張端金，汪愛娟

(鄭州大學 信息工程學院，河南 鄭州 450001)

基于改進的小波核主元分析故障檢測

張端金，汪愛娟

(鄭州大學 信息工程學院，河南 鄭州 450001)

研究了基于核主元分析的非線性系統(tǒng)故障檢測問題.提出了一種改進的小波核主元分析的故障檢測方法.該方法首先對數(shù)據(jù)進行小波去噪預(yù)處理，然后再利用小波核函數(shù)，將非線性的輸入空間轉(zhuǎn)換到線性特征空間.在特征空間使用主元分析，結(jié)合SPE統(tǒng)計量和T2統(tǒng)計量對非線性系統(tǒng)進行故障檢測.仿真結(jié)果表明：該方法能夠提高故障檢測性能.

核主元分析；小波核函數(shù)；小波去噪；故障檢測

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)和科學技術(shù)的飛速發(fā)展，設(shè)備的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜化.系統(tǒng)的安全性和可靠性對人類社會產(chǎn)生巨大影響.因而，對這類系統(tǒng)進行故障檢測設(shè)計具有重大的現(xiàn)實意義.

近年來，多變量過程控制技術(shù)得到了很大的發(fā)展，取得很多成果.Chan等[1]提出了基于特征值分解的改進PCA故障檢測方法，馬賀賀等[2]利用高階統(tǒng)計量來獲取過程信息，提出了一種新的統(tǒng)計量核主元分析方法，故障檢測.郭珂[3]提出了一種小波核函數(shù)用于故障檢測，但是沒有對采集數(shù)據(jù)進行預(yù)處理.陳亮等[4]采用多項式核函數(shù)對非線性系統(tǒng)故障進行檢測，對數(shù)據(jù)預(yù)先進行了小波去噪處理，提高了故障檢測性能.倪國文[5]提出了PCA本身就是一種去噪方法，自身實現(xiàn)了數(shù)據(jù)預(yù)處理，達到了很好的檢測效果.

綜上，文獻中還沒有用到小波核函數(shù)和小波去噪結(jié)合起來進行故障檢測的方法.基于此，筆者提出了一種新的非線性故障檢測方法.利用小波核函數(shù)和小波去噪相結(jié)合的方法進行故障檢測.并通過算例仿真，驗證了該方法的有效性.

1 小波分析

采集到的數(shù)據(jù)包含噪聲，直接利用這些受噪聲干擾的數(shù)據(jù)進行故障檢測，必然會影響故障檢測的準確性.因此，在進行故障檢測之前對數(shù)據(jù)進行去噪處理是必要的.

小波變換是時間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息.通過伸縮和平移運算可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多困難問題.

2 基于小波核主元分析故障檢測

小波核主元分析方法在故障檢測中能夠很好地提取系統(tǒng)中的非線性特征信息，減少重要信息的丟失.因此，該方法可以提高故障檢測的準確率，大大減少誤報和漏報率，具有很好的非線性故障檢測能力.

2.1 小波核主元分析

由Scholkopf[6]提出的核主元分析能夠彌補主元分析在處理非線性系統(tǒng)方面的缺陷，很好地捕捉非線性系統(tǒng)的特征信息.

已知采樣數(shù)據(jù)Xn×m=[x1,x2,…,xn](xi∈Rm,i=1,2,…,n)，n為采樣點數(shù)，m為變量個數(shù).將采樣數(shù)據(jù)通過非線性變換φ，影射到高維特空間征，再利用主元分析法，結(jié)合SPE統(tǒng)計量和T2統(tǒng)計量進行故障檢測.

在特征空間中，假設(shè)φ(xi),i=1,2,…,n已經(jīng)過中心化處理，采樣協(xié)方差矩陣可以表示為

(1)

通過確定C的特征向量ν就可以獲得特征空間中的主元.

λν=Cν.

(2)

在λ≠0的條件下，ν的所有解都可以由φ(xi),i=1,2,…,n表示，即

(3)

因此，式(2)可以表示為

λ<φ(xk),ν>=<φ(xk),Cν>.

(4)

由式(3)和式(4)得

(5)

小波函數(shù)如下所示：

(6)

把上式看做一個母小波，如果x,x′∈Rn，那么小波核函數(shù)為

(7)

具體的證明過程詳見文獻[2].

定義一個小波核矩陣K，如下所示：

[K]ij=K(xi,xj)=<φ(xi),φ(xj)>.

(8)

式中：K(xi,xj)是在特征空間中利用核函數(shù)計算兩個向量的內(nèi)積.

把式(5)代入式(8)中，可以得到

nλα=Kα.

(9)

其中，α=[α1,α2,…,αn]T，式(9)的求解問題和在特征空間中進行主元分析是等價的.

令λ(λ1≥λ2≥…λn)為K的特征值，那么α=[α1,α2,…,αn]T為對應(yīng)的特征向量.對特征向量ν進行歸一化

<νk,νk>=1.

(10)

由式(3)可得

λk<αk,αk>=1.

(11)

那么任何一個樣本向量x在特征空間中的第k個主元計算為

(12)

在特征空間中進行主元分析之前，先對矩陣K進行標準化處理，因為假設(shè)特征空間中數(shù)據(jù)的均值是零，而實際運算用到的是核矩陣K，所以要對它進行如下標準化處理.具體推導(dǎo)過程詳見文獻[7].

(13)

2.2 故障檢測

T2統(tǒng)計量的定義為

T2=[t1,t2,t3…tk]Λ-1[t1,t2,t3…tk]T.

(14)

如果樣本的均值和協(xié)方差分別與建模樣本的均值和協(xié)方差相等，則T2統(tǒng)計量服從自由度為K的χ2分布.如果給定顯著性水平α，那么T2統(tǒng)計量的控制限由下式計算

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(15)

如果樣本的協(xié)方差未知，而是通過建模樣本的協(xié)方差矩陣來估計時，T2統(tǒng)計量服從自由度為k和n-k的F分布，n是樣本點數(shù).T2統(tǒng)計量的控制限由下式計算.

(16)

在正常情況下，T2統(tǒng)計量的值應(yīng)處于該控制限之內(nèi)，出現(xiàn)故障時，統(tǒng)計量會超出控制限.

SPE統(tǒng)計量的定義為

(17)

SPE=eeT.

(18)

給定顯著性水平為α，計算SPE統(tǒng)計量的控制限為

(19)

對新的采樣數(shù)據(jù)進行故障檢測時，建立檢測統(tǒng)計量指標進行假設(shè)檢驗，通過計算檢測統(tǒng)計量是否超過控制限，來判斷故障是否發(fā)生.

改進的算法步驟如下.

(1)采樣得到正常無故障樣本X，并標準化.然后用db5小波對X中的每一列數(shù)據(jù)去噪；

(2)選擇小波核函數(shù)做非線性映射，計算核矩陣K∈Rn×n，Kij=K(xi,xj)=<φ(xi),φ(xj)>，n為采樣點數(shù)；

(6)計算T2和SPE控制限；

以上步驟是正常無故障數(shù)據(jù)的建模模型.

(8)計算新的統(tǒng)計量，檢測是否超出控制限.

3 仿真研究

以如下典型的非線性系統(tǒng)[8]為研究對象.

(20)

其中，e1，e2和e3為服從均值為零，方差為0.01的正態(tài)獨立噪聲變量，t∈[0.01,2].取400個無故障數(shù)據(jù)采樣點，建立KPCA故障檢測模型，然后取200個有故障數(shù)據(jù)采樣點，在第160個采樣點引入均值為0.5的偏差故障.本仿真系統(tǒng)采用小波核函數(shù)，kw(x,x′)=(1-(‖x-x′‖2/α))exp(-(‖x-x′‖2/α))，α=45.所得結(jié)果如圖1和圖2所示，結(jié)合SPE和T2統(tǒng)計量，橫線代表99%的控制限，超出紅線為故障數(shù)據(jù)點，橫線以下為正常數(shù)據(jù)點.據(jù)此，能判斷出系統(tǒng)是否發(fā)生故障.

在圖1和圖2中，T2統(tǒng)計量的仿真圖形變化趨勢基本一致，在1～159個采樣點之間均沒有超出控制限制，代表采樣信號在主元空間沒有發(fā)生偏移，160～200個采樣點之間超出控制限，代表采樣信號在主元空間發(fā)生了偏移，出現(xiàn)了故障.圖1中，SPE統(tǒng)計量的仿真圖，1～159是正常數(shù)據(jù)點，但超過99%控制限的數(shù)據(jù)點有12個，誤報率為7.55%.圖2中，SPE統(tǒng)計量的仿真圖，1～159是正常數(shù)據(jù)點，但超過99%控制限的數(shù)據(jù)點有2個，誤報率為1.26%.圖1采用的是marr小波核，

圖1 小波核主元分析檢測結(jié)果Fig.1 Detection results of wavelet kernel principal analysis

圖2 改進的小波核主元分析檢測結(jié)果Fig.2 Detection faults of the improved wavelet kernel principal analysis

沒有進行去噪處理.圖2采用的是marr小波核，小波去噪用的是db5小波.核參數(shù)取45.圖1比圖2的誤報率高，原因是采集到的數(shù)據(jù)包含噪聲，直接利用這些受噪聲干擾的數(shù)據(jù)進行故障檢測，必然會影響故障檢測的準確性.由此可見，采用小波去噪對數(shù)據(jù)進行處理，減小了噪聲對故障檢測的影響，降低誤報率，提高檢測性能.

4 結(jié)論

筆者給出了小波核函數(shù)和小波去噪相結(jié)合的故障檢測方法.首先，對采樣數(shù)據(jù)利用小波去噪進行預(yù)處理，提高了建立模型的準確性.然后利用小波核主元分析進行故障檢測，大大提高了故障檢測率.通過算例仿真，驗證了該方法的有效性.

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Fault Detection Based on Improved Wavelet Kernel Principal Component Analysis

ZHANG Duan-jin, WANG Ai-juan

(School of Information Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

The problem of fault detection for a class of nonlinear systems based on kernel principal component analysis is studied. The improved wavelet kernel principal component analysis is proposed. Firstly, the proposed method is applied to denose the data. Then, the preprocessed data is transformed by wavelet kernel function to map the nonlinear input space into linear characterization space. In the feature space, principal component analysis is applied to detect faults for nonlinear system, in combination with SPE statistic and T2statistic. Simulation results show that the method can improve the fault detection performance.

kernel principal component analysis； wavelet kernel function； wavelet denoising； fault detection

2014-08-07；

2014-11-10

國家自然科學基金資助項目(61471323)；河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(14A120004)

張端金(1966-)，男，湖北荊州人，鄭州大學教授，博士，研究方向為故障檢測與估計，E-mail:djzhang@zzu.edu.cn.

1671-6833(2015)01-0097-04

TP273

A

10.3969/j.issn.1671-6833.2015.01.023