黨耀國,　王俊杰,　康文芳

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 南京 210016)

?

灰色預(yù)測(cè)技術(shù)研究進(jìn)展綜述

黨耀國,王俊杰,康文芳

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 南京 210016)

摘要:灰色預(yù)測(cè)技術(shù)是灰色系統(tǒng)理論的重要分支之一。分析了GM(1，1)模型的性質(zhì)、GM(1，1) 模型的改進(jìn)與優(yōu)化、GM(1，1)模型參數(shù)估計(jì)、GM(1，1)模型初始條件優(yōu)化、GM(1,1)模型的擴(kuò)展與應(yīng)用及冪模型的研究進(jìn)展；最后對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的未來研究方向提出了建議。

關(guān)鍵詞:灰色系統(tǒng)； GM(1,1)模型； 灰色預(yù)測(cè)； 優(yōu)化

20世紀(jì)60年代，鄧聚龍教授首先提出“去余控制”理論；隨后其在1982年提出灰色控制理論?；疑到y(tǒng)理論是一種解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，以控制論的觀點(diǎn)構(gòu)建數(shù)學(xué)控制模型，用來分析樣本小、信息不完全的不確定系統(tǒng)問題。目前，該理論已被國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。灰色系統(tǒng)理論通過30多年的發(fā)展，理論體系不斷完善，分支結(jié)構(gòu)越發(fā)清晰，實(shí)際應(yīng)用面越來越寬泛，應(yīng)用領(lǐng)域觸及到了水文、能源、經(jīng)濟(jì)、管理、工程、交通等諸多方面。

灰色預(yù)測(cè)理論作為灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是一個(gè)新的現(xiàn)代預(yù)測(cè)方法。灰色預(yù)測(cè)方法在解決數(shù)據(jù)獲取性較差的問題時(shí)，以少量可獲取的信息為基礎(chǔ)，利用灰色算子提高序列的光滑度、準(zhǔn)指數(shù)性，生成新序列，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)，提高了預(yù)測(cè)的精度，有效解決了經(jīng)濟(jì)社會(huì)系統(tǒng)中數(shù)據(jù)缺失、不真實(shí)等影響研究工作的瓶頸問題，彌補(bǔ)了大樣本建模要求的不足。

隨著灰色預(yù)測(cè)方法的不斷拓展，它越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可。近期，在常用的中英文數(shù)據(jù)庫中以“grey forecasting”和“灰色預(yù)測(cè)”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，共有13433篇中英文文獻(xiàn)被檢索到，其涉足領(lǐng)域包括了教育、能源、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、交通等多個(gè)領(lǐng)域(見表1)。

表1　灰預(yù)測(cè)論文常用數(shù)據(jù)庫收錄情況Tab.1　Search results of gray prediction papers from common databases

注：檢索時(shí)間為2015年1月20日

對(duì)檢索到的灰色預(yù)測(cè)論文進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)有關(guān)灰色預(yù)測(cè)方法的應(yīng)用文獻(xiàn)占到了絕大多數(shù)，而對(duì)灰色預(yù)測(cè)理論方法研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少。本文通過對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的研究，從GM(1,1)模型的性質(zhì)研究、灰色微分方程的改進(jìn)、參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)化、初始條件的選擇優(yōu)化和GM(1,1)模型的擴(kuò)展與應(yīng)用研究以及GM(1,1)的冪模型研究三方面綜述灰色預(yù)測(cè)模型的研究進(jìn)展。

1灰色預(yù)測(cè)模型的研究進(jìn)展綜述

1.1　GM(1,1)模型研究進(jìn)展

GM(1,1)模型既是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，也是灰色預(yù)測(cè)理論的基礎(chǔ)模型和核心模型。對(duì)于灰色預(yù)測(cè)模型的理論研究也主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展方面。1985年，鄧聚龍教授[1]首先提出了GM(1,1)模型，并對(duì)其建模條件進(jìn)行研究，提出了光滑比和級(jí)比檢驗(yàn)等先驗(yàn)檢驗(yàn)方法，求解了GM(1,1)模型的參數(shù)包，并提出多種擴(kuò)展形式。此后，諸多國內(nèi)外學(xué)者加入到灰色預(yù)測(cè)模型的理論研究中，并從模型性質(zhì)、改進(jìn)和應(yīng)用等方面改進(jìn)了GM(1,1)模型。

(2) 若序列x(0)(k)單調(diào)遞增，則a<0；若序列x(0)(k)單調(diào)遞減，則a>0；

吉培榮等[3]以白指數(shù)序列為研究對(duì)象，通過分析GM(1,1)預(yù)測(cè)白指數(shù)序列的模擬誤差，給出了無偏GM(1,1)模型。無偏GM(1,1)預(yù)測(cè)白指數(shù)規(guī)律的序列不存在預(yù)測(cè)和模擬誤差。

王文平等[4]對(duì)帶有非線性項(xiàng)的GM(1,1)和無偏GM(1,1)模型的混合特征進(jìn)行研究；王正新等[5]在此基礎(chǔ)上，通過研究其混合特性，合理闡述了GM(1,1)和無偏GM(1,1)的禁區(qū)現(xiàn)象：

(1) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1.2

(2) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1

(3) 在GM(1,1)模型中，當(dāng)發(fā)展系數(shù)a<-1.124 時(shí)，原始GM(1,1)模型進(jìn)入混沌區(qū)；無偏模型中，當(dāng)發(fā)展系數(shù)a<-1.272538 時(shí)，無偏GM(1,1) 模型進(jìn)入混沌區(qū)。由此可見，無偏GM(1,1) 模型的混沌區(qū)域比原始GM(1,1)模型縮小了。

鄭照寧等[6]通過對(duì)GM(1,1)模型性質(zhì)的研究，指出灰色預(yù)測(cè)模型全都存在嚴(yán)重的病態(tài)性，而且模型的病態(tài)性問題源自模型自身，并以此否定了灰預(yù)測(cè)模型的理論與應(yīng)用價(jià)值。黨耀國等[7]從矩陣的角度，利用矩陣條件對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的病態(tài)性問題進(jìn)行研究，否定了灰色模型都存在病態(tài)性的結(jié)論，指出只有在常數(shù)序列中，并且除去首項(xiàng)、其余項(xiàng)都接近零的情況下，GM(1,1)模型才會(huì)出現(xiàn)此類病態(tài)問題。因此，GM(1,1)不存在嚴(yán)重的病態(tài)問題。李希燦等[8]提出了GM(1,1,β)模型的拓展形式： 參數(shù)包形式和內(nèi)涵型，并對(duì)這兩類拓展模型的性質(zhì)進(jìn)行研究，進(jìn)而提出優(yōu)化算法；研究結(jié)果表明，GM(1,1,β)灰微分方程模型參數(shù)a的客觀取值范圍是(-∞,+∞)，經(jīng)典模型則為(-2,+2);發(fā)展系數(shù)a的客觀取值范圍是由背景值系數(shù)β決定的，與原始數(shù)據(jù)無關(guān)?；椅⒎址匠棠Ｐ屯耆m合齊次指數(shù)數(shù)列。

1.1.2GM(1,1)灰色微分方程的優(yōu)化與改進(jìn)眾多學(xué)者對(duì)GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)研究。目前灰導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)思路大致分為向后差商和向前差商后進(jìn)行加權(quán)平均。張彤等[9]利用梯形面積和中點(diǎn)公式的求解思路，對(duì)GM(1,1)的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，改進(jìn)了灰導(dǎo)數(shù)的求解方法，提高了模型預(yù)測(cè)精度。王義鬧等[10]首先對(duì)原始序列進(jìn)行向后差商和向前差商，然后求解加權(quán)平均值，并以此作為GM(1,1)灰導(dǎo)數(shù)的白化公式，求解灰導(dǎo)數(shù)；得出該模型通過線性變化后，預(yù)測(cè)結(jié)果不變的性質(zhì)，同時(shí)模擬和預(yù)測(cè)精度也得到提高。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]中提出逐步求解灰導(dǎo)數(shù)，動(dòng)態(tài)優(yōu)化GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)，不僅提高了灰預(yù)測(cè)模型的精度，更解決了發(fā)展系數(shù)a絕對(duì)值過大時(shí)無法進(jìn)行預(yù)測(cè)的問題。穆勇[12]對(duì)GM(1,1)灰導(dǎo)數(shù)的白化值求解方法進(jìn)行改進(jìn)，使得GM(1,1)模型具有無偏性，并且給出了無偏GM(1,1)模型有白指數(shù)重合性的證明。李玻等[13]通過研究文獻(xiàn)[10]中灰導(dǎo)數(shù)的白化方法，給出了其白化方法的合理性，進(jìn)而改進(jìn)了加權(quán)系數(shù)的確定方法，給出了表達(dá)式，提高了預(yù)測(cè)模型的精度。張凌霜等[14]對(duì)非等間距的時(shí)間序列進(jìn)行研究，并改進(jìn)了非等間距序列的背景值求解方法，利用逐步遞推的思想對(duì)背景值求解中的加權(quán)系數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化。

GM(1,1)的背景值z(mì)(1)(k)是通過一次累加后均值生成的，背景值的生成過程是否準(zhǔn)確將直接影響模型的預(yù)測(cè)精度，因?yàn)楸尘爸祵?duì)GM(1,1)模型的參數(shù)包求解造成直接影響，發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b都依賴于背景值，而GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的準(zhǔn)確度取決于a和b。背景值構(gòu)造的偏差與數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)相關(guān)度較大，時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)平緩時(shí)，背景值精確度較高，反之偏差較大。因此，許多學(xué)者都對(duì)背景值的優(yōu)化進(jìn)行了探討。其中，譚冠軍[15]第一個(gè)提出GM(1,1)模型的背景值優(yōu)化，并從z(1)(k)的幾何意義入手定義了一個(gè)全新的背景值求解公式：

(m-1)x(1)(k+1)]

m=2,3,…,n

其他一些學(xué)者將背景值推廣為

z(1)(k)=αx(1)(k-1)+(1-α)x(1)(k)

其中，α∈(0,1)為待求參數(shù)。從以上公式可以看出確定公式中的參數(shù)α是求解背景值的關(guān)鍵。向躍霖[16]采用黃金分割法對(duì)α值進(jìn)行搜索，并以模擬誤差的平方和最小為搜索目標(biāo)，進(jìn)而求解參數(shù)α。謝開貴等[17]提出利用遺傳算法來確定參數(shù)α，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)不一定可微，而且α與模擬誤差之間是非線性關(guān)系。王義鬧等[18]通過探討發(fā)展系數(shù)a與背景值公式中的參數(shù)α之間的聯(lián)系，得出結(jié)論如下：

(3)α(a)是嚴(yán)格的單調(diào)遞減函數(shù)。

羅黨等[19]從另一個(gè)角度改進(jìn)了背景值的公式，利用齊次指數(shù)函數(shù)對(duì)一次累加生成序列進(jìn)行擬合，進(jìn)而構(gòu)造了新的背景值公式，提高了預(yù)測(cè)精度。Lin等[20]結(jié)合殘差傅里葉變換思路，根據(jù)灰預(yù)測(cè)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，構(gòu)造了一種新型的背景值公式，改進(jìn)了GM(1,1)模型。王正新等[21]認(rèn)為經(jīng)過一次累加后，離散的齊次指數(shù)函數(shù)將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)；反之離散的非齊次指數(shù)函數(shù)經(jīng)過一次累減后將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)，并給出了證明，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了背景值。

1.1.3GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)方法穆勇[22]認(rèn)為，由于線性規(guī)劃中折扣系數(shù)是依靠經(jīng)驗(yàn)得來，從而導(dǎo)致了參數(shù)確定偏差，故提出采用折扣最小二乘法對(duì)GM(1,1)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并求解出了折扣最小二乘法的小生境遺傳算法，削弱了參數(shù)的偏差問題。肖新平等[23]采用模擬誤差平方和最小化的準(zhǔn)則，對(duì)GM(1,1)模型的參數(shù)估算方法進(jìn)行優(yōu)化，通過探討原始序列的平移變換對(duì)參數(shù)確定的作用給出了參數(shù)優(yōu)化方法。何文章等[24]從3種不同的差商方式出發(fā)上，提出了GM(1,1)參數(shù)的線性規(guī)劃優(yōu)化方法。Wang等[25]為了提高預(yù)測(cè)精度，利用遺傳算法對(duì)GM(1,1)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，效果良好。張岐山[26]將微粒群算法引入GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)中，對(duì)背景值求解公式中的參數(shù)α和邊值進(jìn)行優(yōu)化，提高了灰色預(yù)測(cè)的精度。Hsu等[27]的研究對(duì)象為電力需求，屬于長期預(yù)測(cè)，其將小樣本參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法引入到GM(1,1)的參數(shù)估計(jì)中，拓寬了灰預(yù)測(cè)方法的適應(yīng)范圍，使其能應(yīng)用于中長期預(yù)測(cè)。Shih等[28]引入遺忘因子的概念和遞推的思想，對(duì)具有時(shí)變參數(shù)的 GM(1,1) 模型運(yùn)用遞推最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，提高了預(yù)測(cè)精度。王義鬧等[29]針對(duì)灰預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)與模型優(yōu)化脫節(jié)的問題，基于平均相對(duì)誤差最小化的原則，提出了一類估計(jì)指數(shù)型參數(shù)估計(jì)方法，從理論上最小化了預(yù)測(cè)模型的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值。

1.1.4GM(1,1)模型初始條件的優(yōu)化經(jīng)典GM(1,1)模型是以序列中第一個(gè)數(shù)據(jù)為白化微分方程的初始條件進(jìn)行求解的，鄧聚龍[30]考慮到灰色系統(tǒng)理論中的新信息優(yōu)先原理，并同時(shí)證明了序列第一個(gè)數(shù)據(jù)與模型的預(yù)測(cè)值和發(fā)展系數(shù)并無關(guān)系。隨后，許多研究學(xué)者對(duì)GM(1,1)模型的初始條件進(jìn)行深入研究。黨耀國等[31]提出以時(shí)間序列中最新的一個(gè)數(shù)據(jù)作為模型求解的初始條件，是對(duì)灰色系統(tǒng)新信息優(yōu)先原理的重要體現(xiàn)；此外，基于樣本綜合最優(yōu)化原理，可選取最小偏差中間數(shù)據(jù)為初始條件，以及原始累加序列與模擬累加序列偏差平方和最小和平均相對(duì)偏差最小、原始序列與模擬序列偏差平方和最小等方法。王育紅等[32]從線性組合的角度，以首個(gè)數(shù)據(jù)和最后一個(gè)數(shù)據(jù)作線性組合作為初始條件，并用最優(yōu)化思想求解權(quán)重系數(shù)。

1.1.5GM(1,1)模型擴(kuò)展及其應(yīng)用研究鄧聚龍[33]提出了GM(1,1)模型群，在GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，從定義和白化過程出發(fā)，推導(dǎo)出了 GM(1,1,x(1))、GM(1,1,x(0))、GM(1,1,b)、GM(1,1,exp) 和GM(1,1,C)5種派生模型。宋中民等[34]通過深入研究建模機(jī)理提出了中心逼近式的灰色GM(1,1)模型。Chen等[35]為了進(jìn)一步體現(xiàn)GM(1,1)模型的動(dòng)態(tài)性，結(jié)合時(shí)間序列ARMA的建模機(jī)理，提出了 DGDM(1,1,1) 模型，并得到廣泛應(yīng)用。Hsu等[36]應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正GM(1，1)模型的殘差，取得了較好的預(yù)測(cè)效果。謝乃明等[37]構(gòu)建了離散GM(1,1)模型，并給出了遞推求解算法，通過研究該模型的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)離散GM(1,1)模型對(duì)于白指數(shù)序列建模具有完全重合性。姚天祥等[38]在離散GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其建模的初始條件進(jìn)行深入研究。Wang等[39]研究了離散GM(1,1)模型的無偏性，并給出了遞推解法，同時(shí)求解了不同初始條件下無偏模型的對(duì)推公式，對(duì)兩種不同準(zhǔn)則下的初始條件進(jìn)行了優(yōu)化。王正新等[40]提出利用時(shí)間系數(shù)修正等間距時(shí)序，解決了GM(1,1)模型無法應(yīng)用在大波動(dòng)序列的問題；同時(shí)，給出了時(shí)間權(quán)重系數(shù)的計(jì)算方法，利用反向累加生成算子，建立GOM(1,1)模型，結(jié)合GM(1,1)和GOM(1,1)模型，提出兩階段灰色預(yù)測(cè)模型。錢吳永等[41]引入序列轉(zhuǎn)換法則，對(duì)振蕩序列利用轉(zhuǎn)換法則轉(zhuǎn)化為單調(diào)序列，再利用灰色預(yù)測(cè)模型有效地解決了振蕩序列預(yù)測(cè)問題。

實(shí)際問題中存在著大量的非等間距時(shí)序問題，而經(jīng)典的GM(1,1)模型僅適用于等間距序列的預(yù)測(cè)和模擬。因此，許多學(xué)者對(duì)非等間距序列的預(yù)測(cè)問題展開研究。羅佑新等[42]通過研究給出了直接建模法的前提條件： 初始序列需具備單調(diào)性、非負(fù)性、上凹性等性質(zhì)，并且需要滿足

[max Δtk/min Δtk]<2

Shi[43]首先利用線性變化負(fù)責(zé)將非等間距序列轉(zhuǎn)化為等間距序列，然后通過逆變換還原。史雪榮等[44]運(yùn)用上述文獻(xiàn)的序列生成方法，分析了變參數(shù)非等間距 GM(1,1) 模型及應(yīng)用。蔣衛(wèi)東等[45]避免了對(duì)原始非等間距序列的人為改造，提出時(shí)數(shù)分離法，通過概念的轉(zhuǎn)換得到兩個(gè)等間距序列，但對(duì)于這類轉(zhuǎn)換需進(jìn)一步研究其同步預(yù)測(cè)性。戴文戰(zhàn)等[46]借用文獻(xiàn)[19]中所提出的背景值優(yōu)化模型，構(gòu)建了非等間距GM(1,1)模型，提高了建模的精度。王葉梅等[47]則利用文獻(xiàn)[40]中提出的背景值最優(yōu)模型，構(gòu)建了新的非等間距模型，得到了較高的模擬精度。但是，對(duì)于非等間距序列的建模條件、生成方法等研究較少，目前較多的是對(duì)非等間距灰預(yù)測(cè)模型的簡(jiǎn)單推廣，建模機(jī)理、生成原則和轉(zhuǎn)換前提等有待進(jìn)一步深入研究。肖新平等[48]對(duì)廣義累加灰色預(yù)測(cè)控制模型進(jìn)行了深入分析，得出該灰預(yù)測(cè)模型其實(shí)是跳躍模型、非等間距模型和階段模型的統(tǒng)一變現(xiàn)形勢(shì)，并且對(duì)初始點(diǎn)的變化對(duì)模型參數(shù)及預(yù)測(cè)值的影響進(jìn)行了研究，利用矩陣分析推導(dǎo)了它們之間的數(shù)量關(guān)系；利用廣義累加生成矩陣，對(duì)其中的元素、初始點(diǎn)和初始條件選取進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)廣義累加灰色預(yù)測(cè)控制模型進(jìn)行組合優(yōu)化。郭曉君等[49]以含時(shí)間冪次項(xiàng)的灰色模型為基礎(chǔ)GM(1,1,tα)，構(gòu)建了灰色 GM(1,1,tα) 與自憶性原理的耦合預(yù)測(cè)模型；用動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理來克服傳統(tǒng)灰色模型對(duì)初值比較敏感的弱點(diǎn)。

1.2　GM(1,1)冪模型研究進(jìn)展

GM(1,1)冪模型是灰色預(yù)測(cè)模型的拓展，是GM(1,1)模型和Verhulst模型的推廣，對(duì)具有單峰特征的數(shù)據(jù)具有較好的模擬效果。冪模型中的灰作用量的冪指數(shù)可以靈活調(diào)整，以擬合不同特征曲線，這是該模型的最大特點(diǎn)。王正新等[50]提出了冪指數(shù)的白化公式，結(jié)合灰色系統(tǒng)的信息覆蓋思想，給出了冪模型的求解方法，并分析了冪指數(shù)的變化對(duì)模型求解的影響。當(dāng)冪指數(shù)取2時(shí)，即為灰色Verhulst模型。

事物在開始階段增長緩慢，隨后增速逐步增大，然后進(jìn)入高速增長期，最后進(jìn)入低速增長期直至停止增長，因此，事物的發(fā)展過程一般呈S形態(tài)，灰色Verhulst模型即適用于此類形狀。該模型首先對(duì)原始序列進(jìn)行一階累加生成，然后建立灰色預(yù)測(cè)模型；相比于傳統(tǒng)Verhulst模型，其把序列近似為單峰型數(shù)據(jù)，拓寬了傳統(tǒng)Verhulst模型應(yīng)用寬度，提高模擬精度。若原始數(shù)據(jù)本身即是S形態(tài)，且為小樣本數(shù)據(jù)，則可直接建立灰色Verhulst模型。何文章等[51]對(duì)灰色Verhulst模型的參數(shù)估計(jì)方法和初始條件進(jìn)行優(yōu)化，提高了模擬預(yù)測(cè)的效果。Wang等[52]從梯形面積公式的白化灰導(dǎo)數(shù)出發(fā)，提出了一種新的灰色 Verhulst 定義式，提高了差分方程參數(shù)與微分方程中參數(shù)的一致性。Kayacan等[53]引入傅里葉變換，對(duì)灰色Verhulst的模擬誤差進(jìn)行修正，提高模擬效果，并用改進(jìn)的模型對(duì)歐元對(duì)美元的匯率走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。王正新等[54]利用非齊次指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)生成算子，構(gòu)建了無偏灰色Verhulst模型，降低了模型本身存在的固定偏差。楊德嶺等[55]對(duì)“灰度不減”公理進(jìn)行延伸，得到了“信息域不減”的推論；然后，構(gòu)建核序列的Verhulst模型，并以信息域不減推論為依據(jù)、以核為中心推導(dǎo)區(qū)間灰數(shù)上(下)界的時(shí)間響應(yīng)式。王正新[56]對(duì)原始序列建立 GM(1,1) 冪模型以描述系統(tǒng)行為的總體趨勢(shì)；然后，利用傅里葉級(jí)數(shù)提取模型的殘差序列所包含的周期性振蕩規(guī)律，并以兩者之和構(gòu)成新的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)；最后以平均誤差最小化為目標(biāo)，建立非線性優(yōu)化模型求解最優(yōu)參數(shù)。王正新[57]提出一種時(shí)變參數(shù)GM(1,1)冪模型，通過引入多項(xiàng)式函數(shù)描述GM(1,1)冪模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律；根據(jù)建模樣本量的不同，分3種情形給出了模型的參數(shù)辨識(shí)算式，同時(shí)給出了時(shí)變參數(shù)GM(1,1)冪模型白化方程的解析解，利用積分復(fù)合梯形公式將其轉(zhuǎn)化為可用于預(yù)測(cè)的離散時(shí)間響應(yīng)式，并提出了參數(shù)優(yōu)化方法。

2灰色預(yù)測(cè)模型研究展望

目前，對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的研究主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展，提高GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度。對(duì)于拓廣灰色預(yù)測(cè)模型適用范圍的研究較少。在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、管理等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中，周期型數(shù)據(jù)、時(shí)滯型數(shù)據(jù)、變趨勢(shì)型數(shù)據(jù)、多因素截面數(shù)據(jù)、多因素面板數(shù)據(jù)、災(zāi)變數(shù)據(jù)、振蕩型數(shù)據(jù)等不同特征的數(shù)據(jù)普遍存在。對(duì)于不同類型的數(shù)據(jù)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的GM(1,1|T)、GM(1,n,τ(i))、GM(1,n,T(i))、GDM(1,n|τ,κ)適用模型，同時(shí)，探究各類模型的性質(zhì)，分析模型的適用范圍和參數(shù)的求解方法。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、技術(shù)等各方面的不斷發(fā)展，人們所面臨的實(shí)際問題越來越復(fù)雜，數(shù)據(jù)量越來越大，如何有效地從大數(shù)據(jù)中提取有效信息是對(duì)問題未來發(fā)展趨勢(shì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的前提。因此，對(duì)灰色組合預(yù)測(cè)模型的研究具有一定必要性。如利用灰關(guān)聯(lián)、灰決策模型對(duì)多因素預(yù)測(cè)問題需要先對(duì)因素進(jìn)行篩選，增強(qiáng)預(yù)測(cè)的有效性；灰色預(yù)測(cè)模型與博弈模型、控制模型、投入產(chǎn)出模型等組合運(yùn)用，將有效地處理復(fù)雜預(yù)測(cè)決策問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]Deng Julong.The Control problems of grey systems[J].Systems & Control Letter,1982(5): 288-294.

[2]劉思峰，鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20(5)： 121-124.

[3]吉培榮，黃巍松，胡翔勇.無偏灰色預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000(6)： 6-7，80.

[4]王文平，鄧聚龍.灰色系統(tǒng)中GM(1,1)模型的混沌特性研究[J].系統(tǒng)工程，1997，15(2)： 13-16.

[5]王正新，黨耀國，劉思峰.無偏GM(1,1)模型的混沌特性分析[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2007，27(11)： 153-158.

[6]鄭照寧，武玉英，包涵齡.GM模型的病態(tài)性問題[J].中國管理科學(xué)，2001(5)： 38-44.

[7]黨耀國，王正新，劉思峰.GM(1,1,β)灰色模型的病態(tài)問題研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28(1)： 156-160.

[8]李希燦,袁征，張廣波，等.GM(1,1,β)灰微分方程的若干性質(zhì)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2014,34(5)： 1249-1255.

[9]張彤，王子才，吳建偉.GM(1,1)模型參數(shù)的改進(jìn)計(jì)算方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，1998，20(8)： 58-60.

[10]王義鬧，劉開第，李應(yīng)川.優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)白化值的GM(1,1)建模法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001，21(5)： 124-128.

[11]Wang Y N,Chen Z J,Gao Z Q,et al.A generalization of the GM(1,1) direct modeling method with a step by step optimizing grey derivative’s whiten values and its applications[J].Kybernetes,2004,33(2): 382-389.

[12]穆勇.優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)白化值的無偏灰色GM(1,1)模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003,33(3)： 13-16.

[13]李玻，魏勇.優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)后的新GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29(2)： 100-105.

[14]張凌霜，王豐效.逐步優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的非等間距GM(1,1)模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010,40(11)： 63-67.

[15]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20(4)： 98-103.

[16]向躍霖.廢氣排放量灰色建模新法初探[J].環(huán)境科學(xué)研究，1995，8(6)： 45-48.

[17]謝開貴，李春燕，周家啟.基于遺傳算法的GM(1,1,λ)模型[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2000，15(2)： 168-172.

[18]王義鬧，劉光珍，劉開第.GM(1,1)模型的一種逐步優(yōu)化直接建模方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20(9)： 99-104.

[19]羅黨，劉思峰，黨耀國.灰色模型GM(1,1)優(yōu)化[J].中國工程科學(xué),2003，5(8)： 50-53.

[20]Lin Y H,Lee P C.Novel high-precision grey forecasting model[J].Automation in Construction,2007(16): 771-777.

[21]王正新，黨耀國，劉思峰.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28(2)： 61-67.

[22]穆勇.灰色預(yù)測(cè)模型參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化方法[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，16(3)： 95-98.

[23]肖新平,宋中民,李峰.灰技術(shù)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京： 科學(xué)出版社,2005： 102-123.

[24]何文章，宋國鄉(xiāng)，吳愛弟.估計(jì)GM(1,1)模型中參數(shù)的一族算法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25(1)： 69-75.

[25]Wang Chaohung,Hsu L C.Using genetic algorithms grey theory to forecast high technology industrial output[J].Applied Mathematics and Computation,2008(195): 256-263.

[26]張岐山.提高灰色GM(1,1)模型精度的微粒群方法[J].中國管理科學(xué),2007，15(5)： 126-129.

[27]Hsu C C,Chen C Y.Applications of improved grey prediction model for power demand forecasting[J].Energy Conversion and Management,2003,44(14): 2241-2249.

[28]Shih N Y,Shih N J,Yu W C.The parameter estimation of time-varying GM(1,1)[J].Journal of Grey System,2006,9(1): 51-56.

[29]王義鬧，吳利豐.基于平均相對(duì)誤差絕對(duì)值最小的GM(1,1)建模[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，37(10)： 29-31.

[30]鄧聚龍.累加生成灰指數(shù)律： 灰色控制系統(tǒng)的優(yōu)化信息處理問題[J].華中工學(xué)院學(xué)報(bào)，1987，15(5)： 7-12.

[31]Dang Yaoguo,Liu Sifeng,Chen Kejia.The GM models thatx(n) be taken as initial value[J].Kybernetes,2004,33(2): 247-254.

[32]Wang Yuhong,Dang Yaoguo,Li Yueqing,et al.An approach to increase prediction precision of GM(1,1) model based on optimization of the initial condition[J].Expert Systems with Applications,2010,37(8): 5640-5644.

[33]鄧聚龍.五種灰色預(yù)測(cè)[J].模糊數(shù)學(xué),1985,5(2)： 33-42.

[34]宋中民，同小軍，肖新平.中心逼近式灰色GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001，21(5)： 110-113.

[35]Chen C K,Tien T L.The indirect measurement of tensile strength by the deterministic grey dynamic model DGDM(1,1,1)[J].International Journal of Systems Science,1997,28(7): 683-690.

[36]Hsu C C,Chen C Y.A modified grey forecasting model for long-term prediction[J].Journal of The Chinese Institute of Engineers,2003,26(3): 301-308.

[37]謝乃明，劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預(yù)測(cè)模型建模機(jī)理[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25(1)：93-99.

[38]姚天祥，劉思峰，黨耀國.初始值優(yōu)化的離散灰色預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(10)：2394-2398.

[39]Wang Z X,Dang Y G,Liu B.Recursive solution and approximating optimization to grey models with high precision[J].Journal of Grey System,2009,21(2): 185-194.

[40]王正新，黨耀國，劉思峰.兩階段灰色模型及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28(11)： 109-114，121.

[41]錢吳永，黨耀國.基于振蕩序列的GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2009，29(3)： 149-154.

[42]羅佑新，周繼榮.非等間距GM(1,1)模型及其在疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和疲勞試驗(yàn)在線監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].機(jī)械強(qiáng)度，1996，18(3)：60-63.

[43]Shi B Z.Modeling of the non-equigap GM(1,1) modeling[J].The Journal of Grey System,1993,5(2): 105-114.

[44]史雪榮，王作雷，張正娣.變參數(shù)非等間距GM(1,1)模型及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36(6)： 216-220.

[45]蔣衛(wèi)東，李夕兵，趙國彥.非等時(shí)序列預(yù)測(cè)的時(shí)數(shù)分離研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2003，23(1)： 68-72.

[46]戴文戰(zhàn)，李俊峰.非等間距GM(1,1)模型建模研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，9(9)： 89-93.

[47]王葉梅，黨耀國，王正新.非等間距GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].中國管理科學(xué)，2008，16(4)： 159-162.

[48]肖新平,劉軍,郭歡.廣義累加灰色預(yù)測(cè)控制模型的性質(zhì)及優(yōu)化[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2014,34(6)： 1547-1556.

[49]郭曉君,劉思峰，方志耕，等.灰色GM(1，1,tα)模型與自憶性原理的耦合及應(yīng)用[J].控制與決策，2014,29(8)： 1447-1452.

[50]王正新，黨耀國，劉思峰，等.GM(1,1)冪模型求解方法及其解的性質(zhì)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(10)： 2380-2383.

[51]何文章，吳愛弟.估計(jì)Verhulst模型中參數(shù)的線性規(guī)劃方法及應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2006，26(8)： 141-144.

[52]Wang Zhengxin,Dang Yaoguo,Wang Yemei.A new grey Verhulst model and its application[C]∥Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services.[S.L.]: IEEE,2007: 571-574.

[53]Kayacan E,Ulutas B,Kaynak O.Grey system theory-based models in time series prediction[J].Expert Systems with Applications,2010,37(2): 1784-1789.

[54]王正新，黨耀國，劉思峰.無偏灰色Verhulst模型及其應(yīng)用[J].控制與決策，系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29(10)： 138-144.

[55]楊德嶺,劉思峰,曾波.基于核和信息域的區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型[J].控制與決策，2013,28(2)： 264-268.

[56]王正新.基于傅立葉級(jí)數(shù)的小樣本振蕩序列灰色預(yù)測(cè)方法[J].控制與決策，2014,29(2)： 270-274.

[57]王正新.時(shí)變參數(shù)GM(1,1)冪模型及其應(yīng)用[J].控制與決策，2014,29(10)： 1828-1832.

Survey of Gray Prediction Model Research

DANGYaoguo,WANGJunjie,KANGWenfang

(College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,

Nanjing 210016, China)

Abstract:Gray prediction is an important branch of the gray system theory. Six aspects were summarized for the existing research of gray prediction. These are the property research of GM(1,1) model, improvement and optimization of GM(1,1) model, parameter estimation method, optimization of initial condition, extension and application researches of GM(1,1) model, and research on power model. Finally, two suggestions are made for the future study of gray prediction models.

Key words:gray system; GM(1,1) model; gray prediction; optimization

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào):N 941.5

文章編號(hào)2095 - 0020(2015)01 -0001 - 07

作者簡(jiǎn)介：黨耀國(1964-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榛疑到y(tǒng)理論，E-mail： iamdangyg@163.com

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué) 資助(71071077，71371098)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(NC2012001)；江蘇省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目資助(2012JDXM005)

收稿日期：2015 - 01 - 15