和《利用波疊加觀點(diǎn)討論光波導(dǎo)模式的物理意義》；今年還應(yīng)編輯部特約在第3期發(fā)表2015國際光年專題文章之一《光纖偏振控制研究：從理論和實(shí)驗(yàn)到應(yīng)用》，同期彩頁上還發(fā)表了《風(fēng)采實(shí)錄：張曉光教授和他的教學(xué)與科研并重之路》.

《物理與工程》編輯部

MAGNETIC MONOPOLE IN ELECTROMAGNETISM AND ELECTRODYNAMICS—Ⅲ

Wang Qing

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)

This is the third paper in the series of magnetic monopole. These series include four individual papers. They discover some peculiar properties of magnetic monopole which will be introduced as popular science in the frameworks of electromagnetism and electrodynamics. In this particular paper, we use an example to illustrate the presence of a magnetic monopole and the action relate to magnetic monopole do not exist in the physical region for a point charge system, however it can exist in a higher dimension non-physical region where the physical region is the boundary of non-physical region. Also, the charge is quantized if we put quantum mechanics into consideration.

magnetic monopole; least action; high dimension; holography; charge quantization

2015-05-21

王青，男，教授，主要從事理論物理的科研和教學(xué)工作，研究方向?yàn)榱孔訄稣撆c基本粒子理論.wangq@mail.tsinghua.edu.cn