邵霞，付佳媛，祁杰

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

Drinfeld于1983年基于量子群的基礎(chǔ)首次引入李雙代數(shù)的概念。量子群理論的核心部分是研究那些既非交換又非余交換的Hopf代數(shù)。

本文擬先研究W(0，1)的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)，確定其三角性與上邊緣性。從而更易于我們對(duì)W(a，b)的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究。

2 預(yù)備知識(shí)

首先，我們回顧一些與李雙代數(shù)相關(guān)的一些基本定義及結(jié)果。

R 為復(fù)數(shù)域C 上的向量空間，ξ是 R?R?R 上的循環(huán)映射，即 ξ(x1?x2?x3)=x2?x3?x1，?x1，x2，x3∈R，τ為 R?R 上的扭映射，即 τ(x?y)=y?x，?x，y∈R。

R為復(fù)數(shù)域C上的向量空間，若存在線性映射σ:R?R→R滿足:

稱(R，σ)是一個(gè)李代數(shù)。

R為復(fù)數(shù)域C上的向量空間，若存在線性映射:△R→R?R:滿足:

稱(R，△)是李余代數(shù)。

對(duì)于李代數(shù)R，我們記［x，y］=σ(x，y)，用·表示伴隨對(duì)角作用:

定義2.1 若(R，σ)是李代數(shù)，(R，△)是李余代數(shù)，且滿足相容性條件:

稱三元對(duì)(R，σ，△)為李雙代數(shù)。

U(R)是 R 中的普遍包絡(luò)代數(shù)，1 是 U 中的單位元，對(duì)，定義 rij，c(r)，i，j=1，2，3

為U?U?U中的元素。

定義2.2 (1)四元對(duì)(R，σ，△，r)稱作是一個(gè)上邊緣的李雙代數(shù)，如果(R，σ，△)是一個(gè)李雙代數(shù)，r∈Im(1-τ)∈R?R使得△是r的一個(gè)三角上邊緣，即:△=△r，且

(2)上邊緣李雙代數(shù)(R，σ，△，r)稱作是上三角的，如果r滿足經(jīng)典Yang-Batex方程(CYBE):

3 W(0，1)主要結(jié)果及其證明

首先，我們給出李代數(shù)W(0，1)的定義，復(fù)數(shù)域C上無(wú)限維李代數(shù)W(0，1)滿足李括號(hào)積:

其中 i，j∈? .為方便起見(jiàn)，以下均記 W(0，1).為 W

(1)三元對(duì)(R，［·，·］，△)是一個(gè)李雙代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) r滿足 CYBE.

(2)(1+ ξ+ ξ2)·(1? △)·△(x)=x·c(r)，?x∈ R (2.3)引理3.2 令W?n表示n個(gè)W的張量積，在W的伴隨對(duì)角作用下，W?n稱為一個(gè)R-模，假設(shè)r∈W?n滿足x·r=0，?x∈W.則 r∈C c?n。

元素r∈Im(1-τ)?W?W稱為滿足修正Yang-Batex方程(MYBE)，若

推論3.3 元素r∈Im(1-τ)?W?W 滿足CYBE，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足MYBE.

V=W?W為在伴隨對(duì)角作用下的W-模.記Der(W，V)為W到V的所有導(dǎo)子的集合，d:W→V，d是一個(gè)線性映射，滿足:

對(duì)?v∈V，定義內(nèi)導(dǎo)子vinn如下:

記Inn(W，V)為所有內(nèi)導(dǎo)子的集合.我們知道

H1(W，V)為的系數(shù)在V中的一階上同調(diào)群。

若d(Wn)?Wσ+n，n∈?，稱導(dǎo)子d∈Der(W，V)是一個(gè)次數(shù)為α的齊次導(dǎo)子，則

其中

在下面意義下成立，對(duì)所有 u∈W，僅有有限多個(gè) dα(u)≠0，d∈Der(W，V).(稱 d=∑α∈?dα是可加的).

命題3.4Der(W，V)=Inn(W，V)，相應(yīng)地，H1(W，V)=0。

只需證明每一個(gè)d∈Der(W，V)，d=∑α∈?dα是可加的，且這有限個(gè)dα均是W到V的內(nèi)導(dǎo)子即可。

斷言1 若0≠α∈?則dα∈Inn(W，V)。

即 dα(xn)=uinn(xn).因此 dα=uinn是一個(gè)內(nèi)導(dǎo)子。

以下，用“≡”表示一個(gè)等式在模C(c?c)作用下恒成立。

斷言2 對(duì) d0∈Der(W，V)0，有 d0∈Inn(W，V)。

下面我們分幾個(gè)子斷言來(lái)證明。

子斷言1 d0(L0)≡d0(c)≡0

對(duì)?xn∈Wn，n∈? ，將 d0分別作用在［L0，xn］=-nxn，［xn，c］=0 的兩邊，有 xn·d0(L0)=xn·d0(c)=0。由引理3.2 得，d0(L0)≡d0(c)≡0。

子斷言2 存在u∈V0，使得將d0用d0-uinn替換后有d0(W)≡0。

對(duì)?0≠m∈?，n∈?設(shè)

注意，對(duì)?p∈?，下面作用成立

記

因此d0(L1)可以簡(jiǎn)化為

將 d0作用在等式［L-1，L1］=2L0兩邊，比較的系數(shù)推出

因此

將 d0作用在等式［L2，L-1］=3L1兩邊，對(duì)?p∈? ，比較的系數(shù)有

因此

將 d0作用在等式［L1，L－2］ =3L－1的兩邊，對(duì) ?p ∈ ? ，比較的系數(shù)有

因此

將d0作用在等式［L2，L-2］=4L0的兩邊，比較系數(shù)可得

故

記 Vir是 W 的 Virasoro 子代數(shù)，即 Vir=spanC{Ln|n∈? }可由基{L-2，L-1，L1，L2}生成.又由于(2.13)、(2.14)，可得

將 d0作用在等式［L0，［L0，H2］］=2H2的兩邊，比較系數(shù)可知

故

又由于 W 由{L-2，L-1，L2，H2}生成，由(2.15)、(2.16)可知

斷言2得證。

斷言3 d0≡0。

斷言4 僅有有限多個(gè)n∈?使dn≠0。

引理3.4 假設(shè) ?v∈V使對(duì) ?x∈W，x·v∈Im(1?1-τ)，則v∈Im(1?1-τ)。

上述等式中的系數(shù)均在域C中，且每個(gè)求和符號(hào)對(duì)應(yīng)的和式均為有限項(xiàng)求和，記元素都是 Im(1- τ)中的元素.用 v-u 代替 v，u 可以表示成 u1，p，u2，p，u3，p，u1，u2的線性組合，我們可以假設(shè)

則

假設(shè)存在 p ＞0，使 ap≠0，取 q ＞0，使 q≠p，則 Lp+q?L-p是在 Lp·v中的項(xiàng)，然而，由(2.20)可知，L-p?Lp+q不是 Lq·v中的項(xiàng)，與 Lq·v∈Im(1-τ)矛盾;進(jìn)一步假設(shè) qp=0，?p∈?*(這里?*表示非零整數(shù))，類似地，同樣可以假設(shè)dp=0，?p∈?*，因此(2.22)可表示為

由Im(1-τ)?ker(1-τ)及我們的假設(shè)W·v?Im(1-τ)可以推出a0=d0=a'0=c'0=bp=0 ?p∈?，且我們有

注意到{p|bp≠0}是有限項(xiàng)，比較各項(xiàng)系數(shù)，則

故(2.23)為

觀察等式

顯然，b1=0.引理得證。

定理3.1 上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)都是三角上邊緣的。

設(shè)(W，［·，·］，△)是 W 上的一個(gè)李超雙代數(shù)結(jié)構(gòu)，由(1.6)、(2.5)及命題 3.4 可知，存在 r∈W?W，使得△ =△r，由于 Im△?Im(1-τ)及引理3.4 知，r∈Im(1-τ)，又由(1.4)、(2.3)及推論3.3，可知 c(r)=0.根據(jù)定義可知，(W，［·，·］，△)是一個(gè)上邊緣的并且三角的李雙代數(shù)。

［1］楊恒云.廣義N=1，2超Virasoro代數(shù)的超雙代數(shù)結(jié)構(gòu)及表示［D］.上海交通大學(xué)，2008.

［2］J B Li，Y C Su.Lie bialgebra structures on the W-algebra W-(2，2)［J］.Math，arXiv:0801.4144，2008.

［3］J Z Han，J B Li，Y C Su.Lie bialgebra structures on the Schr?dinger-Virasoro Lie algebra［J］.Math Phys，arX-iv:090.1339，2009.

［4］R Shen，H B Chen，J G Zhang.Lie bialgebra structures on generalized Heisenberg-Virasoro algebra［J］.Journal of Donghua University(Eng Ed)，2013，30(2).