張興皖，朱家明**，王雪琪，黃婷婷

（安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

輪胎花紋性能的優(yōu)化設(shè)計*

張興皖，朱家明**，王雪琪，黃婷婷

（安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

對于輪胎的花紋設(shè)計，選取輪胎的抓地力和降噪音作為評價指標(biāo)。對抓地力：對輪胎行駛過程中受力分析，借助物理知識得出輪胎的抓地力的近似計算公式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，根據(jù)驗證結(jié)果，設(shè)計出抓地性能好的輪胎花紋。對輪胎噪音：根據(jù)花紋槽的波形，對花紋槽的發(fā)聲系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，綜合考慮輪胎的干涉與合成，得出輪胎噪音的公式表示，結(jié)合理論分析，設(shè)計出輪胎噪音很弱的輪胎花紋。最后綜合以上兩個方面，根據(jù)不同的具體情況設(shè)計對應(yīng)的輪胎。

輪胎花紋；抓地力；輪胎噪音

輪胎，作為車輛與地面接觸的唯一媒介，肩負(fù)著承重、剎車以及行車安全等重要職責(zé)。而車輛在正常路面上行駛時，輪胎真正與地面接觸的面積與我們行走在路上鞋底與地面所接觸的面積差不多。這么小的接觸面積，需要完成以上這么多重要而又復(fù)雜的工作，這時輪胎上的花紋就起到了至關(guān)重要的作用。輪胎花紋的主要作用就是增加胎面與路面間的摩擦力，以防止車輪打滑。它提高了胎面接地彈性，在胎面和路面間切向力的作用下，花紋塊能產(chǎn)生較大的切向彈性變形。切向力增加，切向變形隨之增大，接觸面的“摩擦作用”也就隨之增強(qiáng)，進(jìn)而抑制了胎面與路面打滑或打滑趨勢。出于輪胎性能的需要，輪胎的胎面經(jīng)常會被人們加工出不同形狀的花紋。并且在設(shè)計輪胎時，往往要針對其使用環(huán)境，設(shè)計出具體的花紋形狀，以此來提高汽車的使用性能和壽命。因此輪胎花紋的設(shè)計工作對輪胎的生產(chǎn)有重要的作用，為車輛提供了安全行駛的前提保證[1]。

1 花紋設(shè)計的抓地力能力評估模型

1.1 研究思路

由于抓地力的直接測量存在困難，而且抓地力F與地面滾動摩擦力Fr成正比，故通過直接測量Fr的數(shù)值來反映輪胎的抓地力。在路面材料的彈性模量E2、反向法力N等其他影響Fr的因素不變的情況下，輪胎的抓地力和輪胎與地面接觸面的胎面寬度L、輪胎與地面接觸面到輪胎中心軸的距離R存在關(guān)系，又花紋槽的寬度w和深度d與L、R有相關(guān)關(guān)系，通過建立Fr與L、R的關(guān)系建立抓地力F與花紋槽的寬度w和深度d的關(guān)系，并通過收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析。最終確定基于抓地力良好的前提下，輪胎花紋的初始設(shè)計方案。

1.2 研究方法

通過汽車在路面行駛過程中的受力分析[2]圖（如圖1）建立相關(guān)等式進(jìn)行研究。根據(jù)受力圖，結(jié)合物理知識得出車子在行駛過程中輪胎胎面與地面滾動摩擦力Fr的計算公式為：，其中ε為彈性滯后系數(shù)[3]，k0為路面與胎面的恢復(fù)系數(shù)，V1、E1分別為輪胎材料的泊松比和彈性模量，V2、E2分別為路面材料的泊松比和彈性模量，w、d分別為花紋槽的寬度和深度。且ε與k0滿足：ε=1-k02,則抓地力與滾動摩擦力之間滿足如下公式：

其中輪胎與路面接觸面到輪胎轉(zhuǎn)軸距離和花紋槽的深度、寬度之間的計算公式為：R=1/(k1×w)+1/ (k2×d)，輪胎與路面接觸面的胎面寬度和花紋槽的深度、寬度之間的計算公式為：L=k3×w+k4×d。

運用C++進(jìn)行編程并調(diào)試，通過輸入不同參數(shù)值計算出抓地力。本例中取N=1000 kg，k=1.4，t= 0.16，k1=1100，k2=1600，k3=0.8，k4=1.1。得到的抓地力數(shù)據(jù)如表1（單位：F-N；d-m；w-m）。

表1 不同花紋槽深度和寬度所對應(yīng)的抓地力取值

0.019 0.023 0.027 0.031545522 527794 503871 482543 574515 549958 527334 506765 589952 567725 546560 526992 601889 582055 562542 544027 61108 593642 575799 558461 618101 603010 586855 570743 623364 610557 596084 581220 627203 616597 603779 590169

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件進(jìn)行繪圖，得出如圖2的三維立體圖形.

圖1 輪胎行駛過程中的簡單受力分析圖

圖2 抓地力值對應(yīng)的三維圖像

1.3 結(jié)果分析

由表1可以分析出：當(dāng)花紋槽寬度w固定不變時，抓地力F隨著花紋槽深度d變化而變化，且變化規(guī)律滿足“當(dāng)花紋槽深度小于定值時，抓地力隨著深度的增大而增大，即兩者成正相關(guān)的關(guān)系；當(dāng)花紋槽深度小于定值時，抓地力隨著深度的增大而減小，即兩者成負(fù)相關(guān)的關(guān)系”，當(dāng)花紋槽深度d固定不變時，抓地力F隨著花紋槽寬度的增大而減小，即兩者成負(fù)相關(guān)的關(guān)系。由此，可以根據(jù)兩者的搭配情況，根據(jù)控制變量法，在抓地力最大時確定輪胎的最優(yōu)適用范圍。

人們普遍認(rèn)為提高輪胎行駛效率的有效途徑是增大輪胎花紋槽的深度，但事實上，隨著輪胎花紋槽深度的不斷增大，汽車行駛中與地面的摩擦阻力不斷增大，也會增大輪胎表面的磨損，另外使用的燃油數(shù)量也會增加，所以輪胎花紋槽的深度和寬度設(shè)計需要考慮到多個因素，從而在滿足實際需求的同時更好地增強(qiáng)汽車的性能。

2 花紋設(shè)計的排水測定模型

2.1 研究思路

輪胎的排水性與抓地力是一個相互牽制甚至是矛盾的問題，要獲得更好的排水性，胎面就需要設(shè)計較多的溝槽，但溝槽多勢必會減少輪胎的有效接地面積，同時對胎面的剛性也是一種影響。

排水性主要由花紋槽的寬度和深度決定，要對其進(jìn)行研究，先要了解花紋槽截面的設(shè)計，進(jìn)而了解各個參數(shù)之間的影響和相關(guān)關(guān)系式。通過花紋槽的相關(guān)參數(shù)的研究建立模型，如在潮濕的路面上，無花紋輪胎的制動距離是有花紋輪胎的2倍左右，不僅如此，在傾盆大雨的時候，因輪胎接觸地面的水不能排出，而產(chǎn)生制動不靈、轉(zhuǎn)向盤難以控制，那時，車子就像水上滑艇一樣。這種現(xiàn)象，常在花紋不深或無花紋輪胎時發(fā)生。那么，正?；y輪胎在深水路面上行駛，到底能發(fā)揮多大作用呢？

2.2 研究方法

以縱向花紋為例，假設(shè)目前下著大雨，降雨量達(dá)到5 mm，汽車以80 km／h的速度行駛。每條花紋槽的寬度為w，w分別可取0.5 m,0.8 cm,1.1 cm,1.4 cm,1.7 cm,2.0 cm。花紋槽的條數(shù)為n，n可取1,2,3,4, 5。花紋槽的深度為d，d一般不應(yīng)低于1.6 mm，所以這里d可取0.2 cm,0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm,0.6 cm

顯然輪胎花紋不同，輪胎與路面之間的排水量也不同，但可約略計算為：排出的水量L0＝輪胎花紋槽的寬度×行走距離×水深速度為80 km/h的汽車，l s內(nèi)約行進(jìn)22 m，為方便計算起見，將花紋槽條數(shù)分別設(shè)為2條和4條。當(dāng)花紋槽條數(shù)設(shè)為2條時，1s內(nèi)一只輪胎排出的水量為L0=22×2 w d(單位：L-升；w-cm；d-cm)。

表2 2條花紋槽時的排水量表

利用控制變量法，使其中一個自變量為定值，而考慮另一個自變量對因變量的影響作用，這樣便于分別分析兩種因素與因變量滿足的數(shù)學(xué)模型，更加便于生活中利用分析結(jié)果來為社會謀利。以下分別考慮花紋槽的深度和寬度對排水性的影響：

A.花紋槽的寬度影響：當(dāng)胎面保持花紋槽深度為固定值不變時（給出的幾個深度取值是依據(jù)現(xiàn)實生活中常見輪胎花紋槽深度所定），工作中的輪胎每秒排水量隨花紋槽寬度的增大而增大，即兩者是正相關(guān)的關(guān)系。

B.花紋槽的深度影響：花紋槽的深度對排水性的影響分析類似于寬度對排水性的影響，即：當(dāng)胎面保持花紋槽寬度為固定值不變時（給出的幾個寬度取值是依據(jù)現(xiàn)實生活中常見輪胎花紋槽寬度所定），工作中的輪胎每秒排水量隨花紋槽深度的增大而增大，即兩者是正相關(guān)的關(guān)系。

圖3 深度固定、寬度改變的排水性強(qiáng)弱

圖4 寬度固定、深度改變的排水性強(qiáng)弱

當(dāng)花紋槽條數(shù)設(shè)為4條時，1 s內(nèi)一只輪胎排出的水量為L0=22×4 w d(單位：L0-升；w-cm；d-cm)。

表3 4條花紋槽時的排水量表

4條花紋槽對排水性的影響與2條花紋槽時的影響類似分析，在此就不詳細(xì)介紹了。

由兩表中數(shù)值可以看出一秒鐘內(nèi)由不同的花紋槽的寬度、花紋槽的深度以及花紋槽的條數(shù)對排水量的影響會產(chǎn)生非常大的差異。相差毫厘，可產(chǎn)生的排水量卻會相差很多倍。當(dāng)花紋槽的寬度很大時，雖然排水量會相應(yīng)地增大，但是會使輪胎與地面的接觸面積相應(yīng)減少從而影響了它的抓地力，使之減少；而當(dāng)花紋槽的深度很大時，雖然排水量也會相應(yīng)地增大，但是會使相應(yīng)的空氣阻力增大以及產(chǎn)生的熱量增加，會增大輪胎的磨損，不利于延長輪胎的壽命。

2.3 結(jié)果分析

由前面分析可知，極端值會產(chǎn)生其他方面的負(fù)面影響，花紋愈深，則花紋塊接地彈性變形量愈大，由輪胎彈性遲滯損失形成的滾動阻力也將隨之增加，另外較深的花紋不利于輪胎散熱，使胎溫上升加快，花紋根部因受力嚴(yán)懲而易撕裂、脫落等，應(yīng)將極值去掉。而從圖3、4中的趨勢可以看出花紋槽的寬度和花紋槽的深度的值越大，其排水量增加的越快，因此采用的花紋槽應(yīng)盡量寬和深，今后將結(jié)合幾個方面來確定花紋的最優(yōu)范圍。另外對于橫向花紋，混合花紋，和越野花紋雖然他們都具有橫向的花紋，但是對于他們縱向的花紋的排水性可以進(jìn)行相同的上述類似分析，得到的結(jié)論大致相同，在此不再細(xì)分。

3 總結(jié)

輪胎的抓地力主要是通過胎面與地面的接觸來實現(xiàn)，理論上光頭胎的抓地力是最高的，但僅限于干地。如果在濕滑路面，由于光頭胎無排水性，會使車輛難以駕馭，影響安全性。在抓地力的模型中筆者研究了抓地力與花紋槽的寬度和深度的關(guān)系，也得到了較為合理的最佳適用范圍。大面積的橡膠塊設(shè)計，對于提升輪胎的抓地力有利，這點從不同輪胎的胎面設(shè)計上就能看出區(qū)別。一般來說，偏重運動性的輪胎會采用大面積的橡膠塊，提高車輛的抓地力，而以舒適性為趨向的輪胎，花紋會比較碎，橡膠塊會比較小。大面積橡膠塊在提升輪胎的地力的同時，也會“提升”輪胎的行駛噪音。解決方案是在大面積橡膠塊中“開溝槽”降低噪音，同時為了不影響輪胎的抓地力和胎面剛性，在溝槽中間會增加“自鎖片”的設(shè)計，從而提高抓地力和剛性。而碎花紋塊就不會出現(xiàn)噪音較大的情況。

本文建立的抓地力能力評估模型和噪音優(yōu)化模型與實際生活結(jié)合緊密，易于推廣到汽車相關(guān)問題的解決處理和實際應(yīng)用中，如推廣至無噪輪胎花紋設(shè)計的問題；對輪胎花紋設(shè)計的分析在實際問題解決過程中具有很好的借鑒參考作用，對車輛的改進(jìn)優(yōu)化系統(tǒng)的投入實用階段鋪墊基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了建模與經(jīng)濟(jì)生活的密切聯(lián)系；輪胎花紋的分析經(jīng)驗對以后汽車行業(yè)升級部件也具有一定的參考價值，為行業(yè)的優(yōu)化競爭技術(shù)作貢獻(xiàn)。

注釋及參考文獻(xiàn)：

[1]2014年第七屆“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽(14-04-18)http://www．tzmcm．cn/

[2]柳和玲．輪胎地面接觸變形分析與實驗研究[D]．西安:西北農(nóng)林科技大學(xué)，2012．

[3]唐紅度．滾動摩擦力計算中彈性滯后系數(shù)的確定[J]．力學(xué)與實踐，2003(5):25-76．

[4]于淼邈,周潔．花紋溝設(shè)計對輪胎花紋噪聲的影響[J]．輪胎工業(yè)，2012(4):206-209．

The Optimized Design of Tread’s Performance

ZHANG Xing-wan,ZHU Jia-ming,WANG Xue-qi,HUANG Ting-ting
(Institute of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu，Anhui 233030)

For tire tread design,we select tire grip and intensity of noise for evaluation.For grip:by stress analysis of tire driving,we use physical knowledge derived approximate formula for calculating grip tires.In addition,we substitute data for verification.According to the verified results,we design a good grip performance tire tread.For tire noise:in line with the waveform pattern grooves,we tread grooves sound system dynamics analysis, considering interference with the synthesis of the tire,we obtain the equation tire noise.Theoretical analysis,we design a weak tire tread noise.Based on the above last two aspects,we depend on the design of the tire corresponding to the specific circumstances.

tire tread;grip;tire noise

U463.341

A

1673-1891（2015）03-0028-04

2015-04-15

國家自然科學(xué)項目(項目編號：11301001)；安徽財經(jīng)大學(xué)教研項目（項目編號：acjyzd201429）。

張興皖（1994-），男，安徽蚌埠人，信息與計算科學(xué)專業(yè)本科生，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。

**為通信作者朱家明副教授。