鞏長(zhǎng)忠，石海云

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

一類(lèi)有時(shí)變時(shí)延耦合動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步

鞏長(zhǎng)忠，石海云

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

針對(duì)一類(lèi)具有時(shí)變時(shí)延動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),研究其同步問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和線(xiàn)性反饋控制理論,設(shè)計(jì)了線(xiàn)性控制器,得到具有時(shí)變時(shí)延耦合動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。最后,利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

同步;復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);耦合;時(shí)變時(shí)延;節(jié)點(diǎn)

現(xiàn)實(shí)生活中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題更是引起各個(gè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]中研究了無(wú)時(shí)延的有不同節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]中研究了有時(shí)延的不同節(jié)點(diǎn)間的網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上研究了有時(shí)延的不同節(jié)點(diǎn)的自適應(yīng)耦合的網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]研究了有時(shí)延動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步問(wèn)題。上述研究中的時(shí)延均為定值，本文研究具有時(shí)變時(shí)延的動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。

1 預(yù)備知識(shí)

本文將分析具有時(shí)變時(shí)延和非線(xiàn)性?xún)?nèi)部耦合函數(shù)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題，模型如下

其中：i=1，2，…，N，xi（t）=（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））T∈Rn（i=1，2，…，N）是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量；f：R×Rn→Rn是一個(gè)光滑的非線(xiàn)性函數(shù)；τ1（t）是動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的時(shí)延函數(shù)；τ2（t）是耦合的時(shí)延函數(shù)；Γ1∈Rn×n和Γ2∈Rn×n是內(nèi)耦合矩陣；A=（aij）N×N∈Rn×n和B=（bij）N×N∈Rn×n是加權(quán)配置矩陣。如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j（i≠j）之間有聯(lián)系，則aij>0，bij>0；否則aij=bij=0。

假設(shè)1 對(duì)于向量值函數(shù)f（t，xi（t），xi（t-τ1（t）））假設(shè)存在常數(shù)θ>0，γ>0，任意的x，y∈Rn×n和t≥0使得f滿(mǎn)足semi-Lipschitz條件

假設(shè)2 對(duì)i∈N，τi（t）是一個(gè)微分函數(shù)且0≤τ˙i（t）<ε<1。

假設(shè)3 內(nèi)耦合矩陣Γ是一個(gè)正定矩陣。

引理1 對(duì)任何向量x，y∈Rn和一個(gè)正定矩陣Q∈Rn×n，矩陣不等式

成立。

2 同步分析

將模型（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)的模型如下

其中：yi（t）=（yi1（t），yi2（t），…，yin（t））T∈RN（i=1，2，…，N）是響應(yīng)系統(tǒng)的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量；ui是線(xiàn)性控制器，設(shè)計(jì)如下：ui=-diei（t）。

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）的誤差為

定理1 對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2），如果滿(mǎn)足下面的條件

其中：ρ>0且是一個(gè)常數(shù)。Q=A?Γ1，P=B?Γ2，I∈Rn×n是單位矩陣，λmax是相應(yīng)的最大特征值。那么系統(tǒng)（1）和（2）達(dá)到同步。

證明取Lyapunov函數(shù)為

3 數(shù)值仿真

為了證明該方法的有效性，在Matlab的環(huán)境下進(jìn)行了數(shù)值仿真。節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為

加權(quán)配置耦合矩陣A，B有如下形式

圖1 同步誤差‖e（t）‖F(xiàn)ig.1 Synchronization error‖e（t）‖

t∈[0，+∞）是同步誤差的2-范數(shù)，由定理1知整個(gè)網(wǎng)絡(luò)漸近同步。圖1和圖2給出仿真的部分結(jié)果，可知系統(tǒng)（3）和（4）的誤差曲線(xiàn)迅速地收斂到0，即系統(tǒng)（1）和（2）能很好地達(dá)到同步。

圖2 同步誤差ei1，ei2，ei3Fig.2 Synchronization errors ei1，ei2，ei3

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了節(jié)點(diǎn)及耦合項(xiàng)都含有時(shí)變時(shí)延的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和線(xiàn)性控制理論，設(shè)計(jì)了線(xiàn)性控制器，從而給出網(wǎng)絡(luò)間同步的充分條件。為了驗(yàn)證方法的有效性，進(jìn)行了數(shù)值仿真。從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的速率不僅受反饋強(qiáng)度和時(shí)間延遲的影響，也會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和結(jié)構(gòu)的影響。數(shù)值仿真的結(jié)果檢驗(yàn)了理論的有效性。

[1]SONGQ，CAO J，LIU F.Synchronization of complex dynamical networks with nonidentical nodes[J].Phys Lett，2010，A374：544-551.

[2]CAI S，HE Q，HAO J，et al.Exponential synchronization of complex networks withnonidentical time-delayed dynamical nodes[J].Phys Lett，2010，A374：2539-2550.

[3]HU CHENG，YU JUAN，JIANG HAIJUN，et al.Synchronization of complex networks with nonidentical nodes and adaptive coupling strength [J].Phys Lett，2011，A375：873-879.

[4]WU SHUGUO，YAO HONGXING.Impulsive synchronization of two coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes[J].Chin Phys，2011，B20：1056-1062.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Synchronization of a class of coupled complex networks with time-varying and delayed dynamical nodes

GONG Chang-zhong，SHI Hai-yun
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

The synchronization of two coupled complex networks with time-varying and delayed dynamical nodes is studied. Based on the Lyapunov stability and the liner feedback control theory，the linear controller is designed and some corresponding sufficient synchronization conditions are derived.Finally，numerical simulations are presented to verify the effectiveness and the correctness of the synchronization criteria.

synchronization；complex network；couple；time-varying delay；node

TP273

:A

:1674-5590(2015)02-0057-03

2013-09-03；

:2013-11-21

:中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)（ZXH2012B003，ZXH2012K002）

鞏長(zhǎng)忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€(xiàn)性控制.