蔣勇，趙作鵬，李躍新

（1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息技術(shù)系，江蘇徐州221008；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇徐州221008；3.湖北大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，湖北武漢430062）

基于貝葉斯方法的高魯棒性故障檢測(cè)技術(shù)

蔣勇1，趙作鵬2，李躍新3

（1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息技術(shù)系，江蘇徐州221008；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇徐州221008；3.湖北大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，湖北武漢430062）

摘要:故障檢測(cè)在控制工程領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，而魯棒性是衡量系統(tǒng)在故障檢測(cè)時(shí)的不確定性的重要指標(biāo).為了提高魯棒系統(tǒng)故障檢測(cè)的能力，基于貝葉斯的基本原理對(duì)系統(tǒng)的故障和不確定性進(jìn)行研究，提出一種基于貝葉斯方法的高魯棒性故障檢測(cè)方法.首先，對(duì)非線性系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題進(jìn)行定義，分析參數(shù)空間的不確定性問(wèn)題.其次，基于貝葉斯基本原理對(duì)參數(shù)空間的推導(dǎo)進(jìn)行分析.最后，通過(guò)分析系統(tǒng)正常運(yùn)行的參數(shù)空間與發(fā)生故障時(shí)的參數(shù)空間之間的成員關(guān)系來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè).實(shí)驗(yàn)表明，在四罐耦合系統(tǒng)中，提出的基于貝葉斯方法的故障檢測(cè)技術(shù)在系統(tǒng)模型參數(shù)具有不確定性的條件下可以很好地進(jìn)行故障識(shí)別.①

關(guān)鍵詞:故障檢測(cè)；魯棒性；貝葉斯；集合成員關(guān)系

0　引言

在控制工程領(lǐng)域，魯棒辨識(shí)技術(shù)［1］要求在獲得設(shè)備的標(biāo)稱模型時(shí)還要對(duì)該模型的不確定性進(jìn)行估計(jì).標(biāo)稱模型的不確定性可以特征化為參數(shù)空間的一個(gè)區(qū)域，或者頻率響應(yīng)附近的一個(gè)不確定波段.早期，不確定性模型在健壯控制器的設(shè)計(jì)上得到了廣泛的應(yīng)用［2］.近年，研究人員應(yīng)用不確定性模型進(jìn)行

系統(tǒng)的故障檢測(cè)［3］，在應(yīng)用不確定性模型進(jìn)行故障檢測(cè)時(shí)，主要對(duì)不確定性區(qū)域和新的測(cè)量方法之間的一致性進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)上述不一致性時(shí)，判定系統(tǒng)存在故障.對(duì)模型的不確定性進(jìn)行建模的方法主要有兩種：基于最差情況的確定性方法和隨機(jī)/概率方法.關(guān)于模型的不確定性進(jìn)行建模的詳細(xì)論述可參見(jiàn)文獻(xiàn)［4］.確定性方法主要是找到不缺性區(qū)域的硬邊界，常用的方法有集合成員關(guān)系技術(shù)［5］和通過(guò)確定性方法對(duì)模型的誤差進(jìn)行建模［6］.隨機(jī)方法，如非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)植入法，主要是找到不確定區(qū)域的概率邊界.最初隨機(jī)方法被認(rèn)為是不確定性建模的一種缺點(diǎn)，近年隨著健壯風(fēng)險(xiǎn)適應(yīng)控制器［7］和概率故障檢測(cè)［8］方法的提出，通過(guò)隨機(jī)方法對(duì)不確定性進(jìn)行建模得到了越來(lái)越多的重視.

在應(yīng)用隨機(jī)方法對(duì)模型的不確定性進(jìn)行建模時(shí)，研究人員從貝葉斯理論的角度出發(fā)對(duì)系統(tǒng)的識(shí)別進(jìn)行了重新審視［9］.在基于貝葉斯理論的不確定性建模中，可以依據(jù)數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布對(duì)模型進(jìn)行概率推理，具有很好的理論依據(jù).然而由于計(jì)算后驗(yàn)分布需要非常大的計(jì)算量，因而該方法在實(shí)際應(yīng)用中不多［10］.隨著蒙特卡洛馬爾科夫鏈技術(shù)的應(yīng)用，可以通過(guò)模擬技術(shù)對(duì)貝葉斯的推理過(guò)程進(jìn)行求解，因而大大提高了計(jì)算速度［11-12］.

本文中以貝葉斯方法為工具研究了集合成員關(guān)系的識(shí)別，并以此來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)故障的檢測(cè).分析集合成員關(guān)系模型的估計(jì)問(wèn)題，通過(guò)貝葉斯方法來(lái)確定模型中的可行參數(shù)，并檢測(cè)數(shù)據(jù)和模型之間的一致性.

1　基于貝葉斯的系統(tǒng)故障檢測(cè)

1.1問(wèn)題定義在故障檢測(cè)中，當(dāng)k=1,…,M時(shí)，非線性系統(tǒng)可表示為：

其中回歸函數(shù)F(k,θ)是參數(shù)θ的非線性函數(shù)；參數(shù)θ∈Θo是一個(gè)nθ×1的向量；Θo為參數(shù)空間，并且包含a個(gè)參數(shù)值的先驗(yàn)邊界；e(k)為未知的誤差項(xiàng)，并且滿足|| e(k)≤σ(k) .

包含M個(gè)輸入/輸出的非線性系統(tǒng)中，參數(shù)估計(jì)是確定與這些數(shù)據(jù)相一致的參數(shù)空間的區(qū)域［13］.這種一致性區(qū)域稱為可行參數(shù)集合（feasible parameter set，F(xiàn)PS），可以通過(guò)表示：

當(dāng)回歸函數(shù)退化為線性函數(shù)F(k,θ)=φT(k)θ時(shí)，公式（1）的參數(shù)化公式可簡(jiǎn)寫為

其中φT(k)為1×nθ維的回歸向量.此時(shí)，F(xiàn)PS可以表示為一個(gè)多面體.當(dāng)回歸函數(shù)為非線性時(shí)，F(xiàn)PS不再是凸多面體，而是復(fù)雜的集合圖形.為了避免對(duì)該復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，通常對(duì)FPS的內(nèi)部或者外部區(qū)域進(jìn)行簡(jiǎn)化，即近似可行參數(shù)集合.

在依據(jù)不含故障的數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)的FPS（估計(jì)值）后，通過(guò)判斷新數(shù)據(jù)與FPS的一致性來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的故障檢測(cè)，這種不一致性可以通過(guò)FPS與S(k)的交集進(jìn)行判斷.當(dāng)S(k)?FPS=?時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)產(chǎn)生故障.在線性系統(tǒng)中，如果待識(shí)別的數(shù)據(jù)量小時(shí)，那么這種不一致性可以通過(guò)線性優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行高效求解.當(dāng)識(shí)別的數(shù)據(jù)量很大時(shí)，可以采用近似方法，此時(shí)會(huì)相應(yīng)地產(chǎn)生故障誤報(bào).

1.2貝葉斯模型集合在貝葉斯方法中，用來(lái)描述模型不確定性的模型集合可以通過(guò)貝葉斯可靠模型集合（Bayesian credible model set，BCMS）進(jìn)行描述，即

其中y=(y(1),…,y(M))T，c(a)為給定的可靠性值，100(1-a)%為期望的可靠性水平.

BCMS是一種確定性的可行模型集合（feasible model set，F(xiàn)MS），既包含了后驗(yàn)信息，也包含了先驗(yàn)信息.在FMS中，先驗(yàn)信息包含于候選模型集合中，而候選模型同時(shí)包含模型類和噪音類.在BCMS中，先驗(yàn)信息可以通過(guò)誤差項(xiàng)pe(e)和模型p(G)的先驗(yàn)概率分布得到.測(cè)量數(shù)據(jù)y是一種后驗(yàn)信息，通過(guò)似然函數(shù)的方式引入到可靠模型中，即y在模型G條件下的觀測(cè)概率p(y|G) .依據(jù)貝葉斯理論，在給定條件y時(shí)，模型G的條件概率為：

其中分母p(y)為規(guī)范化常數(shù).通常情況下，可以將公式（5）記為p(G|y)∝p(y|G)p(G) .

1.3集合成員關(guān)系估計(jì)下面闡述如何應(yīng)用（5）式對(duì)（2）式定義的FPS進(jìn)行求解.由于（2）式所定義的區(qū)域描述了系統(tǒng)參數(shù)類型的不確定性，于是貝葉斯可靠模型轉(zhuǎn)化為貝葉斯可靠參數(shù)集合：

其中θ為模型的參數(shù)向量，p(θ)為模型的先驗(yàn)概率分布.在貝葉斯框架下，p(θ)是一種主觀概率，往往需要設(shè)計(jì)人員根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到.當(dāng)θ的正確取值未知時(shí)，假設(shè)θ是參數(shù)空間Θo上的某種分布p(θ) .

在給定誤差邊界σ=(σ(1),…,σ(M))T時(shí)，觀測(cè)結(jié)果y關(guān)于模型（參數(shù)向量）和誤差邊界的概率分布為p(y|θ,σ)=pe(y-y?|θ,σ)，其中y?=(y?(1),…,y?(M))，并且?k,y?(k)=F(k,θ) .

為了估計(jì)不確性區(qū)域的硬邊界，假設(shè)誤差項(xiàng)是均勻分布的，即?k,e(k)～V(-σ(k),σ(k))，其中σ(k)為集合成員關(guān)系的誤差邊界.此時(shí)，當(dāng)模型與測(cè)量值相一致時(shí)，似然函數(shù)為非0常數(shù)；否則，似然函數(shù)為0.我們的目的并不是得到θ的后驗(yàn)分布區(qū)域，而是得到θ為非0常數(shù)時(shí)的后驗(yàn)分布區(qū)域，并用該區(qū)域描述FPS.

在硬邊界FPS中，如果考慮不同的概率水平，那么可以對(duì)參數(shù)θ使用不同的先驗(yàn)分布.在軟邊界FPS中，可以對(duì)參數(shù)θ應(yīng)用高斯似然函數(shù)替代均勻似然函數(shù)，而似然函數(shù)可以應(yīng)用蒙特卡洛方法進(jìn)行估計(jì)得到.在變量誤差方法中，回歸函數(shù)本身就是誤差項(xiàng).區(qū)別于變量誤差，采用方程誤差方法，該方法假設(shè)每個(gè)樣本k都摻有誤差項(xiàng).假設(shè)每個(gè)樣本的誤差為e(k)=y(k)-y?(k)（y?(k)=F(k,θi)）是獨(dú)立同分布的，那么似然函數(shù)的計(jì)算方法為：

此時(shí)，可以通過(guò)近似方法得到FPS，即

1.4故障檢測(cè)對(duì)于k個(gè)非故障數(shù)據(jù)，在得到參數(shù)空間中θi的似然函數(shù)pe(y|θi,σ)后，進(jìn)行故障檢測(cè)的方法如下.對(duì)于每個(gè)測(cè)量值y(k)（k>M），計(jì)算新似然函數(shù)pe(y(k)-y?(k)|θi,σ(k))，并且驗(yàn)證是否存在θj∈BCMSθ同時(shí)滿足pe(y|θj,σ)≠0和pe(y(k)-y?(k)|θi,σ(k))≠0 .如果存在這樣的參數(shù)θj，那么它們構(gòu)成可行參數(shù)集合，即

一致性通過(guò)似然函數(shù)與參數(shù)的乘積進(jìn)行判斷，如果乘積對(duì)于θj∈BCMSθ中的所有參數(shù)都為0，即對(duì)于?θi，

那么測(cè)量值y(k)與可行參數(shù)集合{ }θ不一致，因而可以認(rèn)定系統(tǒng)發(fā)生故障.

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測(cè)的能力往往依賴于參數(shù)空間中網(wǎng)格的密度大小.網(wǎng)格越密集，系統(tǒng)能識(shí)別參數(shù)微小偏差的能力越強(qiáng)，因而能識(shí)別小的故障，但卻會(huì)導(dǎo)致更多的誤判行為.

2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1測(cè)試系統(tǒng)描述實(shí)驗(yàn)測(cè)試采用四罐耦合系統(tǒng)［14］，系統(tǒng)的輸入為電壓的脈沖v1和v2，輸出為水平值hi，i=1,…,4 ..為了對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行更好的說(shuō)明，本實(shí)驗(yàn)取輸出水平h1和h3，以及電壓v1，并認(rèn)為h1，h3和v1都是可以直接測(cè)量的，用來(lái)描述該動(dòng)態(tài)行為的方程為：

2.2無(wú)故障下的不確定性估計(jì)在無(wú)故障方案中，為了得到系統(tǒng)的不確定性FPS，即（11）式中a1和a3

在參數(shù)空間中的不確定性區(qū)域，獲取了M=140個(gè)測(cè)量結(jié)果.

在線性方案中，假設(shè)誤差均勻分布在60×60的網(wǎng)格中，其誤差在v(-σ,σ)上均勻分布.應(yīng)用集合成員關(guān)系方法對(duì)條帶進(jìn)行交差，得到了圖1所示的FPS，其中紅色的圓圈為凸多面體的頂點(diǎn).此外，通過(guò)對(duì)似然函數(shù)的采樣計(jì)算FPS區(qū)域的輪廓，見(jiàn)圖2.從圖1和2中可以看出，這兩個(gè)區(qū)域近似重合.

在非線性方案中，產(chǎn)生的FPS并不是參數(shù)的線性組合，而是一個(gè)多面性.通過(guò)應(yīng)用貝葉斯方法，得到了如圖3所示的可行參數(shù)集合，其中增益L=0.1.將圖2和3進(jìn)行對(duì)比可知，貝葉斯方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算得到的FPS邊界要小于線性的FPS.

圖1　線性系統(tǒng)可行參數(shù)集合，條帶交錯(cuò)法

圖2　線性系統(tǒng)可行參數(shù)集合，網(wǎng)格法

圖3　非線性系統(tǒng)可行參數(shù)集合，貝葉斯法

2.3故障檢測(cè)結(jié)果為了驗(yàn)證算法在故障識(shí)別時(shí)的能力，實(shí)驗(yàn)在正確運(yùn)行的系統(tǒng)中注入故障，并觀察了故障注入前后的系統(tǒng)狀態(tài).圖4為h1輸出變化，其中k=1 201，誤差項(xiàng)為0.035.

為了進(jìn)一步對(duì)故障的參數(shù)進(jìn)行分析，分別畫出了系統(tǒng)在無(wú)故障和有故障兩種情況下的參數(shù)，結(jié)果分別如圖5和6所示.從這兩幅圖中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)無(wú)故障（圖5）時(shí)，根據(jù)條帶交錯(cuò)得到的參數(shù)空間在兩個(gè)條帶的中間；當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障（圖6）時(shí)，系統(tǒng)的參數(shù)空間發(fā)生了偏移，落在多個(gè)條帶的同一側(cè).

圖4　故障識(shí)別示意圖

圖5　系統(tǒng)無(wú)故障時(shí)的參數(shù)集合

圖6　系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)的參數(shù)集合

最后，實(shí)驗(yàn)采用本文中提出的貝葉斯方法對(duì)線性系統(tǒng)的故障檢測(cè)進(jìn)行了分析，在a1∈(0.067,0.077) 和a2∈(0.067,0.077)的矩形范圍內(nèi)均勻的選取60×60個(gè)參數(shù).圖7為初始狀態(tài)與FPS對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)以及測(cè)試實(shí)例k=1 200時(shí)的似然函數(shù).在圖7中，新的似然函數(shù)完全覆蓋了FPS，因此它們的乘積為非0 值.由于兩個(gè)似然函數(shù)的乘積非0，可以認(rèn)定測(cè)試數(shù)據(jù)與模型一致，因而系統(tǒng)沒(méi)有產(chǎn)生故障.在圖8中，當(dāng)k=1 201時(shí)，兩個(gè)似然函數(shù)完全分開(kāi)了，它們的乘積為0，因而可以認(rèn)定觀測(cè)到的行為偏差并不是由于系統(tǒng)的不確定性產(chǎn)生的，即系統(tǒng)產(chǎn)生了故障.

在控制工程領(lǐng)域，魯棒辨識(shí)技術(shù)要求在獲得設(shè)備的標(biāo)稱模型的同時(shí)還要對(duì)該模型的不確定性進(jìn)行估計(jì).為了提高魯棒系統(tǒng)故障檢測(cè)的能力，筆者基于貝葉斯的基本原理對(duì)系統(tǒng)的故障和不確定性進(jìn)行了研究，提出了一種基于貝葉斯方法的高魯棒性故障檢測(cè)方法.本文中對(duì)非線性系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題進(jìn)行了定義，并分析了參數(shù)空間的不確定性問(wèn)題，基于貝葉斯基本原理對(duì)參數(shù)空間的推導(dǎo)進(jìn)行了分析，

通過(guò)分析系統(tǒng)正常運(yùn)行的參數(shù)空間與發(fā)生故障時(shí)的參數(shù)空間之間的成員關(guān)系來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè).實(shí)驗(yàn)表明，在四罐耦合系統(tǒng)中，提出的基于貝葉斯方法的故障檢測(cè)技術(shù)在系統(tǒng)模型參數(shù)具有不確定性的條件下可以很好地進(jìn)行故障的識(shí)別.

3　參考文獻(xiàn)

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（責(zé)任編輯趙燕）

圖7　系統(tǒng)正常狀態(tài)的似然函數(shù)分布

圖8　系統(tǒng)故障時(shí)的似然函數(shù)分布

Research on high robust fault detection based on Bayesian method

JIANG Yong1，ZHAO Zuopeng2，LI Yuexin3
（1. Department of Information Technology，Jiangsu Union Technical Institute，Xuzhou 221008，China；2. School of Computer Science and Technology，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008，China；3.School of Computer Science and Information Engineering，Hubei University，Wuhan 430062，China）

Abstract:Fault detection was applied extendly in control engineering field，and robustness is an important measure of uncertain for a system while detecting faults. In order to improve the performance of fault detection in robust systems，we studied the problem system’s fault and uncertain based on Bayesian principle，and proposed a Bayesian based robust fault detection method. Firstly，we defined the problem of fault detection for nonlinear systems，and analyzed their uncertainty of parameter space. Secondly，we analyzed how to infer the parameter space based on Bayesian principle. Finally，while detecting faults of a system，we analyzed the set membership between normal parameter space and faulty parameter space. The experiments showed that，in a quadruple-tank process，the proposed method could detect faults efficiently in a system with uncertain model parameters.

Keywords:fault detection；robustness；Bayesian；set-membership

作者簡(jiǎn)介：蔣勇（1977-），男，碩士，副教授；李躍新，通信作者，副教授，E-mail：51884285@qq.com

基金項(xiàng)目：江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（自然科學(xué)基金）（BK2012129）和湖北省國(guó)際交流與合作項(xiàng)目（2012IHA0140）資助

收稿日期：2015-03-18

文章編號(hào)：1000-2375（2015）06-0565-05

中圖分類號(hào):TP319

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2015.06.010