陳安寧

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 慶陽(yáng) 745000 )

一類(lèi)食餌染病且垂直傳染的生態(tài)流行病擴(kuò)散模型的整體性態(tài)

陳安寧

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 慶陽(yáng) 745000 )

研究一類(lèi)具有空間擴(kuò)散和食餌染病且垂直傳染的生態(tài)—流行病模型的整體性態(tài).首先討論解的存在唯一性和一致有界性; 其次由線性化方法得到了該模型非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的充分條件, 并構(gòu)造恰當(dāng)?shù)?Lyapunov泛函證明非負(fù)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性, 得到了捕食者滅絕、疾病消失和疾病成為地方病的充分條件.

垂直傳染; 空間擴(kuò)散; 生態(tài)流行病模型; 穩(wěn)定性

0 引 言

1927年Kermack等開(kāi)創(chuàng)性的構(gòu)造了著名的SIR倉(cāng)室模型后 , 流行病模型的研究越來(lái)越受到重視[1-6]. 文獻(xiàn)[1]研究了疾病僅在食餌中傳播的捕食者—食餌模型. 文獻(xiàn)[3] 研究了疾病在食餌和捕食者之間傳播的捕食者—食餌模型. 此外還有許多傳染病模型[5-6], 但某些傳染病能夠垂直傳染, 文[4]首先建立并討論了如下捕食者—食餌系統(tǒng)中食餌染病且垂直感染的傳染模型給出了非負(fù)平衡點(diǎn)的存在條件, 并得到了非負(fù)平衡點(diǎn)局部和全局穩(wěn)定的充分條件. 然而, 很少有關(guān)于帶流行病種群擴(kuò)散模型解的定性性質(zhì)的已知結(jié)果. 本文將主要討論在Neumann邊界條件下具有空間擴(kuò)散和食餌染病且能夠垂直傳染的捕食者—食餌模型解的一致有界性,平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性, 其中Ω?是邊界?Ω光滑的有界區(qū)域,η是?Ω上的單位外法向量,?η=?/?η;u1,u2分別表示食餌中易感者和感染者種群密度,u3表示捕食者的密度;K,a,b,d,β,δ,ri(i=1,2),di(i=1,2,3) 都是正常數(shù);di是種群ui(i=1,2,3)的擴(kuò)散系數(shù).ri為食餌中易感者和感染者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率, 由于要考慮因病死亡,所以r1>r2;K為環(huán)境最大容納量;β為傳染率;a,b為捕食系數(shù),b≥a表示捕食者更易捕到染病的食餌;δ為消化系數(shù);d表示捕食者的死亡率.

(1)

(2)

本文內(nèi)容安排如下: 第2節(jié)討論解的一致有界性. 第3, 4節(jié)分別討論平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性.

1 一致有界性

其中

M2是依賴(lài)于|Ω|(2)的系數(shù)及初值u0,v0的正常數(shù).

(2)中的3個(gè)方程在Ω上積分并求和, 得

‖ui(x,t)‖L∞(Ω)≤M2,i=2,3,

M2是依賴(lài)于Ω,(2)的系數(shù)及初值ui0(i=1,2,3)的正常數(shù).故T=+∞.

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

(2)對(duì)應(yīng)的常微分方程組在E0(0,0,0),E1(K,0,0) 處不穩(wěn)定. 而(2)對(duì)應(yīng)的常微分方程組的解是(2)的特解, 從而E0(0,0,0)和E1(K,0,0) 也是(2)的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 下面討論平衡點(diǎn)E2,E3,E4,E5的穩(wěn)定性.

(2)在u*處的線性化方程為ut=Lu.對(duì)任i≥1,Xi是算子L的不變子空間,λ是算子L在Xi上的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ是-μiD+Fu(u*)的特征值.-μiD+Fu(u*)的特征方程為

λ3+A1iλ2+A2iλ+A3i=0,

其中

A1i=μi(d1+d2+d3)+B1,

I1=(d1d2+d1d3+d2d3)(d1+d2+d3)-d1d2d3,

I2=-{(a11+a22)[d1d2+d3(d1+d2+d3)]+(a11+a33)[d1d3+d2(d1+d2+d3)]+(a22+a33)[d2d3+d1(d1+d2+d3)]},

I3=B2(d1+d2+d3)-B1[d1(a22+a33)+d2(a11+a33)+d3(a11-a22)]- [d1(a22a33-a23a32)+d2(a11a33-a13a31)+d3(a11a22-a12a21)]=d1[B2+(a11+a22+a33)(a22+a33)-a22a33+a23a32]+d2[B2+(a11+a22+a33)(a11+a33)-a11a33+a13a31]+d3[B2+(a11+a22+a33)(a11+a22)-a11a22+a12a21],

那么I1,I2,I3,I4均大于0, 故Hi>0.又A1i>0,A3i>0.根據(jù)Routh-Hurwitz判別法得, 對(duì)任i≥1,λi1,λi2,λi3均有負(fù)實(shí)部.

下證存在正常數(shù)δ, 對(duì)任意i≥1有

Re{λi1},Re{λi2},Re{λi3}≤-δ.

(3)

令λ=μiξ，則

當(dāng)i→∞時(shí)，μi→∞有

那么，當(dāng)i≥i0時(shí)

注1 文[4]給出了常微分方程組(2)與定理2和定理3類(lèi)似的結(jié)果，且穩(wěn)定的條件一致.

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

本節(jié)應(yīng)用Lyapunov泛函方法討論問(wèn)題 (2)的平衡點(diǎn)E2,E3,E4和E5的全局漸近穩(wěn)定性.

設(shè)u是(2)唯一的正解，由定理1和文[10]定理A2知，對(duì)任t0>0有

(4)

其中α∈(0,1)，C是不依賴(lài)于t的正常數(shù).

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

如果條件(H3)成立，則上述二次型正定，從而存在正常數(shù)δ1>0，使得

(5)

仍由(4)知ψ′(t)在[t0,∞)有界，t0>0.應(yīng)用引理1得，當(dāng)t→∞時(shí)ψ(t)→0,即

由Pioncaré不等式得

(6)

由(5)，(6)得

(7)

另一方面

(8)

根據(jù)(5)-(8)有

類(lèi)似于定理2的討論, 可得如下定理：

證明(i)構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

其中ci為待定正常數(shù).

(ii)定義如下Lyapunov函數(shù)

其中ci為待定正常數(shù).

其它的證明與定理4類(lèi)似, 在此不再贅述.

證明 定義Lyapunov函數(shù)如下

其中ρ=λ=δ. 由強(qiáng)極值原理知, 在初值滿(mǎn)足條件u10,u20,u30≥(?)0時(shí),問(wèn)題(2)的解在任正時(shí)刻為正函數(shù).從而E(t)關(guān)于(1)的正解u(t)滿(mǎn)足

如果取ρ=λ=δ,第4,第5項(xiàng)為0; 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算知,條件(H4)保證d-ρbK>0, 那么第二個(gè)積分為正; 第三項(xiàng)恒為負(fù); 第一個(gè)積分對(duì)應(yīng)的二次型是正定的. 從而存在正常數(shù)δ2>0, 使得

由定理1和(4)知,u1,(u2-K)2,u3的導(dǎo)數(shù)有界, 再由引理1得

(9)

由(4)和(9)知，從存在{tm}，使得

由前面的討論可知,E2(0,K,0) 局部漸近穩(wěn)定. 所以, 當(dāng)t→∞時(shí),(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))→(0,K,0),問(wèn)題(1)的平衡點(diǎn)E2全局漸近穩(wěn)定.

4 討 論

由以上討論知，系統(tǒng) (2)有 6個(gè)平衡點(diǎn)E0,E1,E2,E3,E4,E5, 其中平衡點(diǎn)E0.E1總是不穩(wěn)定點(diǎn).

由定理5可知, 如果(H5)和(H7)分別成立時(shí), 邊界平衡點(diǎn)E3和E4分別全局漸近穩(wěn)定.

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【責(zé)任編輯：王軍】

Global behavior of solutions in a diffusive eco-epidemiological model with disease and vertical infection in the prey

CHEN Anning

(School of Mathematics and Statistics, Longdong University, Qingyang 745000,China)

In this paper, global behavior of solutions in a diffusive eco-epidemiological model with disease and vertical infection in the prey is discussed. Firstly, the global existence, uniqueness and uniform boundedness of positive solutions to (2) are proved under homogeneous Neumann boundary condition. Secondly, by using linearization， we obtained the sufficient condition of locally asymptotical stability of the equilibria point． Furthermore, the sufficient conditions for the extinction of infective prey population, disease disappearance and epidemic persistence were obtained through analyzing the global asymptotical stability of the equilibria point by Lyapunov function.

vertical infection; spatial diffusion; eco-epidemiological model； stability

2014-05-23

陳安寧(1965-)，男，隴東學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)論及應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.

O175.26

A

1672-3600(2015)03-0037-06