方文川　黃書鵬

(福建省漳州一中，福建　漳州　363000)

·試題研究·

帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場中運(yùn)動(dòng)分類淺析

方文川黃書鵬

(福建省漳州一中，福建漳州363000)

摘要：帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場中運(yùn)動(dòng)，是中學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn).相關(guān)文獻(xiàn)對其的分析論證大多集中在正交電磁場中的情況，且用到高等數(shù)學(xué)知識(shí).本文用中學(xué)物理涵蓋的運(yùn)動(dòng)合成與分解、牛頓定律和動(dòng)能定理等知識(shí)，按場的組合和粒子進(jìn)入場的方式進(jìn)行分類處理.按類分析歸納帶電粒子在不同電磁場中的運(yùn)動(dòng)情況及其軌跡，并以高考試題為例進(jìn)行了詳細(xì)求解.

關(guān)鍵詞：帶電粒子；勻強(qiáng)電磁場；運(yùn)動(dòng)合成；運(yùn)動(dòng)軌跡

帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)，是中學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn).一般教科書都沒有詳細(xì)論證，查找相關(guān)文獻(xiàn)，多集中在帶電粒子在正交電磁場中的運(yùn)動(dòng)，且多用高等數(shù)學(xué)知識(shí)分析求解，不適合中學(xué)教學(xué).本文擬用中學(xué)物理知識(shí),按場的組合和粒子進(jìn)入場的方式分類處理.主要應(yīng)用兩條原理:一是力的獨(dú)立性原理.分別考慮力產(chǎn)生的效果，其中抓住電場力對電荷作功，洛倫茲力對電荷不做功.二是運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理.粒子在場中可能做較簡單的直線運(yùn)動(dòng)，也可能做較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng).

帶電粒子(簡稱粒子，下同)的運(yùn)動(dòng)，按電磁場的組合方式可分為兩場分離或重疊、兩場方向平行或垂直；依粒子進(jìn)入場中的速度方式，又可分為初速為零或不為零、平行電場射入或垂直電場射入等情形(與電場有夾角入射較復(fù)雜，中學(xué)不作要求).實(shí)際問題都是這些方式的組合.下面以高考試題為例分析討論.

1粒子在互相分離的電磁場中運(yùn)動(dòng)

這種運(yùn)動(dòng)比較簡單，粒子先后分別受到電場力和洛倫茲力作用，在電場中作勻變速直線運(yùn)動(dòng)或平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).可按電荷在電場中及在磁場中運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別求解.其中兩場交界處的物理量是解題的邊界條件，要充分挖掘.

1.1　粒子先受磁場力，再受電場力

例1(1998)如圖1所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E.一質(zhì)量為m，電量為-q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿著y軸正方向射出.射出之后，第三次到達(dá)x軸時(shí)，它與點(diǎn)O的距離為L.求此粒子射出時(shí)的速度v和運(yùn)動(dòng)的總路程s(重力不計(jì)).

圖1

圖2

1.2　粒子先受電場力，然后進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)

例2(2008天津)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v0垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(如圖3).不計(jì)粒子重力，求：

圖3

(1)M、N兩點(diǎn)間的電勢差UMN.

(2)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；

(3)粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t.

解析：粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，末速度可從電場與磁場邊界求得，再由動(dòng)能定理可求出電勢差.又因粒子垂直y軸射出，圓心必在y軸上，作速度v的垂線交y軸于O′就是軌跡圓的圓心如圖4.可求出圓周運(yùn)動(dòng)半徑.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t為電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1與磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2之和.

圖4

小結(jié)：這種電磁場分離類型的問題是高考中最常見的題型.粒子總是垂直磁場B進(jìn)入，在磁場受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng).進(jìn)入電場后，則按速度v0與電場E方向不同分為：平行時(shí)(加速電場)做勻變速運(yùn)動(dòng)，如例1和2002年全國卷中的顯像管中的電子槍模型；垂直時(shí)(偏轉(zhuǎn)電場)做類平拋運(yùn)動(dòng)，如例2和2009年寧夏理綜卷25題等，這兒不一一列舉，希望能引起重視.

2帶電粒子在互相重疊方向平行的電磁場中運(yùn)動(dòng)

2.1　粒子沿平行E方向射入電磁場

圖5

例3(1992)在圖6中虛線所圍的區(qū)域內(nèi)存在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.已知從左方水平射入的電子穿過這區(qū)域時(shí)未發(fā)生偏轉(zhuǎn).設(shè)重力可忽略不計(jì),則在這區(qū)域中的E和B的方向可能是().

A．E和B都沿水平方向,并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相同

B．E和B都沿水平方向,并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相反

C．E豎直向上,B垂直紙面向外

D．E豎直向上,B垂直紙面向里

圖6

2.2　粒子以v0沿垂直E方向射入電磁場

圖7

這種運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜，中學(xué)一般研究較為特殊的情況，如平衡問題.

例4(1996)設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場.已知電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，電場強(qiáng)度的大小E=4.0V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15T.今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以v=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場的所有可能方向.

圖8

3帶電粒子在互相垂直的電磁場中運(yùn)動(dòng)

圖9

3.1　粒子沿垂直于電場E方向進(jìn)入場中

圖10

例5(2011福建)如圖11甲，空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖11甲，不計(jì)粒子的重力.

圖11

(1)求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v；

①求粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離S；

②當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí)，其y-t圖像如圖11丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A,并寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式.

解析：帶電粒子在正交電磁場中，既受電場力又受洛倫茲力，運(yùn)動(dòng)軌跡是一擺線(旋輪線).其中電場力做負(fù)功，洛倫茲力不做功.問題(1)可由動(dòng)能定理求出.問題(2)由上面分析也容易得出結(jié)果.

小結(jié)：粒子沿垂直于E方向進(jìn)入場中，受電場力F=qE，又洛倫茲力f=qBv0，其運(yùn)動(dòng)軌跡是擺線，隨v0不同，分成幾種情況：

3.2　粒子沿平行于E方向進(jìn)入電磁場

粒子受電場力作用同時(shí)又受洛倫茲力作用，如前分析，速度分解后，將粒子實(shí)際運(yùn)動(dòng)等效為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，可證明其軌跡還是一擺線.若場區(qū)無界，初速度不為零，粒子在場中做擺線運(yùn)動(dòng);若場區(qū)有界，粒子從邊界進(jìn)入，當(dāng)初速為零，且邊界足夠?qū)?，粒子將沿入射邊做擺線運(yùn)動(dòng).若初速不為零，則粒子總要飛出場區(qū)，進(jìn)一步分析如下：

圖12

例6(2008江蘇)在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖13所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍,求：

圖13

(1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x,y)的速率v.

(2)小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym.

(3)當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為E(E>mg/q)的勻強(qiáng)電場時(shí),小球從O點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率vm.

解析：問題(1)、(2)中沒有電場，但增加了重力場，帶電小球運(yùn)動(dòng)與帶電粒子在電磁場中情形相似，軌跡也是擺線.

圖14

總之，帶電粒子在電磁組合場中的運(yùn)動(dòng)，其軌跡可以是直線、或拋物線、或圓周、或直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的合成曲線.當(dāng)電場和磁場方向平行時(shí)，合成軌跡是螺旋線，當(dāng)電場和磁場方向垂直時(shí)，合成軌跡是擺線(旋輪線).具體處理時(shí)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解，利用等效思維，并結(jié)合功能關(guān)系，往往可化難為簡，起到事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué).北京：人民教育出版社，1978.

程守洙，江之永.普通物理學(xué).北京：人民教育出版社，1979.

胡建新.帶電粒子在正交恒定電磁場中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析.大學(xué)物理，2004，(4).

陳升科.帶電粒子在正交勻強(qiáng)電磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡和擺線.中學(xué)物理教學(xué)參考2001，(12).

傅靜之.帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)物理教學(xué).1988，(7).

葉兵.帶電粒子在正交電磁場中運(yùn)動(dòng)問題的初步研究.物理教學(xué)探討，2007，(11).