李萍

摘 要：在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常遇到不同類型的幾何證明題，我們可以利用初等幾何的有關(guān)定義、定理來處理，但技巧性比較強(qiáng).如果采用解析法，可以使問題的思路清晰簡(jiǎn)單，它的優(yōu)點(diǎn)是解決問題具有一般性和程序性.

關(guān)鍵詞：解析法；幾何問題；證明

一、平面幾何解析法的基本證明

平面幾何中，有一些基本結(jié)論，許多人知道，但不知道結(jié)論是如何來的。我們可以用解析法來證明。

例1.證明：三角形的三條高交于一點(diǎn)。

已知：AD，BE，CF分別是△ABC的三邊上的高。

即證明：（x3y2-x2y3）·（y4-y1）=-（x1y4-x4y1）·（y2-y3）

將上式整理得：y3y4（x1+x2）+y1y2（x3+x4）=x1y2y4+x2y1y3+x3y2y4+x4y1y3

注意到：y1=mx1，y2=mx2；y3=nx3；y3=nx4，代入整式得：

左邊=m2x1x2（x3+x4）+n2x3x4（x1+x2），右邊mnx1x2（x3+x4）+x3x4（x1+x2）

把上述韋達(dá)定理的結(jié)論代入得：

可見：左邊=右邊，故xQ=-xP，即AP=AQ。

三、平面幾何解析法的參數(shù)證明

例4.已知如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F.求證：∠DEN=∠F。

分析：如圖4，建立坐標(biāo)。

總體思路：設(shè)點(diǎn)A、B、C、D坐標(biāo)后，求出直線AD、MN、BC的斜率，從而求出兩個(gè)角度的正切值，證明這兩個(gè)角度的正切值相等即可。

問題的關(guān)鍵是：如何設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)更方便？由已知條件AD=BC，而C、D兩點(diǎn)是相互獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的，故把點(diǎn)C、D看作是圓周上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)AD=BC=r，則C點(diǎn)可以看作是以B為圓心，r為半徑的圓周上的動(dòng)點(diǎn)，類似看待D點(diǎn)，故，設(shè)C（a+rcosθ，rsinθ）、D（-a+rcosθ，rsinθ），

四、平面幾何解析法的延伸證明

證三點(diǎn)共線，常用的方法有：（1）先建立過兩點(diǎn)的直線方程，再驗(yàn)證第三點(diǎn)也適合這個(gè)方程；（2）若能證得kAB=kBC，則A，B，C三點(diǎn)共線；（3）點(diǎn)Ai（Xi，Yi）（i=1，2，3）共線的充要條件為x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0。

證明三線共點(diǎn)，常用的方法有：（1）利用定比分點(diǎn)公式，分別求出三條線上某分點(diǎn)坐標(biāo)，若求得相同，因直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，故三線共點(diǎn)，（2）三條互不平行直線li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）若A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3=0，則l1，l2，l3相交于一點(diǎn)。

證明諸點(diǎn)共圓，可先求出有關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式證這點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離相等；也可先建立過三點(diǎn)的圓的方程，再證其余點(diǎn)適合圓的方程。

分析：以AD，AB為坐標(biāo)軸，引進(jìn)直角坐標(biāo)系，因A、B、C、D各點(diǎn)坐標(biāo)為已知，故可求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)然后求出直線AE，BF的方程，它們的交點(diǎn)M坐標(biāo)由此可求出，最后把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入正方形ABCD的外接圓方程，即可得證。

從以上可以看出，解析法證明平面幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于解決幾何問題時(shí)有一個(gè)比較固定的思考步驟，思路較明顯.由一系列的運(yùn)算與推理即可得到證明的結(jié)果。實(shí)現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化，而這不正是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)嗎？

參考文獻(xiàn)：

茹雙林.解析法證明平面幾何問題[J].中等數(shù)學(xué)，1997（03）.

編輯 鄭 淼