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Kriging插值和有限元插值在工程問題中的對比

2015-03-03 20:34:57陳澤淇
中國高新技術(shù)企業(yè) 2015年36期

摘要:文章首先給出了Kriging插值和有限元插值的原理,然后用兩種方法分別對三維體電阻率進(jìn)行插值,并將插值結(jié)果進(jìn)行三維成像,比較兩種插值算法的效果,其結(jié)果是有限元插值效果優(yōu)于普通Kriging插值,且算法復(fù)雜度和計算量相對較小,最后探討了兩種插值算法在工程上的推廣。

關(guān)鍵詞:空間插值;有限元插值;Kriging插值;電阻率插值;數(shù)據(jù)三維成像 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

中圖分類號:O241 文章編號:1009-2374(2015)36-0057-03 DOI:10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.36.027

在工程實踐中,考慮到成本和測量技術(shù)等原因,通常無法對一個物體進(jìn)行密集測量,只能獲得部分測量數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)往往不能滿足研究的需求。因此,需要用科學(xué)、合理的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擴充。數(shù)據(jù)擴充可以通過補充測量和插值來完成。前者需要投入大量的時間和金錢;后者雖然存在一定誤差,但可以節(jié)省大量人力物力,并能滿足一般工程問題的精度要求。由于工程中研究的對象大多是三維實體,需要擴充的數(shù)據(jù)也是空間數(shù)據(jù),因而研究空間數(shù)據(jù)插值方法對實踐具有重要指導(dǎo)作用。本文介紹了地統(tǒng)計學(xué)中應(yīng)用較多的Kriging插值和力學(xué)分析中廣泛使用的有限元插值,并用兩種方法分別對空間電阻率進(jìn)行插值,將插值結(jié)果進(jìn)行三維成像,從而對比其在工程問題中的效果,分析其在其他領(lǐng)域的推廣可行性。

1 空間插值的概念及分類

空間數(shù)據(jù)插值是用已知點的數(shù)據(jù)來估算、預(yù)測未知點數(shù)據(jù)的過程。按插值范圍可分為空間內(nèi)插和空間外推。內(nèi)插是通過已測量點的數(shù)據(jù)推求區(qū)域內(nèi)未測量點的數(shù)據(jù),外推則是推求區(qū)域外的數(shù)據(jù)。本文分析的Kriging插值和有限元插值是兩種典型的內(nèi)插算法。

2 有限元插值方法概述

有限元插值的核心在于單元和插值函數(shù)的構(gòu)造,即選擇合適的單元結(jié)構(gòu),并構(gòu)造待插區(qū)域的插值多項式,然后利用節(jié)點條件,將插值多項式的待定參數(shù)表示成節(jié)點值和單元幾何參數(shù)的函數(shù),即得到形函數(shù),然后構(gòu)造出插值函數(shù)。下面以六面體單元為例介紹有限元插值函數(shù)的構(gòu)造方法:

2.1 建立局部坐標(biāo)系

設(shè)局部坐標(biāo)系為(ξ,η,ξ),任意六面體的頂點為

(i=1,2…,8),如圖1。首先利用雙向距離坐標(biāo),把四邊形變換成坐標(biāo)面上的單位正方形,把變換成坐標(biāo)面上的單位正方形。然后把兩個單位四邊形中具有相同局部坐標(biāo)的點連成線段,最后沿線段方向從下到上定義距離坐標(biāo),和上的單位正方形上的點的分別為0和1。于是六面體上任意一點的局部坐標(biāo)可表示為(ξ,η,ξ)。至此,坐標(biāo)系中任意六面體單元與局部坐標(biāo)系中的單位立方體之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

2.3 寫出插值函數(shù)

3 克里金(Kriging)插值方法概述

Kriging插值又叫空間自由協(xié)方差最佳內(nèi)插,其原理是根據(jù)已測量數(shù)據(jù)的空間位置和相關(guān)程度的不同,將不同的權(quán)賦給每個數(shù)據(jù),并進(jìn)行滑動加權(quán)平均,從而估計未測量區(qū)域的數(shù)據(jù)。其基本假設(shè)建立在空間相關(guān)先驗?zāi)P蜕?,要求空間數(shù)據(jù)(區(qū)域化變量)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)或本征假設(shè)。下面介紹普通Kriging插值方法的基本步驟:

3.1 計算半方差

3.2 繪制半方差圖

在半方差圖中,橫軸表示距離,縱軸表示半方差。圖中有三個參數(shù):nugget、sill和range。其中,nugget是塊金值,表示距離為零時的半方差;sill是基臺,表示基本達(dá)到穩(wěn)定時的半方差;range是變程,在變程內(nèi)數(shù)據(jù)具有相關(guān)性(即半方差隨距離增加而增大),變程外的數(shù)據(jù)之間互不相關(guān)(即半方差趨于恒定)。

3.3 選擇模型并求得相應(yīng)參數(shù)

做出半方差曲線后需要尋找與之?dāng)M合最好的理論變異函數(shù)模型,常用的模型有高斯模型、球狀模型、線性模型和指數(shù)模型等。

4 兩種插值方法在實際應(yīng)用中的比較

以空間中某三維體電阻率數(shù)據(jù)為例,通過插值將數(shù)據(jù)加密10倍。在MATLAB中編程,使用有限元插值和Kriging插值建立其數(shù)學(xué)模型。為了直觀地比對插值后的效果,采用不同的顏色來表示電阻率的大小,并做出某一截面電阻率的顏色圖。

數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的顏色圖,可以明顯看出,插值后電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致,只是前者像素更高,顏色變化也更加平滑。Kriging插值后的平均值更接近于原始數(shù)據(jù),而有限元插值后的標(biāo)準(zhǔn)差要小于Kriging插值。采用有限元插值得到的圖像比Kriging算法得到的圖像更平滑。

5 兩種算法復(fù)雜性和計算量評估

5.1 算法復(fù)雜性概述

所謂算法復(fù)雜性是指算法運行時所需的計算機資源的量,其中所需的時間資源稱為時間復(fù)雜性,需要的存儲器資源稱為空間復(fù)雜性。這些所需的資源的量集中反映了算法所采用方法的效率,與運行該算法的計算機無關(guān)。也就是說,所需的資源的量只依賴于算法本身的函數(shù)、算法要解決問題的規(guī)模和算法的輸入輸出。

5.2 算法復(fù)雜度和計算量評估

從空間復(fù)雜性上講,Kriging算法含有大量矩陣運算,而有限元插值中的數(shù)據(jù)都是實數(shù),顯然Kriging算法運行時需要更多的存儲空間,具有更高的空間復(fù)雜性。從時間復(fù)雜性上講,Kriging算法含有大量矩陣運算,而有限元插值只是進(jìn)行最基本的四則運算,顯然Kriging算法具有更大的計算量,即更高的時間復(fù)雜性。

綜上,Kriging算法具有更高的復(fù)雜度和計算量。

6 結(jié)語

第一,在實際問題中,通常需要許多位置的數(shù)據(jù)來解決必要的問題,但是由于技術(shù)與測量成本等原因,我們只能等間隔地選取部分點進(jìn)行測量或選取容易測量的部分進(jìn)行測量,因此必須對空間數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。本文以對三維體電阻率插值問題求解為例,建立的兩種空間數(shù)據(jù)的插值模型,就是很好的兩種算法,這兩個模型具有重要的實際意義。

第二,從平均值這一指標(biāo)來看,Kriging插值效果更好。從標(biāo)準(zhǔn)差這一指標(biāo)來看,有限元插值效果更好。采用有限元插值得到的圖像比Kriging算法得到的圖像更平滑??紤]到計算量和復(fù)雜度,有限元插值算法不僅相對簡單,而且效果不錯。此外,我們在建立模型的過程中用到的分析問題、解決問題的方法,對其他工程問題及數(shù)學(xué)模型仍可使用。

第三,本文中有限元插值采用8節(jié)點的六面體作為基本單元,實際上還有9節(jié)點和20節(jié)點的六面體單元和四面體單元等一系列基本單元可供選用,有限元方法還有很大的潛力。

第四,本文中采用的是普通Kriging插值,實際上針對不同的情況,還有泛Kriging、協(xié)同Kriging、貝葉斯Kriging和指示Kriging等多種變化,以更好地處理各類具體問題。

第五,有限元方法最早應(yīng)用于力學(xué)分析,在靜電場和電磁場的插值中也有應(yīng)用,其核心思想可以推廣到一般連續(xù)介質(zhì)的空間插值問題中,本文中用其對電阻率數(shù)據(jù)插值就是一個很好的例子。

第六,Kriging插值起源于地統(tǒng)計學(xué),該方法不僅考慮待插點位置與已測量數(shù)據(jù)位置的相互關(guān)系,而且還考慮數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性,在數(shù)學(xué)上提供了一種無偏最優(yōu)估計的方法。該方法依賴于數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計模型,在空間數(shù)據(jù)處理上具有一定的普適性,可以推廣到諸如氣象分析等其他數(shù)據(jù)的插值中。

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作者簡介:陳澤淇(1993-),男,陜西西安人,西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院學(xué)生,研究方向:自動化。

(責(zé)任編輯:陳 潔)

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