李 穎

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

高維隨機(jī)信號THREE功率譜估計(jì)及其仿真

李 穎

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

功率譜估計(jì)是隨機(jī)信號處理領(lǐng)域的基本問題之一，其基本方法是利用有限長的數(shù)據(jù)估計(jì)信號的功率譜.從演化進(jìn)程上來看，可分為經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì).參照現(xiàn)代譜估計(jì)中的THREE譜估計(jì)方法，對基于Hellinger度量的隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)方法進(jìn)行了探討，并進(jìn)行了模擬仿真.通過數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)基于Hellinger度量的隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)方法能有效用于高維隨機(jī)信號的譜估計(jì)中.

譜估計(jì)；度量；凸優(yōu)化；牛頓算法

在許多工程技術(shù)、自然科學(xué)、社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)來分析研究對象的周期性或能量在頻域上的分布具有十分重要的意義.隨機(jī)信號的功率譜反映它的頻率成分以及各成分的相對強(qiáng)弱，能從頻域上揭示信號的節(jié)律，是隨機(jī)信號的重要特征.功率譜估計(jì)是利用給定的一組樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一個平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜密度.由于實(shí)際中的隨機(jī)信號長度總是有限的，用這種有限長度信號所得到的功率譜只是隨機(jī)信號真實(shí)功率譜的一種估計(jì).功率譜估計(jì)方法可以分為經(jīng)典功率譜估計(jì)(非參數(shù)方法)和現(xiàn)代功率譜估計(jì)(參數(shù)方法)[1].經(jīng)典功率譜譜估計(jì)是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零，相當(dāng)于數(shù)據(jù)加窗.經(jīng)典功率譜估計(jì)方法分為：相關(guān)函數(shù)法(BT法)、周期圖法以及兩種改進(jìn)的周期圖估計(jì)法即平均周期圖法和平滑平均周期圖法,其中周期圖法應(yīng)用較多,具有代表性.這種方法的主要缺陷是估計(jì)方差大、頻率分辨率低[2-3].現(xiàn)代功率譜估計(jì)即參數(shù)譜估計(jì)方法則是為了克服經(jīng)典功率譜估計(jì)分辨率不高，不適合短序列的處理的缺點(diǎn)而提出的，它是通過觀測數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號功率譜.主要方法有ARMA模型、AR模型、MA模型[4-7].但是，階數(shù)較小的AR或MA模型不能模擬具有尖銳峰和深零點(diǎn)的譜，而基于迭代算法的ARMA模型其全局收斂性得不到保證.

2000年，Byrnes等人為了克服ARMA模型的缺點(diǎn)提出了一種Byrnes-Georgiou-Lindquist(THREE)方法[8]，即一種基于插值理論的高分辨率的譜估計(jì)方法.當(dāng)數(shù)據(jù)量很短時，該譜估計(jì)方法也能有效地檢測出譜線和譜峰現(xiàn)象.2003年，F(xiàn)errante等人又對該方法進(jìn)行一系列的改進(jìn)并推廣到高維隨機(jī)信號的功率譜的估計(jì)，形成了比較成熟的THREE型譜估計(jì)方法[9-13].該問題最終可轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，可通過對偶理論求解.其實(shí)質(zhì)是已知隨機(jī)信號的先驗(yàn)功率譜，在功率譜密度函數(shù)距離最小的意義下使得所求的功率譜估計(jì)值盡可能地接近先驗(yàn)功率譜.對于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜，Tryphon T Georgiou等人于2003年把Kullback-Leibler距離應(yīng)用于功率譜估計(jì)中[14]，進(jìn)而解決了對于給定的先驗(yàn)功率譜的最佳近似問題.但是把Kullback-Leibler型的距離推廣到高維隨機(jī)信號功率譜估計(jì)時，遇到了很大的問題[10].最近幾年，F(xiàn)errante等人分別把Hellinger距離和Itakura-Satio距離應(yīng)用于隨機(jī)信號的功率譜近似問題中，實(shí)現(xiàn)了高維隨機(jī)信號功率譜的估計(jì)[10, 12].

在THREE型譜估計(jì)中，主要利用拉格朗日乘數(shù)法求約束最優(yōu)解.然而，對于矩陣型拉格拉日參數(shù)的求解確是比較困難的.Ferrante等人對于優(yōu)化參數(shù)的求解算法主要是矩陣牛頓算法、最速下降法.基于Kullback-Leibler度量的譜估計(jì)就是利用矩陣最速下降算法求解優(yōu)化參數(shù)的，而基于Hellinger度量的譜估計(jì)是利用矩陣牛頓算法求解優(yōu)化參數(shù)的.本文主要對基于Hellinger距離的高維隨機(jī)信號譜估計(jì)進(jìn)行模擬并與其他算法進(jìn)行了比較.

1 THREE功率譜估計(jì)問題及其可行性條件

THREE功率譜估計(jì)方法主要取決于下面4個要素：

1)數(shù)據(jù){y(n),n∈Z}通過一組濾波器，它的傳遞函數(shù)為

G(z)=(zI-A)-1B

(1)

其中：A∈Cn×n為穩(wěn)定矩陣，即它的特征值都在單位圓內(nèi)，B∈Cn×n.輸出為{x(n),n∈Z}即x(n+1)=Ax(n)+By(n)；

2)基于y1，y2,…,yN,得到{x(n),n∈Z}的協(xié)方差∑=∑T>0的估計(jì)值∑>0；

4)衡量功率譜密度函數(shù)之間的差異性的度量S.

基于上述四點(diǎn)，該問題可簡化為下面的有約束條件的最優(yōu)化問題[10]：

minimizeS(Φ‖Ψ)

(2)

對于問題(2)可以做進(jìn)一步的化簡，即令

minimizeS(Φ‖Ψ)

(3)

該問題即為約束優(yōu)化問題，可用拉格朗日乘數(shù)法求解，其朗格朗日函數(shù)為

令δL(ΦδΦ,Λ)=0，可得最優(yōu)解Φ0(Λ).如果能進(jìn)一步計(jì)算出朗格朗日參數(shù)Λ，則該問題就得到了解決.但在高維隨機(jī)信號功率譜的估計(jì)中，對于矩陣型拉格拉日參數(shù)的求解確是比較困難的.Ferrante等人對于優(yōu)化參數(shù)的求解算法主要是矩陣牛頓算法、最速下降法.基于Kullback-Leibler度量的譜估計(jì)就是利用矩陣最速下降算法求解優(yōu)化參數(shù)的，而基于Hellinger度量的譜估計(jì)是利用矩陣牛頓算法求解優(yōu)化參數(shù)的.

綜上所述，THREE功率譜估計(jì)方法的步驟：

Step2:

Step3：拉格朗日乘數(shù)法求解最優(yōu)解：拉格朗日函數(shù)

δL(Φ,δΦ,Λ)=0?Φ0(Λ)

Step4：利用對偶理論對拉格朗日參數(shù)Λ的求解：其 對偶函數(shù)為JΨ(Λ)=-L(Φ0,Λ)；

Step5：矩陣牛頓算法或矩陣最速下降算法進(jìn)行迭代，求解最優(yōu)參數(shù)Λ0，使得

minimizejΨ(Λ)=-L(Φ0,Λ).

下面介紹如何針對具體的功率譜密度函數(shù)之間的度量求解朗格朗日參數(shù).

2 基于Hellinger距離的高維隨機(jī)過程功率譜密度及其仿真

Hellinger距離是一種能夠體現(xiàn)兩個分布之間距離的度量.假設(shè)在可度量空間(Θ，λ)中，P和Q分別代表對應(yīng)參數(shù)λ的兩個連續(xù)分布，則這兩個分布之間的Hellinger距離定義為：

對于該度量優(yōu)化參數(shù)Λ的求解是利用矩陣牛頓算法求解的.牛頓法雖然收斂速度很快，但其計(jì)算量大，對初值的依賴性很大.

現(xiàn)在，考慮均值為0，方差為I的二維高斯白噪聲過程通過一個平方整形濾波器得到的二維隨機(jī)過程的功率譜的估計(jì)，如圖1.圖1分別給出隨機(jī)采樣100個點(diǎn)，功率譜估計(jì)值Φ11(ejv),Re(Φ12(ejv)),Im(Φ12(ejv)),Φ22(ejv)與真實(shí)功率譜之間的比較.由圖1，我們發(fā)現(xiàn)基于Hellinger度量的THREE功率譜估計(jì)方法能夠有效地避免譜線分裂和譜峰偏移現(xiàn)象，對于高維隨機(jī)信號的譜估計(jì)具有很好的應(yīng)用價值.

圖1 功率譜估計(jì)與真實(shí)譜的比較

3 結(jié) 語

在功率譜估計(jì)中，對于一維隨機(jī)信號的譜估計(jì)的研究已相當(dāng)完善.隨著一維現(xiàn)代譜估計(jì)技術(shù)的發(fā)展及實(shí)際應(yīng)用中對高維隨機(jī)信號譜分析的需要，國內(nèi)外對高維譜估計(jì)的研究均非常重視.本文主要對現(xiàn)代THREE譜估計(jì)技術(shù)進(jìn)行了分析并通過實(shí)驗(yàn)仿真.通過分析和仿真可以看出基于Hellinger度量的譜估計(jì)方法分辨率高而且估計(jì)出的譜線十分平滑.

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Simulation of multivariable spectral estimation with THREE algorithm

LI Ying

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Power spectrum estimation, one of the basic problems of random signal processing, is to use the limited length of data to estimate the power spectrum of the signal. From the point of evolution, it can be divided into classical spectrum estimation and modern spectrum estimation. This paper considered the approximation of spectra in the Hellinger sense. Simulation results indicated that it could effectively detect spectral lines and steep variations in multivariable spectral estimation.

spectral estimation; distance; convex optimization; matricial Newton method

2014-09-22.

國家自然科學(xué)基金(61379014)

李 穎(1988-)，女，碩士，研究方向：多元信號譜分析.

TN911

A

1672-0946(2015)04-0506-04