楊志宏， 屈雙惠， 吳淑花， 于津江

（石家莊學(xué)院 物理與電氣信息工程學(xué)院，河北 石家莊 050035）

混沌控制和混沌同步理論在保密通信、信號處理等領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用，而分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)由于其具有更大的密鑰空間而在保密通信方面具有更高的使用價(jià)值，因此，在實(shí)際應(yīng)用中研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的特性及其同步具有十分重要的意義。

已有不少學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步問題，但對于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步問題的研究卻很少。文獻(xiàn)［1］雖然研究了分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和R¨ossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步問題，但其提出的超混沌系統(tǒng)的每個(gè)方程中最多含有1個(gè)二次非線性交叉乘積項(xiàng)。本文構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階四維超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)的每個(gè)方程中都含有1個(gè)三次非線性交叉乘積項(xiàng)，具有真正的四翼混沌吸引子，由于四翼混沌吸引子的系統(tǒng)信號具有更寬的頻譜帶寬，因此在信息加密技術(shù)中具有更重要的使用價(jià)值。利用非線性反饋控制法，通過控制反饋控制增益的取值范圍實(shí)現(xiàn)了響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步，實(shí)現(xiàn)了對該分?jǐn)?shù)階四翼超混沌系統(tǒng)的混沌同步，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性［2－4］。

1 系統(tǒng)模型

本文構(gòu)建的四翼超混沌系統(tǒng)整數(shù)階形式為：其中，a、b、c、d、e為實(shí)常數(shù)。

當(dāng)參數(shù)a＝50，b＝7，c＝13，d＝12，e＝8時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為：

LE1＝4.055 3， LE2＝0.317 4，LE3＝－20.913 7， LE4＝－51.458 7。指數(shù)LE1和LE2均為正，系統(tǒng)具有超混沌的特征［5］。圖1所示為該系統(tǒng)的混沌吸引子，從圖1中可以看到，系統(tǒng)產(chǎn)生了穿越上下吸引域界限的對角混沌吸引子，上下混沌吸引子與對角混沌吸引子融合成一個(gè)真正的四翼混沌吸引子。

圖1 整數(shù)階系統(tǒng)相圖

該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階形式為：

取如下參數(shù)：

a＝50，b＝7，

c＝13，d＝12，e＝8。

當(dāng)階數(shù)q＝0.95時(shí)，系統(tǒng)相圖如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)相圖

2 頻譜分析

2.1 整數(shù)階系統(tǒng)頻譜分析

圖3a、圖3b所示為整數(shù)階三維Lü系統(tǒng)和四維Chen系統(tǒng)［6］的頻譜圖。

圖3c所示為整數(shù)階四翼混沌系統(tǒng)的頻譜圖，這里只給出了x分量。

由圖3可以看出，四翼混沌系統(tǒng)的頻譜帶寬比Lü系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的頻譜帶寬大很多，這在信息加密技術(shù)中具有更重要的應(yīng)用價(jià)值。

圖3 整數(shù)階系統(tǒng)功率譜

2.2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)頻譜分析

圖4所示為當(dāng)階數(shù)q＝0.95時(shí)上述3個(gè)系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階形式下的頻譜圖。由圖4可以看出，對于分?jǐn)?shù)階形式，四翼混沌系統(tǒng)的頻譜帶寬仍遠(yuǎn)大于Lü系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的頻譜帶寬，在信息加密技術(shù)中起重要作用。

圖4 q＝0.95時(shí)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)功率譜

3 系統(tǒng)的混沌同步

3.1 理論分析

隨著混沌同步研究的發(fā)展，人們提出了多種不同的混沌同步方法，如線性或非線性反饋同步、耦合同步、自適應(yīng)同步、投影同步等［1，6－9］。以下將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（2）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其復(fù)制系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，并將控制器u＝［u1，u2，u3，u4］T施加在響應(yīng)系統(tǒng)上，利用非線性反饋控制實(shí)現(xiàn)同步的方法來實(shí)現(xiàn)兩系統(tǒng)的混沌同步。

則有驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方程為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（2），響應(yīng)系統(tǒng)方程為：

為了獲得能夠?qū)崿F(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步的控制函數(shù)，令狀態(tài)誤差信號為：

（3）式減（2）式可得到誤差系統(tǒng)為：

選擇控制函數(shù)為：

其中，k3、k4為反饋控制增益，其值待定。

下面根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論確定反饋控制增益k3、k4的取值范圍，從而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）與響應(yīng)系統(tǒng)（3）的混沌同步。將（5）式代入（4）式并將方程組寫成˙e＝A（t）e的形式，得到誤差系統(tǒng)方程的矩陣形式為：

由（6）式可知，誤差系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在誤差變量的零點(diǎn)處。依據(jù)非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定性定理，矩陣A（t）為時(shí)變矩陣，即

系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)變量只能在一定的吸引域內(nèi)發(fā)生變化，此時(shí)A（t）對所有的t都是有界的。

從（7）式可以看出，當(dāng)反饋控制增益k3、k4的取值范圍滿足k3＜c，k4＜d時(shí)，該矩陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)線性系統(tǒng)˙e＝A（t）e的零解都達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定，即誤差系統(tǒng)（6）在其原點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）與響應(yīng)系統(tǒng)（3）在非線性反饋控制作用下達(dá)到同步。

3.2 數(shù)值模擬

取階數(shù)q＝0.95，選取系統(tǒng)參數(shù)a＝50，b＝7，c＝13，d＝12，e＝8，初始點(diǎn)x1（0）＝1，x2（0）＝1，x3（0）＝1，x4（0）＝1，y1（0）＝2，y2（0）＝2，y3（0）＝2，y4（0）＝2。用 Matlab軟件數(shù)值模擬驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）的同步過程，得到同步誤差曲線如圖5所示。由圖5可以看到，在控制器的作用下，誤差變量e1、e2、e3、e4都在短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定在零點(diǎn)，2個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步。

圖5 同步誤差e1、e2、e3、e4 隨時(shí)間t的變化曲線

4 結(jié)束語

本文提出的分?jǐn)?shù)階四翼超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)信號具有較寬的頻譜帶寬，在信息加密工程中具有應(yīng)用價(jià)值。利用非線性反饋控制法，實(shí)現(xiàn)了對該分?jǐn)?shù)階四翼超混沌系統(tǒng)的混沌同步，控制器的結(jié)構(gòu)簡單易于實(shí)現(xiàn)。下一步的主要研究方向是利用非線性系統(tǒng)進(jìn)行保密通信的硬件實(shí)現(xiàn)。

［1］ 李 東，鄧良明，杜永霞，等.分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌R¨ossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61（5）：050502.

［2］ 鮑慧玲，薛 華.一個(gè)三維四翼混沌系統(tǒng)的分岔分析及其電路實(shí)現(xiàn)［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，37（2）：155－158，208.

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