鞏長忠，李飛燕

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

一類變時(shí)滯的不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的線性廣義同步

鞏長忠，李飛燕

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

討論了一類變時(shí)滯的不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的線性廣義同步問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制方法，得到了網(wǎng)絡(luò)線性廣義同步的充分條件。此外，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含有時(shí)滯函數(shù)，且網(wǎng)絡(luò)的維數(shù)不同、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不恒等，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)也可以不同。最后數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)了該方法的合理性，并驗(yàn)證了同步速度受自適應(yīng)律強(qiáng)度的影響。

不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；線性廣義同步；變時(shí)滯；自適應(yīng)控制器

在過去的10年中，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已滲入到很多科學(xué)領(lǐng)域，如在物理學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、工程學(xué)和社會學(xué)都有著十分廣泛的應(yīng)用[1-3]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是節(jié)點(diǎn)間相互作用的大集合，在這個(gè)集合中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)是含有具體信息的基本單元。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的例子在自然界中普遍存在，包括因特網(wǎng)、萬維網(wǎng)（WWW）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)和人際關(guān)系網(wǎng)等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)就是其復(fù)雜性，包括網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)演化、節(jié)點(diǎn)多樣性等，這引起了許多學(xué)者對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的關(guān)注，特別是網(wǎng)絡(luò)的同步。網(wǎng)絡(luò)同步是一個(gè)重要且有趣的現(xiàn)象，已成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)焦點(diǎn)。到目前為止，許多同步的定義先后被學(xué)者提出，如完全同步[4]、滯后同步[5]、廣義同步[6]、投影同步[7]等。與此同時(shí)，也提出了許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的控制方法，如牽制控制[8]、反饋控制[9]、自適應(yīng)控制[10]、脈沖控制[11]等。然而許多研究僅僅關(guān)注在單個(gè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)間的同步，即內(nèi)部同步[12]。與之不同的是外部同步，指的是兩個(gè)或多個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的同步，這在現(xiàn)實(shí)世界中隨處可見，如艾滋病，禽流感和H1N1流感起初都是通過兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳播的。

眾所周知，目前已有很多關(guān)于兩個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究，但很少考慮時(shí)滯[13]或僅僅考慮了耦合時(shí)滯[10]，研究節(jié)點(diǎn)帶變時(shí)滯的就更少了。實(shí)際上，許多網(wǎng)絡(luò)的同步現(xiàn)象不僅受耦合時(shí)延影響而且也受節(jié)點(diǎn)時(shí)延的影響，如流行病毒的擴(kuò)散以及網(wǎng)絡(luò)的擁塞現(xiàn)象，還有物理網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境網(wǎng)絡(luò)和經(jīng)常接觸的醫(yī)學(xué)網(wǎng)絡(luò)，都受到了時(shí)延的影響。大多數(shù)時(shí)滯都是時(shí)變的，即系統(tǒng)的演變除了與系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)相關(guān)，還跟過去某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)相關(guān)。先前的很多文獻(xiàn)僅僅對節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含時(shí)滯的單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部同步進(jìn)行了研究[14]，而對于外部同步，研究節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)都含時(shí)滯函數(shù)的不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步是少之又少。因此，研究節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)都含變時(shí)滯的不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的線性廣義同步是很有現(xiàn)實(shí)意義的。

本文首先介紹了兩個(gè)完全不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，在模型中節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)都含有不同的時(shí)滯函數(shù)，然后基于Lyapunoy穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計(jì)合適的自適應(yīng)控制器，獲得了網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件，在廣義同步意義下響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)在控制器作用下漸近同步于驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)。這種方法適用于幾乎所有時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。最后數(shù)值結(jié)果證實(shí)了方法的有效性。

1 模型描述

考慮一類含有N個(gè)非恒等節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含不同時(shí)滯函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其形式如下

其中：xi（t）=（xi1，xi2，…，xin）T∈Rn代表第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)；fi（·）：Rn→Rn是可微的非線性連續(xù)函數(shù)；τ1（t）與τ2（t）為時(shí)滯函數(shù)；A∈Rn×n是內(nèi)部耦合矩陣；C=（cij）N×N∈RN×N是配置矩陣。矩陣C定義如下：若第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有關(guān)聯(lián)（i≠j），則cij≠0，反之cij=0，并且即C中每一行元素和為0，記方程（1）為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)。

把含有非線性控制器的時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)記為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，其形式如下

其中：yi（t）=（yi1，yi2，…，yim）T∈Rm代表第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)；gi（·）：Rm→Rm是可微的非線性連續(xù)函數(shù)；ui（t）∈Rm是控制器；B∈Rm×m是內(nèi)部耦合矩陣；D=（dij）N×N∈RN×N是配置矩陣，與矩陣C定義相同（C≠D）。即方程（2）與方程（1）具有不同的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但有相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

定義1 對于線性函數(shù)φ：Rn→Rm，如果驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（1）中的xi（t）和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（2）中的yi（t）滿足

則網(wǎng)絡(luò)（1）、網(wǎng)絡(luò)（2）達(dá)到 LGS（linear generalized synchronization），即線性廣義同步。其中φ（xi（t））= Pxi（t）+Q，P、Q都為常數(shù)矩陣且P∈Rm×n，Q∈Rm。

引理1 任給x，y∈Rn以及正定矩陣S，有[15]

引理2 對于非線性連續(xù)函數(shù) fi（xi（t），xi（tτ1（t））），假設(shè)存在常數(shù)α1≥0、α2≥0使得fi滿足semi-Lipschitz條件，則有[15]

其中：xi（t），yi（t）∈Rn，xi≠yi并且t≥0（i=1，2，…，N），即式（5）為向量不等式。

假設(shè)1 假設(shè)時(shí)滯函數(shù)τ1（t）、τ2（t）（＞0）是可微的（η1、η2為常數(shù)），并滿足以下條件[15]

2 同步理論分析

定理1 若假設(shè)1與下列3個(gè)條件同時(shí)成立：①響應(yīng)系統(tǒng)（2）是全狀態(tài)可測的；適應(yīng)同步控制器ui（t）滿足如下形式，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）與響應(yīng)系統(tǒng)（2）將達(dá)到線性廣義同步LGS，即

其中：λ、β是大于0的常數(shù)，用來調(diào)節(jié)同步誤差的振幅和同步誤差的收斂速度。

證明定義網(wǎng)絡(luò)（1）和網(wǎng)絡(luò)（2）的同步誤差為

設(shè)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

從而S是一個(gè)負(fù)定矩陣，即V˙（t）＜0。由Lyapunoy穩(wěn)定性定理可得

由此可知誤差ei（t）的0解是漸近穩(wěn)定的，故節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含時(shí)滯函數(shù)的兩個(gè)完全不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）和網(wǎng)絡(luò)（2）在控制器（7）的作用下實(shí)現(xiàn)了LGS。

注1 本文中耦合配置矩陣C和D不必是對稱或可約矩陣，對于內(nèi)部耦合矩陣A和B也沒任何約束條件，網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以代表不同的動(dòng)力學(xué)。最后，節(jié)點(diǎn)時(shí)滯函數(shù)τ1（t）和耦合時(shí)滯函數(shù)τ2（t）可以不同，因此以上介紹的方法適用于幾乎所有的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)。

注2 自適應(yīng)律強(qiáng)度λ可以提前選擇來調(diào)整同步速率，理論上λ值越大，同步速度就越快，然而對同步而言不等式λ＞λ*僅僅是一個(gè)充分條件而非必要條件，即當(dāng)λ＜λ*時(shí)，網(wǎng)絡(luò)（1）和網(wǎng)絡(luò)（2）也可以達(dá)到線性廣義同步。

3 數(shù)值仿真

為了證實(shí)上述方法的可行性，將在Matlab環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值仿真。為了便于仿真，研究由10個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，分別選取三維和四維的系統(tǒng)，描述如下

其中：xi1、xi2、xi3為第i個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量（i=1，2，…，10）；τ1（t）為節(jié)點(diǎn)的時(shí)滯函數(shù)。

其中：yi1、yi2、yi3、yi4為第i個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量；τ1（t）為節(jié)點(diǎn)的時(shí)滯函數(shù)。

由于網(wǎng)絡(luò)的配置矩陣是任意的，所以不妨取網(wǎng)絡(luò)的配置矩陣C和D為

取內(nèi)部耦合矩陣為恒等矩陣，即A∈I3×3，B∈I4×4，為簡單起見，取時(shí)滯函數(shù)τ1（t）=τ2（t）=0.1-0.02cos 2t，由于故取η=0.05，則整個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為

在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，取式（16）作為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，式（17）作為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。取α1=α2=1，則

由式（15）可知

故取λ=500。驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的初值在（0，1）之間任意取。在Matlab環(huán)境下進(jìn)行模擬試驗(yàn)，利用定理1中的控制器如圖1所示，可以看到同步誤差曲線ei1、ei2、ei3與ei4隨著時(shí)間的推移都趨于0。

圖1 λ=500時(shí)系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.1 Synchronization error curves with λ=500

若令λ=600，其它值不變，在Matlab環(huán)境下進(jìn)行模擬試驗(yàn)，利用定理1中的控制器如圖2所示，可以看到同步誤差曲線ei1、ei2、ei3與ei4隨著時(shí)間的推移都趨于0。比較圖1與圖2的誤差曲線，可以看出圖2比圖1同步的速度要快，從而可得λ值越大，同步速度就越快。

圖2 λ=600時(shí)系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.2 Synchronization error curves with λ=600

令λ=100，其它值不變，利用定理1中的控制器在Matlab環(huán)境下進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示，可以看出同步誤差曲線ei1、ei2、ei3與ei4也可以趨于0，即驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)在λ＜λ*時(shí)也可以趨于同步，同步速度較圖1、圖2慢，從而可驗(yàn)證λ＞λ*僅僅是網(wǎng)絡(luò)同步的一個(gè)充分而非必要條件。

圖3 λ=100時(shí)系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.3 Synchronization error curves with λ=100

4 結(jié)語

在實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含時(shí)滯的不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是不可避免的，而這在以往的研究中常常被忽略。本文采用自適應(yīng)控制的方法考慮了節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均帶時(shí)滯函數(shù)的兩個(gè)不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的線性廣義同步。每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)不恒等且網(wǎng)絡(luò)維數(shù)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也不同，最后數(shù)值仿真證實(shí)了方法的有效性，并對同步的快慢進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)同步速度受自適應(yīng)強(qiáng)度λ影響，λ越大同步越快。

現(xiàn)有與此類似的研究主要有如下兩個(gè)方面的工作：①節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)均含時(shí)滯函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，此模型僅針對內(nèi)部同步而言；②兩個(gè)不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的耦合項(xiàng)含變時(shí)滯，而節(jié)點(diǎn)不含時(shí)滯的自適應(yīng)外部同步模型。本文模型對耦合項(xiàng)含時(shí)滯而節(jié)點(diǎn)不含時(shí)滯的外部同步情況進(jìn)行推廣，具有更廣的適用范圍。

[1]DAI Y，CAI Y Z，XU X M.Synchronization criteria for complex dynamical networks with neutral-type coupling delay[J].Physica A，2008，387：4673-4682.

[2]呂金虎.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步理論、方法、應(yīng)用與展望[J].力學(xué)進(jìn)展，2008，38（6）：713-722.

[3]LIU Y Z，JIANG C S，LIN C S，et al.Chaotic synchronization secure communications based on the lorenz systems switch[J].Journal of Electronics＆Information Technology，2009，29（11）：2641-2644.

[4]AGIZA H N.Chaos synchronization of Lü dynamical system[J].Nonlinear Analysis，2004，58（1/2）：11-20.

[5]LI C D，LIAO X F，WONG K W.Chaotic lag synchronization of coupled time-delayed systems and its applications in secure communication[J].PhysicaD：NonlinearPhenomen，2004，194（3/4）：187-202.

[6]RULKOV N F，SUSHCHIK M M，TSIMRING L S，et al.Gneralized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems[J]. Phys Rev E，1995，51：980-994.

[7]LI G H.Modified projective synchronization of chaotic system[J].Chaos Solitons and Fractals，2007，32（5）：1786-1790.

[8]WANG S G，Yao H X.Pinning synchronization of time-varying delay coupledcomplexnetworkswithtime-varyingdelayeddynamicalnodes[J]. Chin Phys B，2012，21（5）：119-125.

[9]WU X J，LU H.Generalized function projective（lag，anticipated and complete）synchronization between two different complex networks with nonidentical nodes[J]//Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，17（7）：3005-3021.

[10]ZHENG S，WANG S G，DONG G G，et al.Adaptive synchronization of two nonlinearly coupled complex dynamical networks with delayed coupling[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，17：284-291.

[11]LI K，LAI C H.Adaptive-impulsive synchronization of uncertain complex dynamical networks[J].Phys Lett A，2008，372：1601-1606.

[12]羅 群，吳 薇，李麗香，等.節(jié)點(diǎn)含時(shí)滯的不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步研究[J].物理學(xué)報(bào)，2008，57（3）：1529-1533.

[13]DAI H，JIA L X，ZHANG Y B.Adaptive generalized matrix projective lag synchronization between two different complex networks with nonidentical nodes and different dimensions[J].Chin Phys B，2012，21（12）：141-152.

[14]李紅敏，褚衍東，張建剛，等.帶有時(shí)變時(shí)滯和線性耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，36（2）：50-55.

[15]WANG S G，YAO H X.Pinning synchronization of time-varying delay coupledcomplexnetworkswithtime-varyingdelayeddynamicalnodes[J]. Chin Phys B，2012，21（5）：1-7.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Generalized linear synchronization of different complex networks with time-varying delays

GONG Chang-zhong，LI Fei-yan
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Generalized linear synchronization of different complex networks with time-varying delays is introduced.Based on Lyapunov stability theory，some generalized linear synchronization sufficient conditions are derived by adaptive control method.Furthermore，each network with time-varying coupling delays and time-varying delays in dynamical nodes may have different dimensions and its topological structure is also nonidentical.Nodes in either network may have identical or different dynamics.A numerical simulation example is also provided to testify the rationality of the current method，demonstrating that the synchronization rate is affected by adaptive law strength.

different complex networks；generalized linear synchronization；time-varying delays；adaptive controller

TP273

：A

：1674－5590（2015）06－0055－06

2014-07-04；

：2014-09-19

：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)（ZXH2012K002，3122014K008）；天津市自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目（13JCQNJC04400）；中國民航大學(xué)科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（2012QD10X）

鞏長忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制.