周桂如

（福建船政交通職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教研室，福建福州350007）

一類特殊三角函數(shù)的最大值解

周桂如

（福建船政交通職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教研室，福建福州350007）

首先在△ABC中，給出特定系數(shù)的最大值問題，分別利用逐步分析法、拉格朗日乘數(shù)法和不等式三種方法獲得相同的結(jié)果，然后利用拉格朗日乘數(shù)法推導(dǎo)出任意系數(shù)三角函數(shù)（其中）的最大值求解方法，最后推導(dǎo)三角函數(shù)（其中）的極值。

拉格朗日乘數(shù)法；逐步分析法；極值

引言

最值和不等式，是數(shù)學(xué)組成的重要內(nèi)容和部分，不等式揭示變量之間的制約關(guān)系，而最值問題與它緊密相關(guān)。三角函數(shù)的最值問題是函數(shù)最值問題的一個(gè)重要部分。解答三角函數(shù)的最值問題，除了要用到代數(shù)中求最值問題的定理和方法外，通常還要借助三角函數(shù)的一些特性來求解。

引理1[1]：，當(dāng)其中時(shí)取得最大值。

引理2[2]：在任意△ABC中有

引理3[3]：對(duì)及及任意△ABC有當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立。

引理4[4]：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，即，記：則：

1 主要結(jié)果

1.1 逐步分析法[5]

三角形三個(gè)角A、B、C的取值范圍為

1.2 用拉格朗日乘數(shù)法

1.3 不等式法

2 一般形式的三角函數(shù)極值

2.1 對(duì)于△ABC，（其中）的極值

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法

2.2 對(duì)于△ABC，（其中的極值

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法

3 結(jié)語

三角函數(shù)最值問題題型豐富多彩，其解法也層出不窮。例如利用三角函數(shù)的有界性、換元法、判別式法、利用函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)含參數(shù)的三角函數(shù)最值的分類討論法、利用基本不等式法（如：和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式）等都是解三角函數(shù)最值的常用手段,解決這類問題關(guān)鍵是在于對(duì)三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，抓住關(guān)鍵和本質(zhì)所在。

注釋及參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書[M]．北京：人民教育出版社，2004：35-40．

[2]裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．北京:高等教育出版社,1993,267-287．

[3]楊學(xué)枝．關(guān)于三角形的兩類不等式[J]．湖南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999,17(2):32-37．

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析第三版[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[5]胡中雙．淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)[J]．湖南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001,19(4):147-148．

The Solution to Maximum Value of a Special Class of Trigonometric Functions

ZHOU Gui-ru
（Department of Basic Teaching,Fujian Chuanzheng Communications College,Fuzhou，F(xiàn)ujian 350007）

For the maximum value of a trigonometric functionwith special coefficients in△ ABC,three solutions of analysis segment,the Lagrange multiplier,the inequalities,are first proposed,leading to the same result.Then for a general trigonometric functionwith the coefficients,b,andcbelonging to，the Lagrange multiplier is used to seek its maximum value.Finally,the solution to the extreme value of the trigonometric functionwith the coefficients,b,andcbelonging tois derived.

Lagrange multiplier;analysis segment;extreme value

O174

A

1673-1891（2015）03-0012-03

2015-05-03

周桂如（1980-），女，碩士，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究。