苗長云，王有璽，高 華，苗春澆

（1.天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100044）

Duffing系統(tǒng)中微弱信號起始點的檢測

苗長云1，王有璽1，高 華1，苗春澆2

（1.天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100044）

為從時域上檢測微弱信號在系統(tǒng)中出現(xiàn)的時間點，提出了一種基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號起始點的間接檢測方法.首先將微弱信號與Duffing系統(tǒng)自身的信號相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號，再利用dmey小波對待測信號加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進行時域分析，可較準(zhǔn)確測出微弱信號的起始點.由于混沌系統(tǒng)本身對高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性.仿真結(jié)果顯示：該方法能有效地從時域上檢測到微弱信號的起始點，其相對誤差可達到10-3s，可應(yīng)用于心動信號特征參數(shù)的提取.

Duffing系統(tǒng)；微弱信號；起始點檢測；dmey小波分析

近年來，微弱信號的檢測已在很多領(lǐng)域大量應(yīng)用.目前，采用Duffing振子利用混沌、大尺度周期的相態(tài)變化對驅(qū)動信號幅值的敏感性進行微弱信號的檢測已成為研究的熱點[1-4].周玲等[5]采用Duffing混沌振子系統(tǒng),通過判斷相軌跡的狀態(tài)變化對微弱信號進行檢測研究.Wang等[6]提出了一種利用諧振與混沌之間過渡檢測微弱信號的方法，并且利用Melnikov的方法確定了混沌的閾值，該方法是從頻域上展開分析的.Liu等[7]等闡述微弱信號在高斯白噪聲的影響下引起系統(tǒng)由混沌態(tài)進入大尺度周期態(tài)的過程，改進了檢測系統(tǒng)降低信噪比的方法，研究了噪聲對Lyapunov指數(shù)的影響.但是以往采用Duffing系統(tǒng)對微弱信號檢測的研究重點放在混周漸變的狀態(tài)變化上，利用混周漸變的狀態(tài)變化實現(xiàn)對微弱信號的檢測.一方面，由于混周漸變的閾值無法準(zhǔn)確求出，目前只能求得近似值，對測量精度有一定的影響；另一方面，缺少從時域上對暫態(tài)微弱信號的變化過程進行分析.實際上，采用Duffing振子的微弱信號檢測，不應(yīng)僅局限于對系統(tǒng)的狀態(tài)變化進行分析，還需要在時域上對微弱信號加入系統(tǒng)后系統(tǒng)的軌道偏離過程進行分析，以準(zhǔn)確判斷出待檢測信號在系統(tǒng)中出現(xiàn)的時間點.本文提出了一種基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號起始點檢測方法.采用間接測量的方法，將微弱信號與Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號，再利用dmey小波對待測信號加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進行時域分析，由于混沌系統(tǒng)本身對高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性，能夠準(zhǔn)確檢測出微弱信號的起始點，這對于心動信號特征參數(shù)的提取[8-9]具有重要意義.

1 檢測原理

Duffing振子方程為

式中：（-x+x3）為非線性系統(tǒng)恢復(fù)力項；k為系統(tǒng)阻尼比；γ為周期策動力的幅值；ω為策動力的角頻率.

一般來說，在系統(tǒng)的阻尼比k和策動力的角頻率ω一定的條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)會隨著周期策動力γ的幅值變化而變化[10].隨著γ的逐漸增大，系統(tǒng)會出現(xiàn)有規(guī)律的變化，要歷經(jīng)同宿軌道、分叉軌道、混沌軌道、臨界周期狀態(tài)和大尺度周期狀態(tài)等.

當(dāng)γ0＜γd（系統(tǒng)由混沌態(tài)躍遷至大尺度周期態(tài)的臨界閾值）時，系統(tǒng)會處于混沌態(tài)，其相態(tài)表現(xiàn)出無窮嵌套自相似結(jié)構(gòu)和內(nèi)在的隨機性，每一時刻所處的狀態(tài)和位置均不相同.

當(dāng)輸入信號摻雜高斯白噪聲的干擾時，由于混沌系統(tǒng)本身具有一定的抗噪能力，得到的相態(tài)圖會變成具有一定鋸齒狀的混沌態(tài)，但其狀態(tài)并未發(fā)生變化.

本文利用系統(tǒng)的混沌態(tài)對微弱信號進行檢測，其檢測系統(tǒng)的方程為

式中：γsin（ωt）為待檢測微弱信號；μ（t-ts）為階躍信號，使待檢測微弱信號在t=ts時刻加入系統(tǒng)；s（t）為高斯白噪聲.檢測原理如下：調(diào)整系統(tǒng)的驅(qū)動幅值γ0，使得系統(tǒng)處于混沌態(tài)，在不加入待測微弱信號的情況下，對系統(tǒng)（1）進行仿真，得到相平面的軌跡（x1（t），y1（t））；固定驅(qū)動幅值γ0，加入待測微弱信號γsin（ωt）μ（t-ts），再次對系統(tǒng)（1）進行仿真，再次得到相平面的軌跡（x2（t），y2（t））.由Duffing方程的性質(zhì)可知，該信號的加入，不一定會改變系統(tǒng)（1）所處的相態(tài)，但會在該信號加載的時刻起，使相平面的軌道偏離原有軌跡，即Δx=|x2-x1|＞0，Δy=|y2-y1|＞0.檢測該軌跡的偏移值，利用dmey小波[11]對Δx、Δy信號進行時域分析，可準(zhǔn)確得出待檢測信號的起始點.

本文采用四階R-K來分析加入待測信號前后的Duffing方程軌跡的偏離值.

當(dāng)沒有待檢測信號γ0sin（ωt）時，系統(tǒng)的方程如式（1）所示，令y=x′，則方程可轉(zhuǎn)化為

采用四階的R-K法進行分析，設(shè)f（t，x，y）=x′，g（t，x，y）=y′，則方程轉(zhuǎn)化為

將（4）式代入（5）式化簡，由于采用RK的步長較小，可約去步長h的高階小量，可得

當(dāng)存在待檢測信號γsin（ωt）時，則（3）式變?yōu)?/p>

同理采用四階RK法可得

由（2）式中μ（t-ts）為階躍函數(shù)，則可以設(shè)階躍信號在ts時刻加入系統(tǒng)，即當(dāng)t=ts時刻待檢測信號γsin（ωt）開始加入系統(tǒng)，滿足

如果在t=ts+1時刻待測信號未加入系統(tǒng)，則滿足（6）式，即

當(dāng)t=ts+1時，階躍信號μ（t-ts）=1，待檢測信號加入系統(tǒng)，則滿足（8）式，即

將（11）式與（10）式相減，可得待測信號對系統(tǒng)造成的軌跡偏離

由（12）式可知，因Δxs中含有h的高階項，利用時域分析方法對Δys進行分析會比較容易獲取起始點值.

因此，本文利用dmey小波對Δys進行時域分析，以獲取系統(tǒng)軌道偏離的起始位置，進而實現(xiàn)對待檢測信號的起始點進行檢測.

文中采用dmey小波即meyer小波[12-13]的表達式為

其中ν（a）函數(shù)的表達式為

因文中采用的ω=10 rad/s值并不在上述范圍內(nèi)，故要讓跳變點出現(xiàn)在第一層的話，需要對（ω）函數(shù)進行平移[14].對ω向右平移2π后可符合（13）式中的第1式，則第1式可變?yōu)?/p>

則相應(yīng)的ν（a′）可變?yōu)?/p>

聯(lián)合（15）式和（16）式，將 ω=10 rad/s代入，可得（10）=26.198 14ei.當(dāng)ω的取值不在（15）式范圍內(nèi)時，例如ω=1 rad/s時，（1）=0，因此利用meyer小波對此進行時域分析會得到較好的階躍現(xiàn)象，容易獲取跳頻點.

則相應(yīng)的ν（a′）可變?yōu)?/p>

2 仿真分析

按照方程（1）建立混沌態(tài)微弱信號測量系統(tǒng)，為確保系統(tǒng)處于混沌態(tài)，就要先確定系統(tǒng)的閾值γd[15].利用melnikov的定義對（3）式進行分析，可得γ0的下限為γ0＞0.376 5，利用相態(tài)圖進行實驗估計，可得出其閾值上限γd在0.725 616 119 2～0.725 616 119 3之間，即當(dāng)0.725 6＞γ0＞0.376 5時，系統(tǒng)將處于混沌態(tài)，故仿真中可令γ0=0.625 5＜γd.

當(dāng)k=0.5，ω=10 rad/s時，仿真得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，利用MATLAB分別保存此狀態(tài)下不同時刻各信號的位置，記為x1，y1.

設(shè)待檢測微弱信號和高斯白噪聲的混合信號在ts=37 s時加入，再次仿真，保存此狀態(tài)下的不同時刻信號的位置，記為x2，y2.然后分別求得兩組信號的差值Δx=|x2-x1|，Δy=|y2-y1|，其時域圖如圖1所示，由圖中可以準(zhǔn)確得到待檢測微弱信號的存在.

圖1 待檢測信號加入系統(tǒng)后軌道前后的偏離時域圖Fig.1 Time domain chart of track deviation as signal to be adding into system

再利用dmey小波對信號的差值進行時域分析，如圖2（a）所示，可以清晰地看到在某時刻信號的Δy發(fā)生跳躍，將變化點圖像放大得到圖2（b），讀取數(shù)值可知，信號在ts=37.001 s時加入系統(tǒng)，這與初始設(shè)定值基本吻合.

同理，令ω分別取值10、7、1 rad/s時，當(dāng)ts=21、15、9 s時進行實驗仿真，得到的實驗數(shù)據(jù)如表1所示.

由表1可以看出，采用dmey小波分解方式進行時域分析，能比較準(zhǔn)確地測量出待檢測信號的起始點.測量精度在實驗中能到達毫秒級別，實驗誤差較小，證實了本文方法的有效性.

圖2 經(jīng)dmey小波分析后的時域圖Fig.2 Time domain chart after dmey wavelet analysis

表1 dmey小波分析結(jié)果Tab.1 Results of dmey wavelet analysis

3 結(jié)束語

本文提出了基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號起始點檢測方法.由于微弱信號本身不易被直接測量，故采用間接測量的方法，首先將微弱信號與Duffing系統(tǒng)自身的信號相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號，再利用dmey小波對待測信號加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進行時域分析.由于混沌系統(tǒng)本身對高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性.仿真結(jié)果顯示，該方法能有效的從時域上檢測到微弱信號的起始點，其相對誤差可達到10-3s.這對于心動信號中第一心音和第二心音的特征提取具有重要意義.

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Starting point detection of weak signal in Duffing system

MIAO Chang-yun1，WANG You-xi1，GAO Hua1，MIAO Chun-jiao2
（1.School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.School of Electronics and Information Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

In order to detect the starting point where a weak signal appears in the system from the time domain，an indirect method which can detect the starting point of weak signal based on Duffing system is propsed.Firstly，the weak signal is added with Duffing signal together，after the mixed signal is measured，the Duffing signal is eliminated from the mixed signal.Sencondly，the dmey wavelet is used to analyze the process of track deviation from the time domain，the starting point can be detected accurately.Because of the immune characteristics of chaotic system itself to Gauss noise，the proposed method has a certain anti-noise.The simulation results show that the proposed method can detect the starting point of the weak signal from time domain effectively，the relative error can reach 10-3s.It can be used to extract the characteristic parameters of heart sounds.

Duffing system；weak signal；starting point detection；dmey wavelet analysis

TN 911.7

A

1671－024X（2015）02－0080－04

2014-10-11

天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金計劃項目（20110626）

苗長云（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為現(xiàn)代通信網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)、光電檢測技術(shù).E-mail：miaochangyun@tjpu.edu.cn