姜美燕，　樸光日

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

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基于POD方法的BBM-Burgers方程向后歐拉有限元降維格式

姜美燕，樸光日*

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

摘要：利用特征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法討論了BBM-Burgers方程的降維模型.首先，簡要介紹了POD方法，并利用此方法把通常的向后歐拉有限元格式簡化為一個(gè)自由度極少的向后歐拉有限元格式.最后，給出了降維的向后歐拉有限元解的誤差估計(jì). 降維模型； 向后歐拉有限元格式； 特征正交分解； 誤差分析； BBM-Burgers方程 O241.82

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

求解復(fù)雜的非線性流體方程時(shí)，為了得到足夠高的精度，任何形式的離散化格式(比如有限元、有限差分、譜元、有限體積等)都需要較多的自由度，從而使得在內(nèi)存和計(jì)算上需要付出很高的代價(jià)；因此，在保證其數(shù)值解具有足夠高精度的前提下，如何簡化計(jì)算和降低內(nèi)存要求具有重要意義.降維是解決該問題的有效方法之一，其中特征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法是普遍較為熟悉的一種降維方法[1].POD方法具備一種有效逼近大量數(shù)據(jù)的功能，其實(shí)質(zhì)是在最小二乘意義下可尋找能代表已知數(shù)據(jù)的一組正交基，是一種求已知數(shù)據(jù)的最優(yōu)逼近方法.同時(shí)，POD方法可與一些偏微分方程數(shù)值解法相結(jié)合，將無限維的微分方程降成低維模型，由此能極大地減少計(jì)算量和降低內(nèi)存要求，所以，POD方法已被廣泛地應(yīng)用于很多復(fù)雜的系統(tǒng)中[2-12].

當(dāng)討論小振幅長波在非線性色散介質(zhì)中的傳播時(shí)，為準(zhǔn)確反映其真實(shí)情況，往往要考慮耗散原理.因?yàn)锽enjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers)方程

ut-uxxt-α uxx+u ux+β ux=0

(1)

包含了非線性色散項(xiàng)和耗散項(xiàng)，因此其被視為一種長波傳播的模型方程來加以研究[13].在方程(1)中α>0, β是常數(shù)， u=u(x,t)是水平方向上的流體速度.近年來，許多研究者從數(shù)學(xué)理論和物理意義上研究了BBM-Burgers方程解的性態(tài)[13-17],而且還利用有限差分、有限元或區(qū)域分解方法討論了其方程的數(shù)值解[18-21].但是，對BBM-Burgers方程的降維模型研究得還較少，如文獻(xiàn)[22]雖然給出了基于POD方法的分布反饋控制的簡化有限元格式及其科學(xué)計(jì)算，但并沒有討論通常的有限元解和降維模型解之間的誤差分析.本文應(yīng)用POD方法把BBM-Burgers方程的通常的時(shí)間一階精度向后歐拉有限元格式簡化成維數(shù)較低的時(shí)間一階精度向后歐拉格式，并類似于文獻(xiàn)[23-24]進(jìn)行了降維的向后歐拉有限元解的誤差分析.

本文考慮的BBM-Burgers方程如下：

(2)

1BBM-Burgers方程通常的歐拉有限元格式

對任意的t∈(0,T]， 求u∈X使得滿足

(3)

其中(·,·)表示L2-內(nèi)積.

Xh={Vh∈X∩C0(Ω);Vh|K∈Pm(K),Vh|?Ω=0,?K∈ξh}，

(4)

(5)

(6)

2POD基的生成

(7)

定義1POD方法是指求標(biāo)準(zhǔn)正交基ψj(j=1,2,…,l)使得對于每個(gè)d(1≤d≤l), 元素Zi(1≤i≤N)與式(7)的d項(xiàng)和之間的均方誤差最小，即求標(biāo)準(zhǔn)正交基ψj(i=1,2,…,l)使得

(8)

滿足

(ψi,ψj)X=δij， 1≤i≤d， 1≤j≤i，

(9)

(10)

(11)

選擇如下形式的一類特殊試驗(yàn)函數(shù)ψ:

(12)

(Rψ,ψ)X=∫Ω(Rψ(x)·ψ(x)+Rψ(x)·ψ(x))dx=

∫Ωψ(x)dx=

∫ΩZi(x′)ψ(x′)dx′∫ΩZi(x)ψ(x)

則

(13)

進(jìn)一步，有(Rφ,ψ)X=(φ,Rψ)X,?φ,ψ∈X.于是，R是X上的非負(fù)定對稱算子.由此求式(11)的最大值問題，等價(jià)于求式(14)的最大特征值：

(14)

即

(15)

其中λ與h和k有關(guān)(因?yàn)棣团ch和k有關(guān)).將式(12)和G代入到式(15)可得

命題1設(shè)λ1≥λ2≥…≥λl>0， 為矩陣A的正的特征值，而且υ1,υ2,…,υl是對應(yīng)的特征向量，則秩d≤l的POD基為

其中(υi)j表示特征向量υi的第j個(gè)分量.進(jìn)一步，有如下的誤差公式：

(16)

證明命題的前半部分已經(jīng)由上述討論給出.下面僅需證明公式(16).由于ψ1,ψ2,…,ψl滿足式(14)，所以從式(13)和(15)可得

(17)

(18)

命題1得證.

令Xd=span{ψ1,ψ2,…,ψd}.定義Ritz投影Ph∶X→Xh(如果Ph是被限制為從Xh到Xd的Ritz投影時(shí)記為Pd)， 使得Ph|Xh=Pd∶Xh→Xd和Ph∶XXh→XhXd如下：

(PhU,Vh)X=(U,Vh)+(U,Vh)，?Vh∈Xh，

(19)

引理1對于每個(gè)d(1≤d≤l)， 投影算子Pd滿足：

(20)

(21)

證明對于任意的U∈X， 由式(19)得

因此有

(22)

(W,V)X=(U-PhU,V),?V∈Xh.

(23)

取Wh=πhW為W在Xh上的差值，則由插值理論[27]和式(23)可得

于是有

(24)

3基于POD方法的簡化歐拉有限元格式及其誤差估計(jì)

利用Xd可以將方程(4)化為如下的基于POD方法的向后歐拉有限元降維格式：

(25)

對于BBM-Burgers方程向后歐拉有限元降維格式,式(25)有如下的解的誤差估計(jì)：

(26)

(27)

其次，證明誤差估計(jì)式(27).由于Xd?Xh， 在式(4)中取Vh=Vd并與式(25)相減可得

(28)

αk(,,

簡化后可得

(29)

上式對n從1到J(≤N)累加，即得(為了書寫方便用n代替J)

選取充分小的k， 使得當(dāng)(1-Ck)≥0時(shí)，有

再由引理1和引理2，得

(30)

根據(jù)Sobolve嵌入定理、三角不等式、引理1和式(30)可得到式(27),定理2得證.

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A reduced-order backward Eular finite element scheme for the BBM-Burgers equation based on POD

JIANG Meiyan,PIAO Guangri*

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)

Abstract：In this paper, we study reduced-order modeling for the BBM-Burgers equation by using proper orthogonal decomposition (POD) method. First of all, brief review of the POD method are provided; secondly, the POD method is applied to a usual backward Euler finite element (BEFE) scheme such that it is reduced into a BEFE scheme with fewer degrees of freedom, and the errors of reduced-order BEFE solution are analyzed.

Keywords：reduced-order modeling； backward Euler finite element method； proper orthogonal decomposition； error analysis； BBM-Burgers equation

文章編號：1004-4353(2015)04-0267-08

*通信作者：樸光日(1968—)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算.

收稿日期：2015-11-03