王立冬，歐小平，王一伊

(1.大連民族學院 理學院，遼寧 大連116605;2.北方民族大學數(shù)學與信息科學學院，寧夏 銀川750000)

在著名的文獻［1］中，Li 和Yorke 首次在數(shù)學領域引入了“混沌”的概念，此后混沌在動力系統(tǒng)研究中占據(jù)了重要的地位，現(xiàn)在已經(jīng)有很多種混沌的定義，比如Devaney 混沌、分布混沌、ω -混沌等。其中由文獻［2］引入的分布混沌，是一種和Li-Yorke 混沌相似但是更為復雜的混沌，這兩種混沌都是通過某種混沌集定義的，所以對于這些混沌集的大小和性質的研究一直是混沌研究中一個很重要的部分。在文獻［3］和［4］中，作者研究了傳遞分布混沌集、極值分布混沌集、不變分布混沌集，結果分別給出了一些具有特殊性質的分布混沌集。

符號空間和移位映射構成的符號動力系統(tǒng)在混沌動力系統(tǒng)領域占有極其重要的地位，這是因為它作為一個簡單的數(shù)學模型，卻包含著幾乎所有典型的復雜動力性態(tài)，并且能通過拓撲共軛或拓撲半共軛推廣到一般空間而動力性質保持不變。本文也是在符號動力系統(tǒng)中進行討論，在混沌研究時考慮到，怎樣才能比較簡單地構造一個分布混沌系統(tǒng);能否夠通過不動點構造出一個分布混沌系統(tǒng)，如果可以，那么這個系統(tǒng)有什么性質和特點，其不可數(shù)分布混沌集又是怎樣的呢?

本文針對上述問題進行了研究，并通過兩個不動點構造了一個極值分布混沌的動力系統(tǒng)，這個動力系統(tǒng)只包含兩個極小集，即由兩個不動點分別構成的兩個極小集，并且存在不可數(shù)的且只包含其中一個不動點的分布混沌集。

1 定義

總設X 是一個具有度量d 的度量空間，f:X→X 是一個連續(xù)映射。

和通常一樣，用ωf(x)來表示x(關于f)的ω-極限集。如果非空子集M?X 滿足f(M)?M，則稱M 是(關于f 的)不變集。

定義1 子集S?X 為一個分布混沌集，如果S 至少包含兩個點，并且任意兩個不同的點x，y∈S 都滿足:

(b)存在ε ＞0 使得φxy(ε)=#{i;0≤i≤m-1，d(fi(x)，fi(y))＜ε}=0，這里的#C 表示集合C 的基數(shù)，具有上述性質的點對{x，y}稱為分布混沌點對。稱f 是分布混沌的，如果它具有不可數(shù)的分布混沌集。

在上面定義中，如果f(S)?S，稱S 是一個不變分布混沌集;如果對任意兩個不同的x，y∈S，都有φxy(b)=0，這里b=Diam(X)(X 的直徑)，稱S是一個極值分布混沌集;如果S 在X 中稠密且任意點x∈S 的軌道都在X 中稠密，稱S 是一個傳遞分布混沌集。

定義2 如果f(x)=x，則稱x 為f 的不動點。

定義3 設(∑k，σ)為符號系統(tǒng)，稱D?∑K為σ 的準混雜集，如果對任何不同點x=x0x1…，y=y0y1…∈D，存在無窮多n 使得xn=yn，且存在無限多個m 滿足xm≠ym。

2 構造分布混沌動力系統(tǒng)

用∑表示由0 和1 這兩個符號構成的單邊符號動力系統(tǒng)，∑中的度量d 定義如下:

對x=x0x1…，y=y0y1…∈∑，如果 x=y如果 x≠y 則m=min{i;xi≠yi}。易見Diam(∑)=1，移位映射σ 定義為σ(x)=x1x2…，x=x0x1…∈∑。眾所周知，σ 連續(xù)且(∑，σ)是一個緊致系統(tǒng)。

假設x=x0x1…∈∑，對0≤i≤j，用x［i，j］來表示x 的第i+1 個符號到第j +1 個符號的這一段有限序列，亦即x［i，j］=xixi+1…xj。如果C 是一個有限序列，用來表示它的符號個數(shù)。設C，D 是兩個符號序列，如果存在0≤i≤j，使得D［i，j］=C，那么稱C 出現(xiàn)在D 中，記作C?D。

下面構造這個極值分布混沌系統(tǒng)。

給定兩個不動點e=000…，v=111…∈∑2，令An為符號{J0J1…Jn-1;Ji∈{e2i2，v2i2}，0≤i ＜n}中所有成員的一個有限排列，其中ei=e［0，i -1］，vi=v［0，i-1］，令a=A1A2…，M=ω(a，σ)?∑2，則有σM:M→M 為一子移位。

選取不可數(shù)準混雜集E(存在不可數(shù)準混雜集在文獻［5］已有證明)，定義映射φ:E→∑，使得對?x=x0x1…∈E，φ(x)=J0J1…，其中Ji=對i=0，1…。

設D=φ(E)，由于對每個固定的i，不論Jj(0≤j≤i)怎樣選取總有J0…Ji?Ai+1?a，因此存在k≥0，使得σk(a)的前mi個符號為J0…Ji(J0…Ji=mi)，這表明對每個x∈E，φ(x)∈ω(a，σ)=M，因此D?M，由于E 不可數(shù)且φ 為單射，所以D 也是不可數(shù)集;另一方面，兩不動點e，v不可能同時包含在一個不可數(shù)準混雜集中，否則將不是準混雜集;若e∈E，則e∈D 中，若v∈E中，則v∈D。

令b=B0B1…，c=C0C1…，為D 中不同點，其中Bi∈{v2i2，e2i2}，Ci∈{v2i2，e2i2}，據(jù)φ 的定義可知，存在正整數(shù)序列pi→∞，qi→∞，使得對每個i，Bpi=Cpi，Bqi≠Cqi，令δbc(j)=d(σj(b)，σj(c))，j=1，2…，因為對固定的pi＞0，當mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1，σj(b)與σj(c)前mpi-1個符號必定相同，因此對這樣的j，δbc(j)＜，于是對任意給定的t，只要pi足夠大，就有δbc(j)＜t，進而(t)=δbc(j)＜t，0≤j ＜mpi-mpi-1}≥δbc(j)＜ t，mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1}=≥1 -→1，所以有(t)=1。

另外，對固定的qi＞0，當mqi-1≤j ＜mqi時，σj(b)與σj(c)第一個符號必不相同，因此對這樣的j，都有δbc(j)=1，于是對ε=1 有

φxy(1)={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi}={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi-1}≤→0，所以φxy(1)=0。這表明b，c 為σM的分布混沌點對，由b，c 的任意性，可得D 為不可數(shù)分布混沌集，且σM是極值分布混沌的。

證明 (σ，M)是一個只包含兩個極小集的動力系統(tǒng)，沒有其他的的極小集。

顯然，在動力系統(tǒng)(σ，M)中兩個不動點e，v就是兩個極小集。

假設Q 是另外一個極小集，那么ρ=min{d(Q，e)，d(Q，v))＞0，存在正整數(shù)n0使得＜。由σ 的連續(xù)性，對任意的正整數(shù)N，存在δ ＞0，當d(x，Q)＜δ 時，就有對任意的i，0≤i≤N，d(σi(x)，Q)＜;另一方面，Q?M=ω(a，σ)，因此對任意的δ ＞0，存在m≥0 使得d(σm(a)，Q)＜δ，所以對任意的正整數(shù)N，存在m≥0 使得對任意的i，0≤i≤N，d(σm+i(a)，Q)＜，那么min{d(σm+i(a)，e)，d(σm+i(a)，v))＞。這就意味著對任意的正整數(shù)N，存在m≥0 使得對任意的i，0≤i≤N，序列a［m +i，m +i +n0-1］不包含在任意en或vn(n≥n0)中，如果a［m+i，m+i+n0-1］被包含在某個en中，那么會得到d(σm+i(a)，e)≤;類似的對vn也一樣。

此外，存在正整數(shù)j 使得2j2＞n0，當N=2sms，由a 的構造形式可知，對任意的m≥0，必定存在i，0≤i≤N，使得a［m+i，m+i+n0-1］是包含在e2j2或v2j2中的，從而得出矛盾，故假設不成立，所以動力系統(tǒng)(σ，M)值只包含兩個極小集。

［1］LI T Y，YORKE J A. Period three implies chaos［J］.Amer. Math. Monthly，1975，82:985 -992.

［2］SCHWEITZER B，SMITAL J. Measures of chaos and spectral decomposition of dynamical systems of the interval［J］. Trans. Amer. Math. Soc，1994，344:737 -754.

［3］OPROCHA P. Distributional chaos revisited［J］. Transactions of the American Mathematical Society，2009，361:4901 -4925.

［4］OPROCHA P.Invariant scrambled sets and distributional chaos［J］. Dynamical Systems，2009，24:31 -43.

［5］廖公夫，王立冬，范欽杰. 映射迭代與混沌動力系統(tǒng)［M］. 北京:科學出版社，2013.