周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

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N個(gè)并聯(lián)直流電源的等效電源的3種推導(dǎo)方法
——并聯(lián)交/直流電源的一個(gè)等效定理及其推廣

周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

本文運(yùn)用等效電壓源定理(戴維寧定理)，等效電流源定理(諾爾頓定理)以及直流電路的疊加原理，并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，總結(jié)出3種途徑用以推導(dǎo)N個(gè)并聯(lián)直流電源的等效電動(dòng)勢(shì)與等效內(nèi)阻，并以定理形式表達(dá)，最后對(duì)這一定理的適用范圍作了推廣；并對(duì)其能否向交流電路推廣作了前瞻性的思考.

等效電壓源定理(戴維寧定理)；等效電流源定理(諾爾頓定理)；線性元件；疊加定理；并聯(lián)電源；電導(dǎo)

穩(wěn)恒的直流電路除了滿足歐姆定理、基爾霍夫回路定理及節(jié)點(diǎn)定理之外，還滿足線性疊加定理與等效電源定理等[1-4].等效電源定理的教學(xué)研究與應(yīng)用，是電磁學(xué)與電路原理教學(xué)的重要內(nèi)容之一[5,6].兩個(gè)電路等效是指它們的對(duì)外電輸出特性相同.兩個(gè)電路內(nèi)部的幾何結(jié)構(gòu)及參數(shù)都已發(fā)生變化，因此內(nèi)部并不等效.在電路中用等效電源互相置換后，不影響外電路的工作狀態(tài)，例如圖1、圖2所示的含內(nèi)阻的電壓源與電流源之間的等效變換.

若干個(gè)含源支路作串聯(lián)、并聯(lián)、混聯(lián)而構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò)，可以等效為一個(gè)電壓源.這可總結(jié)為等效電壓源定理，亦稱戴維寧定理，表述如下:兩端有源線性直流網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電壓源，即一個(gè)電壓源和電阻串聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)，其電動(dòng)勢(shì)等于網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路端電壓，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除源(將電動(dòng)勢(shì)短路)網(wǎng)絡(luò)的電阻.這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)又可以等效為一個(gè)電流源，并可總結(jié)為等效電流源定理，亦稱諾爾頓定理.表述如下:兩端有源線性直流網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電流源，即一個(gè)電流源和電阻并聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)，其電流等于網(wǎng)絡(luò)兩端短路時(shí)流經(jīng)兩端點(diǎn)的電流，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除源網(wǎng)絡(luò)的電阻.

值得注意的是等效電源定理只適用于由線性元件組成的有源二端網(wǎng)絡(luò).如果網(wǎng)絡(luò)中含有非線性元件時(shí)，則該定理不再適用.

由于穩(wěn)恒的直流電路中，各支路的電流對(duì)任一直流電源的響應(yīng)是線性的，因此由線性元件構(gòu)成的直流網(wǎng)絡(luò)還應(yīng)服從疊加定理[1，3，4].

本文基于等效電源定理以及線性直流電路的疊加定理，嘗試運(yùn)用3種不同的方法，推導(dǎo)出一條有關(guān)N個(gè)并聯(lián)直流電源構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電源的定理:N個(gè)并聯(lián)電源的等效電動(dòng)勢(shì)是諸電源的電動(dòng)勢(shì)以其內(nèi)電導(dǎo)為權(quán)重因子的加權(quán)平均值，其等效內(nèi)阻是諸電源的內(nèi)阻的并聯(lián)總電阻，即等效內(nèi)電導(dǎo)是諸電源的內(nèi)電導(dǎo)之和.本文還在更廣泛的意義上對(duì)其應(yīng)用范疇進(jìn)行了合理的推廣,尤其適用于如下3種推廣的情形:(1)當(dāng)諸電源極性存在不同取向，即存在反向并聯(lián)時(shí)，須對(duì)諸電動(dòng)勢(shì)的符號(hào)作適當(dāng)?shù)囊?guī)定；(2)將只有電阻存在的并聯(lián)無(wú)源支路看作電動(dòng)勢(shì)為零的有源并聯(lián)支路;(3)由并聯(lián)的交流電源(和復(fù)阻抗)構(gòu)成的線性二端網(wǎng)絡(luò).

為討論方便和表達(dá)簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，我們用(ε,r)表示電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r的直流電壓源;用(I0,r0)表示電流為I0，內(nèi)阻為r0的電流源;用R12=r1//r2(或R1,2,…,N=r1//r2//…//rN)表示兩個(gè)(或N個(gè))電阻的并聯(lián)及其總電阻；并用g=1/r表示與電阻r相應(yīng)的電導(dǎo).根據(jù)文獻(xiàn)[1]，首先我們給出電壓源和電流源之間等效變換的一條引理，作為后文討論的基礎(chǔ).如圖1、圖2所示，電壓源(ε,r)與電流源(I0,r0)在滿足式(1)所示的條件時(shí)可以相互等效而轉(zhuǎn)化,

這就能使電壓源與電流源兩者對(duì)外的輸出效果完全等效.但是必須注意，理想電壓源和理想電流源之間是不能互相等效的.

圖1 電壓源圖2 電流源

圖1 電壓源圖2 電流源

1 推導(dǎo)方法之一——電壓源與電流源之間等效代換法

采用這種方法，一種思路如圖3所示，按照前述等效引理，對(duì)于其中的每一個(gè)直流電壓源(εi，ri),i=1,2,3,…,N，我們均可將其等效地代之以電流源，于是得到如圖4所示的N個(gè)并聯(lián)的等效電流源(Ii,ri)，并滿足如下等效條件:

圖4所示的N個(gè)并聯(lián)的等效電流源又可看作如圖5所示的一個(gè)等效的電流源(Ie,re),并有如下等效條件:

圖3 N個(gè)并聯(lián)電壓源圖4 等效的N個(gè)并聯(lián)電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個(gè)并聯(lián)電壓源圖4 等效的N個(gè)并聯(lián)電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個(gè)并聯(lián)電壓源圖4 等效的N個(gè)并聯(lián)電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個(gè)并聯(lián)電壓源圖4 等效的N個(gè)并聯(lián)電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

根據(jù)等效條件(1)，該電壓源的等效內(nèi)阻即為式(7).

2 推導(dǎo)方法之二——數(shù)學(xué)歸納法

將數(shù)學(xué)歸納法與物理結(jié)合起來(lái)，然后再將N=1，2情形的特殊結(jié)論推廣到任意整數(shù)N的情形，是一種很好的科學(xué)思維方法；對(duì)于培養(yǎng)和提高學(xué)生的科學(xué)歸納能力與素養(yǎng)也是一次很好的鍛煉.現(xiàn)在我們考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，再結(jié)合等效電壓源定理，來(lái)證明N個(gè)并聯(lián)電源(εi,ri),i=1,2,…,N，的等效公式(2)～式(4)；它需要我們具有一定的數(shù)學(xué)直覺(jué)和推理能力.

公式對(duì)N=1情形是自然成立的，對(duì)N=2情形可作如下證明.如圖7所示，運(yùn)用等效電壓源定理，a、b之間的開(kāi)路端電勢(shì)差即為其等效電動(dòng)勢(shì)，可據(jù)下式計(jì)算:

若a、b之間處于開(kāi)路情形，其內(nèi)部電流I可按下式計(jì)算:

圖7 N=2情形圖8 N個(gè)并聯(lián)電源情形

圖7 N=2情形圖8 N個(gè)并聯(lián)電源情形

于是根據(jù)式(9)和式(10)，a、b之間的等效電動(dòng)勢(shì)為

它確實(shí)是兩個(gè)電源的電動(dòng)勢(shì)以其內(nèi)電導(dǎo)為權(quán)重因子的加權(quán)平均值.又按等效電壓源定理，其等效內(nèi)阻等于a、b之間除源網(wǎng)絡(luò)的電阻，即為兩直流電源之內(nèi)阻并聯(lián)的結(jié)果:

而其等效內(nèi)電導(dǎo)則為

設(shè)當(dāng)N=k時(shí)公式(2)～(4)成立，當(dāng)N=k+1時(shí)，即等效電壓源(εek，rek)再并聯(lián)一個(gè)直流電源(εk+1,rk+1)時(shí)，按公式(11)和(12)的結(jié)論，我們有

而按等效電壓源定理，此k+1個(gè)并聯(lián)直流電源的等效內(nèi)阻，等于a、b之間除源網(wǎng)絡(luò)的電阻，即為k+1個(gè)直流電源之內(nèi)阻并聯(lián)的結(jié)果，即

故結(jié)論對(duì)于N=K+1情形也成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，等效公式(2)～(4)對(duì)于任意n個(gè)并聯(lián)直流電源都成立．定理獲證．

3 N個(gè)并聯(lián)直流電源的等效電壓源的推導(dǎo)方法之三——線性疊加定理

線性疊加定理可表述為[1,3,4]：對(duì)于由線性元件(如直流電阻)和直流電源構(gòu)成的復(fù)雜電路,若電路中有多個(gè)電源,則通過(guò)電路中任一支路的電流等于各個(gè)直流電源單獨(dú)存在時(shí),在該支路產(chǎn)生的電流之和.文獻(xiàn)[1,3,4]給出的這種表述實(shí)際上還可以進(jìn)一步引申為如下推論：在復(fù)雜的線性直流電路中,任意兩節(jié)點(diǎn)間的電勢(shì)差,等于各個(gè)直流電源單獨(dú)存在時(shí),在該二節(jié)點(diǎn)間引起的電勢(shì)差的代數(shù)和.這是疊加定理應(yīng)用于線性直流電路系統(tǒng)的應(yīng)有之義.我們可以利用線性疊加定理的這一推論,來(lái)推導(dǎo)N個(gè)并聯(lián)直流電源的等效電動(dòng)勢(shì)與等效內(nèi)阻.如圖8所示,按照等效電壓源定理,N個(gè)并聯(lián)直流電源在a、b兩端的對(duì)外等效電動(dòng)勢(shì),等于a、b兩端對(duì)外開(kāi)路電壓,等效內(nèi)阻則等于從a、b兩端看除源網(wǎng)絡(luò)(內(nèi)阻保留)的電阻.而依據(jù)線性疊加定理,a、b兩端的對(duì)外等效總電壓,等于其中每一個(gè)直流電源單獨(dú)存在時(shí)在a、b兩端所造成的電勢(shì)差的代數(shù)和.

其次,按照線性疊加定理的思想,第i個(gè)電源(εi,ri)單獨(dú)存在時(shí),(其他直流電源僅留下N-1個(gè)內(nèi)阻ri,r2,…,ri-1,ri+1,…,rN,它們并聯(lián)之后再與ri串聯(lián)),它在a、b兩端所造成的電壓Ui,按照串聯(lián)電阻的分壓原理,應(yīng)為

于是N個(gè)直流電源同時(shí)存在時(shí)，在a、b間造成的電壓的代數(shù)和為

按等效電壓源定理，a,b之間的這個(gè)開(kāi)路電壓式(19)，就是等效電壓源的電動(dòng)勢(shì)式(2).再來(lái)算出等效內(nèi)阻，從圖8的a、b兩端看，除源網(wǎng)絡(luò)(內(nèi)阻保留)的電阻為N個(gè)并聯(lián)的直流電源的內(nèi)阻，它就是等效內(nèi)阻式(3).再結(jié)合式(19)，定理獲證.

4 定理之應(yīng)用范疇的合理推廣

我們從3個(gè)方面將本定理之應(yīng)用范疇進(jìn)行合理的推廣.

其一，如果我們將一個(gè)純電阻看成一個(gè)電動(dòng)勢(shì)為零的等效直流電壓源(0，R),或?qū)⑵湟暈殡娏鳛榱闱矣幸徊⒙?lián)內(nèi)阻的等效電流源，則前述定理的適用范圍還可推廣為任意多個(gè)直流電源與若干電阻并聯(lián)而構(gòu)成的復(fù)雜直流二端網(wǎng)絡(luò).即公式(2)～(4)對(duì)于存在電動(dòng)勢(shì)為零的并聯(lián)電阻(0，R)照樣成立.這可以幫助我們處理大量直流電路的問(wèn)題，如文獻(xiàn)[1～4]中的部分習(xí)題.

其二，假如并聯(lián)直流電源之間的正負(fù)極性的取向不相一致，則只須規(guī)定電源正極指向某端時(shí)電動(dòng)勢(shì)為正，(譬如規(guī)定在圖7和圖8中，電源的正極與a端相連時(shí)，其電動(dòng)勢(shì)為正值)，反之為負(fù)，(如圖7和圖8中，正極與b端相連時(shí)電動(dòng)勢(shì)取為負(fù)值)，則公式(2)～(4)對(duì)于任意多個(gè)直流電源并聯(lián)且正負(fù)極性任意聯(lián)接而構(gòu)成的復(fù)雜直流網(wǎng)絡(luò)依然成立.這正是前述定理中“代數(shù)和”一詞的應(yīng)有之義.

其三，本文的結(jié)論是否能向并聯(lián)交流電源構(gòu)成的二端線性的網(wǎng)絡(luò)推廣？值得我們認(rèn)真地思考和進(jìn)一步研究.復(fù)電壓、復(fù)電流、復(fù)電動(dòng)勢(shì)及復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納等概念的引入，建立和恢復(fù)了流經(jīng)線性交流元件的復(fù)電流對(duì)其兩端復(fù)電壓的線性響應(yīng)關(guān)系，為在交流電路中建立如穩(wěn)恒直流電路一樣的歐姆定理、基爾霍夫回路定理及節(jié)點(diǎn)定理奠定了基礎(chǔ)[1,2].尤其關(guān)鍵的一點(diǎn)是，能否建立交流電流源的概念？答案是肯定的[3,4]；一個(gè)交流電壓源能否等效于某個(gè)交流電流源？交流電路中能否建立相應(yīng)的戴維寧定理與諾爾頓定理？答案也是肯定的[3,4]！解決了這些疑問(wèn)，則將本文的結(jié)論推廣應(yīng)用于并聯(lián)的交流電源與復(fù)阻抗構(gòu)成的二端交流網(wǎng)絡(luò)，是一件合理并且簡(jiǎn)單易行的事情.

5 結(jié)論與前瞻

本文不僅給出N個(gè)并聯(lián)直流電源(電阻)的等效電源的一個(gè)定理及其公式(4)～(6)，而且給出了有關(guān)等效電源定理和直流網(wǎng)絡(luò)電路的線性疊加定理的一個(gè)很好的教學(xué)范例；同時(shí)有望為電磁學(xué)與電路原理的教學(xué)提供新的視角，開(kāi)拓新的思維，注入新的活力.第二種方法——數(shù)學(xué)歸納法的引入，為在物理教學(xué)與研究中激發(fā)和鍛煉學(xué)生的科學(xué)歸納能力提供了一次難得的機(jī)會(huì).另一方面，將與電源并聯(lián)的直流電阻視為電動(dòng)勢(shì)為零的直流電源的舉措，以及對(duì)電源的正負(fù)極性的不同接法的符號(hào)規(guī)定，這兩種處理方法擴(kuò)大了本文的定理與公式的應(yīng)用范疇；尤其是向并聯(lián)的交流電源與復(fù)阻抗構(gòu)成的二端線性交流網(wǎng)絡(luò)的推廣，更是大膽和富有意義的一種嘗試.在作這種推廣時(shí)會(huì)有一些新的問(wèn)題、特性與新的規(guī)律出現(xiàn)，這尚有待于學(xué)者們作進(jìn)一步的研究.

[1] 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].3版.北京:高等教育出版社，2011:206-210.

[2] 張三慧，臧庚媛，華基美.電磁學(xué)(第三冊(cè))[M].北京:清華大學(xué)出版社，1991:145-156.

[3] Nilsson J W,Riedel S A.Electric circuits[M].Fifth ed.Addison-wesley publishing company.Inc.1996:132-143;151;383.

[4] 胡翔駿.電路分析[M].2版.北京:高等教育出版社,2007.

[5] 林再發(fā).等效法在直流電路問(wèn)題中的應(yīng)用[J].物理教師,2000,21(6):18-20.

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THREE APPROACHES TO DERIVE THE EQUIVALENT POWER SOURCE FORNPARALLEL DIRECT POWER SOURCES

Zhou Guoquan

(School of Physics and Technology,Wuhan University,Wuhan,Hubei 430072)

The equivalent voltage source theorem and the equivalent current source theorem,the principle of superposition for a linear direct current circuit,and the mathematical induction method were applied in this paper to conclude three approaches to derive the equivalent electromotive force and the equivalent inner resistance forNparallel direct power sources.These results were expressed in the form of theorems.At last,we extended our theorem to the case of parallel powers mixed with parallel resistors,and did forward thinking of whether this theorem can be extended to the alternating current circuits.

equivalent voltage source theorem(Thevenin’s theorem);equivalent current source theorem(Norton’s theorem);linear components;superposition theorem;parallel power;electric conduction

2015-01-16

國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)基金項(xiàng)目(202276003).

周國(guó)全,男，副教授,兼任湖北省中學(xué)生物理競(jìng)委會(huì)領(lǐng)隊(duì)和主教練.研究方向?yàn)榉蔷€性可積方程與場(chǎng)論.zgq@whu.edu.cn