劉 鵬，周 杰，黃 雷

（南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044）

0 引言

在無線通信系統(tǒng)中天線陣列可以用來提升系統(tǒng)容量和信號質量，所以角度參數對天線陣列性能的影響很重要。波達信號的角域包括水平方位到達角（Azimuth of Arrival，AOA）和俯仰角（Elevation of Arrival，EOA）。 文獻[1]中研究包含三維(three Dimensional，3D)天線陣列方法，假設方位到達角 AOA在[0，2π]上均勻分布，仰角則是不均勻地分布在水平面上。文獻[1]中沒有給出與水平方位到達角AOA、俯仰角EOA、天線陣列幾何相關的閉合解析式。文獻[2]中研究表明大約65%的入射信號相對于水平方位角平面仰角大于 10°。文獻[3]中提到室內到室外幾種環(huán)境中平均仰角擴展為9°。文獻[4]研究表明均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）和均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）下均勻分布和拉普拉斯分布的到達角概率分布函數和空間相關性函數，結果受限于方位平面。本文將研究方位到達角AOA和仰角EOA在均勻矩形陣列（Uniform Rectangular Array，URA）下對空間相關性的影響。

本文介紹了定向信道模型和均勻矩形陣列導向矢量（Steer Vector，SV），推導出在 3D均勻矩形陣列多種功率譜分布下空間衰落相關性的封閉形式表達式，分析AOA、EOA、方位角擴展(Azimuth Spread，AS)、俯仰角擴展(Elevation Spread，ES)及陣元間距對相關性的影響。采用多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法對MIMO系統(tǒng)波達信號方向進行空間譜估計，推導了多種天線陣列空間譜通用公式。本文分析可以應用于多輸入多輸 出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)容量分析以及MIMO系統(tǒng)的波達信號方向（Direction of Arrival，DOA）估計。

1 多天線信道模型

使用非頻率選擇性瑞利衰落信道模型分析天線陣列性能。信道脈沖響應表示為[5]：

其中，J是發(fā)射端天線總數量，aj(t)是發(fā)射端第j個天線復振幅，α(φj，θj)是均勻矩形陣列入射信號 矢量 ，這里 0≤φj＜2π，0≤θj＜π。 如圖 1 所示，φj和 θj是發(fā)射端第j個天線的水平方位到達角和俯仰角。圖1坐標系中xoy平面上設定一個N×P的均勻矩形天線陣列，入射信號矢量可以表示為[6]：

其中 μ=2πdxcosφsinθ/λ，υ=2πdysinφsinθ/λ，αN(μ)=[1，ejυ，…，ej(N-1)μ]T，αP(υ)=[1，ejυ，… ，ej(P-1)υ]T，[]T代表 轉置符號，λ是波長。標量dx和dy分別是天線陣元與x軸和y軸的平行間距。指數n和p表示天線陣元位于均勻矩形陣列 URA第n行第p列，表示為(n，p)。

圖1 均勻線性陣列URA三維空間接收模型

2 均勻矩形陣列空間衰落相關性

下面討論在天線陣列為3D均勻矩形陣列時，均勻分布和高斯分布情況下的空間相關性。在均勻矩形陣列URA下，(n，p)和(m，q)兩陣元之間空間相關性表示為：

E[g]是期望運算符，上標*表示共軛復數，αnp(φ，θ)表示為(n，p)天線的入射信號。p(φ，θ)為接收端到達角概率分布密度函數，假設AOA和EOA是非相關的，函數p(φ，θ)可以表示為p(φ)，p(θ)。

2.1 均勻分布情況下空間衰落相關性

假設波達信號水平方位角AOA和俯仰角EOA是均勻角能量分布函數。其函數表達式為：

式中，2Δφ是 AOA方位角的范圍，2Δθ是俯仰角 EOA的范圍。根據式(3)可以進一步展開得到：

2.2 高斯分布情況下空間衰落相關性

假設波達信號水平方位角AOA和俯仰角EOA遵循高斯角能量分布[7]。其函數表達式為：

其中，σg是功率譜分布標準差，Cg是分布密度函數歸一化常數。φφ是水平方位中心到達角，φθ是俯仰中心到達角。根據式（3）可以得到均勻矩形陣列 URA下，入射信號遵循高斯角能量分布時，兩陣元之間空間相關性表達式：

3 波達信號空間譜分析

空間譜是陣列信號處理中的重要概念，是信號在空間各個方向上的能量分布。本文利用MUSIC算法來分析URA下入射信號空間譜與其他天線陣列比較情況。MUSIC算法是利用接收數據協(xié)方差矩陣分離信號子空間和噪聲子空間，通過正交性來構成空間掃描譜估計參數。假設有n信號入射到陣元數為p的天線陣列，n≤p，則其接收信號表達式為：

這 里 ，α(φi，θi)是 天 線 陣 列 信 號 導 向 矢 量 ，si(t)是 獨立同分布窄帶隨機信號，n(t)是均值為0、方差為σ2平穩(wěn)高斯白噪聲。天線陣列為均勻線性陣列和均勻圓形陣列時，其入射信號導向矢量分別表示為：

MIMO天線陣列信號自相關矩陣Ryy可表示為：

對式（14）進行特征分解可以得到：

式中，Us是由大特征值對應的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而Un是由小特征值對應的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。假設信號子空間與噪聲子空間正交，且波達信號為弱相關或不相關，通過MUSIC算法得到空間譜公式為[8]：

4 數值結果與分析

圖2為入射信號遵循均勻分布時，俯仰角EOA和陣元間距對陣元(1，1)和陣元(2，2)之間空間相關性的影響。 設定 φ0和 θ0取 90°，AS為定值時，取 ES為不同值，比較兩個陣元之間相關性對于陣元間距的變化。隨著ES的增大，兩陣元間相關性隨之減小，隨著陣元間距的增大，空間相關性減小。

圖3所示為方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關性的影響。 設定 φ0和 θ0取 90°，ES為定值時，取AS為不同值，比較兩個陣元之間的相關性相對于陣元間距的變化。從圖中可以明顯看出，隨著AS的增大，兩陣元之間的相關性隨之減小，同樣隨著陣元間距的增大，空間相關性減小。

圖2 均勻分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

圖3 均勻分布下ES=0°時d/λ和AS對空間衰落相關性的影響

圖4所示為入射信號遵循高斯分布時，方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關性的影響。當AS為0°時，取ES為不同值，比較兩個陣元之間的相關性相對于陣元間距的變化。從圖中可以看出隨著ES的增加空間相關性減小。

圖4 高斯分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

如圖5所示，入射信號遵循高斯分布時，方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元之間的空間相關性的影響。當 ES為 0°時，取 AS為不同值，可以看出隨著AS的增加，空間衰落相關性下降的更快，結論與均勻分布情況下得出的結論一致。

圖5 高斯分布下ES=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

圖6 均勻線性陣列下空間譜

圖7 均勻圓形陣列下空間譜

圖8 均勻矩形陣列下空間譜

如圖6～圖8所示為MIMO天線陣列在分別采用ULA、UCA和URA情況下的空間譜分析仿真結果。假設有9個天線陣元，ULA陣元間距為d=0.5λ，UCA陣元半徑r=0.5λ，URA陣元間距為dx=dy=0.5λ。 在到達角參數 φ和θ取相同值的情況下，入射信號在三維空間中進行定位時，會出現(xiàn)相位模糊情況。圖6所示ULA空間為非均勻性，方向選擇性強，所以波達信號的相位模糊比較嚴重，出現(xiàn)許多的MUSIC偽譜峰值。在圖7和圖8中可以看出，UCA和URA情況下相位模糊情況比ULA減弱，在θ角測向時可能出現(xiàn)一個偽譜峰值。所以分析空間譜時采用UCA和URA會得到更好的效果，趨向于無模糊定位。

5 結論

本文推導了三維多徑信道中均勻矩形陣列URA在多種角能量分布下的空間衰落相關性解析公式，分析AOA、EOA、AS、ES以及陣元間距對空間衰落相關性的影響。采用多重信號分類MUSIC算法對MIMO系統(tǒng)波達信號方向進行空間譜估計，推導了多種天線陣列空間譜通用公式。通過計算機程序模擬仿真驗證了分析結果，仿真結果表明方位角擴展AS和仰角擴展ES是天線相關性的主要決定因素，空間衰落相關性隨著AS和ES的增加而減小。當AS和ES增加同樣角度時，在AS增加的情況下，空間衰落相關性下降的更快，表明了AS對空間相關性影響更大。仿真結果還表明，采用同樣的參數情況下估計MIMO系統(tǒng)空間譜，均勻矩形陣列URA相對于ULA和UCA更有優(yōu)勢。

[1]AULIN T.A modified model for the fading signal at a mobile radio channel[J].Vehicular Technology，IEEE Transactions on，1979，28(3)：182-203.

[2]KUCHAR A，ROSSI J P，BONEK E.Directional macro-cell channel characterization from urban measurements[J].Antennas and Propagation，IEEE Transactions on，2000，48(2)：137-146.

[3]KALLIOLA K，SULONEN K，LAITINEN H，et al.Angular power distribution and mean effective gain of mobile antenna in different propagation environments[J].Vehicular Technology，IEEE Transactions on，2002，51(5)：823-838.

[4]TSAI J A，BUEHRER R M，WOERNER B D.Spatial fading correlation function of circular antenna arrays with Laplacian energy distribution[J].IEEE Communications Letters，2002，6(5)：178-180.

[5]周杰，陳靖峰，邱琳.三維空間MIMO信道接收天線陣列互耦效應及系統(tǒng)容量分析[J].通信學報，2012，33(6)：1-10.

[6]YONG S K，THOMPSON J S.Three-dimensional spatial fading correlation models for compact MIMO receivers[J].Wireless Communications，IEEE Transactions on，2005，4(6)：2856-2869.

[7]ZHOU J，SASAKI S，MURAMATSU S．Spatial correlation functions for a circular antenna array and their applications in wireless communication system[J]．IEICE Trans FUNDAM COMPUT SCI，2003，E86-A(7)：1716-1723.

[8]SALIB F，SEDDIK K G.Exploiting spatial spectrum holes in multiuser MIMO systems[C].Signals,Systems and Computers，2013 Asilomar Conference on.IEEE，2013：1865-1868.