禹　芳， 司偉建

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 哈爾濱　150001)

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基于非圓信號(hào)對(duì)陣列干擾下的最佳陣元數(shù)研究

禹芳， 司偉建

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 哈爾濱150001)

摘要：針對(duì)理想情況下， 空間譜估計(jì)算法的測(cè)向性能隨陣元數(shù)目增加而提高， 然而實(shí)際工程中存在通道不一致和互耦等干擾， 使陣元數(shù)目與測(cè)向精度不再成正比問題， 提出一種研究最佳陣元數(shù)的方法。 在陣列干擾條件下， 利用非圓信號(hào)的偽協(xié)方差矩陣不為零特性， 基于空間譜估計(jì)算法， 以測(cè)角精度和測(cè)向成功概率為指標(biāo)， 分別在均勻線陣和均勻圓陣下研究最佳陣元數(shù)目。 通過仿真分析得出， 研究不同陣列形式下的不同目標(biāo)個(gè)數(shù)的最佳陣元數(shù)目， 對(duì)抗干擾至關(guān)重要。

關(guān)鍵詞：陣列干擾; 非圓信號(hào); 最佳陣元數(shù); 波達(dá)方向估計(jì)

0引言

隨著陣列信號(hào)處理技術(shù)的不斷提高， 如何利用信號(hào)的非圓特性進(jìn)行相關(guān)估計(jì)已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)話題。 非圓信號(hào)這一概念也已被拓展至信號(hào)檢測(cè)、 濾波、 參數(shù)估計(jì)等各個(gè)領(lǐng)域。 利用信號(hào)的非圓特性來提高波達(dá)方向估計(jì)的性能， 成為了研究的熱點(diǎn)[1-3]。

由于非圓信號(hào)的偽協(xié)方差(也叫做橢圓協(xié)方差)不為零， 即陣列輸出信號(hào)的偽協(xié)方差矩陣不為零， 可以多增加利用這一維信息， 提高子空間算法的性能， 可測(cè)信源數(shù)也加倍[4]。 目前， 常見的非圓信號(hào)有幅度調(diào)制(amplitude modulation， AM)、 二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying， BPSK)和多進(jìn)制幅度鍵控(multiple amplitude shifting keying， MASK)等[5]。 這些非圓信號(hào)被廣泛的應(yīng)用于雷達(dá)、 衛(wèi)星通信和現(xiàn)代通信系統(tǒng)領(lǐng)域。 在實(shí)際工程中， 常會(huì)有各種干擾(陣元方向圖不同、 陣元通道幅相不一致、 陣元位置及陣元間互耦)[6-8]的存在， 陣列流型會(huì)有偏差或者擾動(dòng)， 就會(huì)影響空間譜估計(jì)各種算法[9-10]的測(cè)向性能， 從而直接導(dǎo)致對(duì)目標(biāo)源的測(cè)向精度和分辨力急劇下降[11]。 所以， 干擾的存在是空間譜估計(jì)亟需解決的難點(diǎn)之一， 使用最佳的陣元數(shù)可有效避免這一點(diǎn)。

本文先建立通道不一致與互耦干擾的數(shù)學(xué)模型， 然后提出基于非圓信號(hào)的多重信號(hào)分類算法(MUSIC algorithm for noncircular signals， NC-MUSIC)， 最后在存在陣列干擾的條件下， 利用NC-MUSIC算法分析陣列形式為均勻線陣與均勻圓陣時(shí)， 給出最佳的陣元個(gè)數(shù)。

1數(shù)學(xué)模型

設(shè)有q個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶非圓信號(hào)入射到天線陣列上， 陣元數(shù)為M， 天線模型如圖1~2所示。

天線陣列接收的數(shù)據(jù)矩陣為

X(t)=A(α, β)S(t)+N(t)

(1)

式中： (α,β)分別為信號(hào)入射的方位角和俯仰角，A(α,β)=[a(α1,β1),…,a(αq,βq)]為M×q維的導(dǎo)向矢量矩陣；S(t)=[s1(t),…,sq(t)]為q×1維的信號(hào)矢量矩陣；N(t)=[n1(t),…,nM(t)]為M×1維的零均值加性復(fù)圓高斯白噪聲矩陣。

假設(shè)信號(hào)源之間互不相關(guān)， 則偽協(xié)方差矩陣有

(2)

2陣列干擾模型

2.1　通道不一致

通道不一致主要指的是相位不一致， 即在每個(gè)陣元通道中加入不同的附加相位。 通道不一致一般是對(duì)陣列流型產(chǎn)生擾動(dòng)， 具體模型如下所示：

(3)

2.2　互耦

當(dāng)天線工作的頻率比較高時(shí)， 為了避免測(cè)向模糊問題， 陣元間的間距要小于等于波長(zhǎng)的一半， 這樣使兩陣元之間的間距比較近， 陣元之間的互耦效應(yīng)會(huì)明顯加強(qiáng)。 具體模型如下所示：

(4)

式中： C為陣元之間的互耦矩陣。

假設(shè)自由度為3， 均勻線陣和均勻圓陣的互耦系數(shù)矩陣分別為

(5)

(6)

3基于非圓信號(hào)的干擾MUSIC算法

構(gòu)造的擴(kuò)展陣列數(shù)據(jù)矩陣為

(7)

假設(shè)信號(hào)源與噪聲源之間是相互獨(dú)立的， 則擴(kuò)展的陣列數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣為

(8)

將上式改寫成如下形式：

(9)

接下來， 對(duì)擴(kuò)展的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解， 可以得到下面的形式：

(10)

其中， 將特征值按由大到小的順序排序， 大特征值∑S=diag(λ1,λ2,…,λq)對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間為US=[U1,U2,…,Uq]； 小特征值∑N=diag(λq+1,λq+2,…,λM)對(duì)應(yīng)的噪聲子空間為UN=[Uq+1,Uq+2,…,UM]。

導(dǎo)向矢量與噪聲子空間是正交的， 即

BΗUN=0

(11)

(12)

將式(12)展開成如下形式：

PHCHAHUN1+PΤCΤLΤΦΤAΤUN2=0

(13)

把導(dǎo)向矢量矩陣換成搜索的角度導(dǎo)引矢量， 用F范數(shù)來求取譜函數(shù)， 即

(14)

UN1與UN2存在如下關(guān)系[12]：

(15)

根據(jù)式(15)， 可以推導(dǎo)以下關(guān)系式：

(16)

譜函數(shù)可根據(jù)式(14)化簡(jiǎn)， 得

(17)

對(duì)式(17)求φ的偏導(dǎo)，并令其為零，可得到如下關(guān)系：

(18)

(19)

為使譜函數(shù)為最小值， 取ejφ的負(fù)值， 將其代入式(17)， 可得

(20)

假設(shè)入射信號(hào)為最大非圓率信號(hào)， 則式(20)可寫成

(21)

根據(jù)上面的譜函數(shù)， 可以估計(jì)來波方向。 特征分解得到的噪聲子空間有一定的誤差，導(dǎo)致式(21)不再是零向量， 而是趨近于零， 所以求式(21)的倒數(shù)， 找極大值。 根據(jù)搜索矢量， 角度的不斷變化， 極大值對(duì)應(yīng)的位置即為來波方向。

4仿真分析

實(shí)驗(yàn)條件： 信號(hào)頻率為8 GHz， 信噪比為20 dB,快拍數(shù)為100， 噪聲為零均值的復(fù)圓高斯白噪聲， 角度搜索步長(zhǎng)為0.5°， 每次仿真進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。

成功測(cè)向概率定義為正確測(cè)向的次數(shù)與實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值， 其中估計(jì)的值與真實(shí)值的絕對(duì)值小于2°。

定義測(cè)角精度均方根誤差RMSE和成功測(cè)向概率η為

(22)

(23)

式中： h為成功測(cè)向次數(shù)。

4.1　NC-MUSIC算法與MUSIC算法的比較

入射兩個(gè)最大非圓率BPSK信號(hào)， 非圓相位為10°和20°， 方位角為20°和30°， 陣元間距為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)， 加入的每個(gè)通道相位不一致在0°~10°之間， 只考慮相鄰兩個(gè)陣元間的互耦效應(yīng)， 且設(shè)兩陣元間的互耦系數(shù)為0.255 7+0.192 3j。 分別在陣元數(shù)為8和10下用NC-MUSIC算法和MUSIC算法進(jìn)行仿真， 統(tǒng)計(jì)有干擾和無干擾條件下的譜函數(shù)如圖3~6所示。

圖3　8陣元不存在干擾時(shí)譜峰圖

圖4　8陣元存在干擾時(shí)譜峰圖

圖5　10陣元不存在干擾時(shí)譜峰圖

圖6　10陣元存在干擾時(shí)譜峰圖

由圖3和圖5的結(jié)果可以看出不存在干擾時(shí)， NC-MUSIC算法和MUSIC算法都能對(duì)來波方向進(jìn)行估計(jì)， 但是NC-MUSIC算法的譜峰圖更尖銳， 估計(jì)精度更高； 在加入陣列干擾后， MUSIC算法已經(jīng)不能正確估計(jì)了，對(duì)研究最佳陣元數(shù)已經(jīng)沒有意義。 由圖4和圖6可以看出， 隨著陣元數(shù)的增加， 雖然MUSIC算法估計(jì)精度增加， 但是加入干擾后， 同樣不能正確估計(jì)來波方向， 所以NC-MUSIC算法具有更大的優(yōu)勢(shì)。

4.2　均勻線陣

實(shí)驗(yàn)1: 一個(gè)信號(hào)。入射信號(hào)為最大非圓率BPSK信號(hào)，非圓相位為10°，入射方位角為20°，陣元間距為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)，加入的每個(gè)通道相位不一致在0°~10°之間，只考慮相鄰兩個(gè)陣元間的互耦效應(yīng)，且設(shè)兩陣元間的互耦系數(shù)為0.255 7+0.192 3j。陣元數(shù)在3~10之間變化，在每個(gè)陣元下用NC-MUSIC算法進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)不同陣元數(shù)的成功測(cè)向概率和均方根誤差結(jié)果如圖7~8所示。

圖7　一個(gè)信號(hào)時(shí)成功測(cè)向概率與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

圖8　一個(gè)信號(hào)時(shí)均方根誤差與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

由圖7~8的結(jié)果可以得出， 進(jìn)行單目標(biāo)測(cè)向時(shí)， 隨著陣元數(shù)的增加， 成功測(cè)向概率也隨之增加， 當(dāng)陣元數(shù)為5時(shí)， 成功測(cè)向概率就能達(dá)到100%， 而此時(shí)的測(cè)向誤差較大； 當(dāng)陣元數(shù)為9和10時(shí)， 成功測(cè)向概率和測(cè)向誤差均一致， 考慮經(jīng)濟(jì)成本， 優(yōu)先選擇9陣元。

實(shí)驗(yàn)2： 兩個(gè)信號(hào)。 信號(hào)為最大非圓率BPSK信號(hào)， 非圓相位為10°和20°， 入射方位角為20°和30°， 陣元間距為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)， 加入的每個(gè)通道相位不一致在0°~10°之間， 只考慮相鄰兩個(gè)陣元間的互耦效應(yīng)， 且設(shè)兩陣元間的互耦系數(shù)為0.255 7+0.192 3j。 陣元數(shù)在3~10之間變化， 在每個(gè)陣元下用NC-MUSIC算法進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)， 統(tǒng)計(jì)不同陣元數(shù)的成功測(cè)向概率和均方根誤差結(jié)果見圖9~10。

由圖9~10的結(jié)果可以得出， 進(jìn)行雙目標(biāo)測(cè)向時(shí)， 隨著陣元數(shù)的增加， 成功測(cè)向概率也隨之增加， 當(dāng)陣元數(shù)為6時(shí)， 成功測(cè)向概率能達(dá)到100%， 而此時(shí)的測(cè)向誤差較大， 由于干擾的影響， 測(cè)向誤差不再隨陣元數(shù)增加而降低； 當(dāng)陣元數(shù)為7時(shí)， 成功測(cè)向概率為100%， 均方根誤差為1°， 所以雙目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向時(shí)， 7陣元最優(yōu)。

圖9　兩個(gè)信號(hào)時(shí)成功測(cè)向概率與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

圖10　兩個(gè)信號(hào)時(shí)均方根誤差與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

4.3　均勻圓陣

實(shí)驗(yàn)3： 一個(gè)信號(hào)。 入射信號(hào)為最大非圓率BPSK信號(hào)， 非圓相位為10°， 入射方位角為20°， 俯仰角為80°， 均勻圓陣的直徑為300 mm， 加入的每個(gè)通道相位不一致在0°~10°之間， 只考慮相鄰兩個(gè)陣元間的互耦效應(yīng)， 且設(shè)兩陣元間的互耦系數(shù)為0.2557+0.1923j。 陣元數(shù)在5~10之間變化， 在每個(gè)陣元下用NC-MUSIC算法進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)， 統(tǒng)計(jì)不同陣元數(shù)的成功測(cè)向概率和均方根誤差結(jié)果如圖11~12所示。

圖11　一個(gè)信號(hào)時(shí)成功測(cè)向概率與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

圖12　一個(gè)信號(hào)時(shí)均方根誤差與陣元數(shù)的關(guān)系曲線

由圖11~12的結(jié)果可以得出， 進(jìn)行單目標(biāo)測(cè)向時(shí)， 隨著陣元數(shù)的增加， 成功測(cè)向概率與均方根誤差并不與之成正比， 當(dāng)陣元數(shù)為7時(shí)， 成功測(cè)向概率達(dá)到95%， 而此時(shí)的測(cè)向誤差最小， 所以優(yōu)先選擇7陣元。

實(shí)驗(yàn)4： 兩個(gè)信號(hào)。 入射信號(hào)為最大非圓率BPSK信號(hào)， 非圓相位為10°和20°， 入射方位角為20°和30°， 俯仰角分別為80°和80°， 均勻圓陣的直徑為300 mm， 加入的每個(gè)通道相位不一致在0°~10°之間， 只考慮相鄰兩個(gè)陣元間的互耦效應(yīng)， 且設(shè)兩陣元間的互耦系數(shù)為0.2557+0.1923j。 陣元數(shù)在5~10之間變化， 在每個(gè)陣元下用NC-MUSIC算法進(jìn)行100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)， 統(tǒng)計(jì)不同陣元數(shù)的成功測(cè)向概率和均方根誤差結(jié)果， 如表1所示。

表1　成功測(cè)向概率與均方根誤差

從表1可以看出， 進(jìn)行雙目標(biāo)測(cè)向時(shí)， 隨著陣元數(shù)的增加， 成功測(cè)向概率并不成正比， 當(dāng)陣元數(shù)為6和7時(shí)， 基本就不能夠分辨兩個(gè)信號(hào)； 當(dāng)陣元數(shù)為5， 8， 9， 10時(shí)， 此時(shí)的成功測(cè)向概率達(dá)到100%， 而陣元數(shù)為9時(shí)的測(cè)向誤差最小， 則優(yōu)先選擇9陣元。

5結(jié)論

本文通過對(duì)不同的天線陣列形式加入通道不一致和互耦干擾， 利用基于非圓信號(hào)的MUSIC算法來仿真最佳陣元數(shù)。 分別在均勻線陣與均勻圓陣的陣列形式下， 對(duì)單目標(biāo)與雙目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向模擬， 得出在有些陣列形式下使用的陣元數(shù)在加入干擾后， 測(cè)向失敗。 所以最佳陣元數(shù)的研究對(duì)避免加入干擾測(cè)向失效情況， 具有較大的幫助。

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Study on the Optimal Sensor Numbers under the Array

Interferences Based on Non-Circular Signals

Yu Fang， Si Weijian

(College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China)

Abstract:The problem that the direction finding performance of spatial spectrum estimation algorithm increases with the increase of sensor numbers in ideal situation, however channel disaccord and mutual coupling interferences that exist in the actual project, leading to the sensor numbers is no longer proportional to the direction finding precision, a method to study the optimal sensor numbers is proposed. Under the condition of array interferences, using the characteristics of non-circular signals’ pseudo-covariance matrix is not zero, according to the index of angle measuring accuracy and direction finding success probability, the optimal sensor numbers in uniform linear array and uniform circular array are studied based on spatial spectrum estimation algorithm, respectively. Through the simulation analysis, it is concluded that the study on optimal sensor numbers of different target numbers in different array forms is crucial for anti-interference.

Key words:array interferences； non-circular signals； the optimal sensor numbers； direction of arrival(DOA)

作者簡(jiǎn)介：禹芳(1990-)，女，湖南衡陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)閷拵盘?hào)檢測(cè)、處理與識(shí)別。

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金項(xiàng)目(201401P6001)

收稿日期：2015-08-10

中圖分類號(hào)：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-5048(2015)06-0003-05