丁立旺,范雅靜,粟光旺

(1.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院金融與保險(xiǎn)學(xué)院，廣西 南寧 530003；2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 南寧 530003)

LNQD序列半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的強(qiáng)相合性

丁立旺1,范雅靜2,粟光旺2

(1.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院金融與保險(xiǎn)學(xué)院，廣西 南寧 530003；2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 南寧 530003)

摘要：對(duì)于半?yún)?shù)回歸模型yspan=xspanβ+g(tspan)+espan(1≤i≤n),誤差{espan,1≤i≤n}為平穩(wěn)LNQD序列,研究了未知參數(shù)β和未知函數(shù)g(t)小波估計(jì)的強(qiáng)相合性,在一定的條件下,得到了合理的結(jié)果,把非參數(shù)回歸模型的相應(yīng)結(jié)果推廣到半?yún)?shù)回歸模型.

關(guān)鍵詞：LNQD序列;半?yún)?shù)回歸模型;小波估計(jì);強(qiáng)相合性

1引言及定義

對(duì)于固定設(shè)計(jì)半?yún)?shù)回歸模型

yi=xiβ+g(ti)+ei,1≤i≤n,

(1)

其中(xi,ti) 為R×[0,1] 上固定的非隨機(jī)設(shè)計(jì)點(diǎn)列,β 為未知待估回歸參數(shù),g(t) 是定義在閉區(qū)間I=[0,1] 上的未知函數(shù),{ei,1≤i≤n} 是均值為零的隨機(jī)誤差.

半?yún)?shù)回歸模型這一統(tǒng)計(jì)分支是近年來(lái)興起的,我們知道參數(shù)分量用于對(duì)確定性影響因素進(jìn)行分析,而非參數(shù)分量部分用于對(duì)隨機(jī)干擾部分的刻畫(huà),而半?yún)?shù)回歸模型結(jié)合線性回歸模型和非參數(shù)回歸模型,它吸收了二者之間的優(yōu)點(diǎn),更好地描述了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,從而研究了許多有意義的問(wèn)題:一、在基本模型下,主要的研究集中在統(tǒng)計(jì)大樣本性質(zhì)上,如運(yùn)用各種不同的估計(jì)方法或在誤差的不同設(shè)定下,探討相關(guān)估計(jì)量的強(qiáng)相合性、弱相合性、r階矩相合性及其收斂速度,以及漸近正態(tài)性和逼近正態(tài)速度等;二、主要的研究是把模型推廣,探討存在數(shù)據(jù)污染、存在數(shù)據(jù)截?cái)嗷驍?shù)據(jù)刪失時(shí),模型的估計(jì)及相關(guān)估計(jì)量的性質(zhì);三、主要是實(shí)證與應(yīng)用研究.

令Em(t,s)=2mE0(2mt,2ms)=2m∑k∈Zφ(2mt-k)φ(2ms-k).記Ai=[si-1,si] 為[0,1] 上的分割si=(1/2)(ti+ti+1), 且ti∈Ai,1≤i≤n. 由于式(1)可寫(xiě)為

yi-xiβ=g(ti)+ei,i=1,…,n,

(2)

由 Eei=0, 有E(yi-xiβ)=g(ti)(i=1,…,n). 當(dāng)β 已知時(shí), 可定義g(·) 的估計(jì)為

(3)

(4)

從而可得g(·) 的最終估計(jì)為

(5)

由于小波估計(jì)的優(yōu)良特性, 比如它對(duì)待估函數(shù)要求較低, 具有誤差小、收斂速度快等許多優(yōu)點(diǎn), 因此近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)之進(jìn)行了一定的研究。小波估計(jì)方法主要廣泛用于非參數(shù)回歸模型和半?yún)?shù)回歸模型及參數(shù)模型的各種統(tǒng)計(jì)推斷中, 對(duì)隨機(jī)誤差為獨(dú)立、各種混合和相依樣本情形, 都進(jìn)行了深入的討論, 并且得到了比較完美的結(jié)果, 這里就不再一一列出.

定義1稱(chēng)隨機(jī)變量X和Y是NQD的, 若對(duì)任意x,y∈R,有

P(X

定義2稱(chēng)隨機(jī)變量序列Xn是LNQD的,若對(duì)任意兩個(gè)非空不交的有限子集A,B?{1,2,…}和任意正實(shí)數(shù)列ri,都有∑i∈AriXi和∑j∈BrjXj是NQD的.

LNQD的概念是由Newman[1]于1984年首先引入的一類(lèi)包含獨(dú)立情形的相依隨機(jī)變量,LNQD隨機(jī)變量在多元統(tǒng)計(jì)分析、滲透理論、可靠性理論海洋、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中均有許多廣泛的應(yīng)用.因此,引起了國(guó)內(nèi)外概率統(tǒng)計(jì)學(xué)者的關(guān)注和興趣.并且得到了很多有意義的結(jié)果.例如：Newman[1]建立了強(qiáng)平穩(wěn)LNQD過(guò)程的中心極限定理；Wang等[2]給出了LNQD序列中心極限定理的一致收斂速度；Ko等[3-4]建立了LNQD序列的Hoeffdillg型不等式，又研究了LNQD序列加權(quán)和的強(qiáng)收斂性質(zhì)；李永明等[5]得到了LNQD序列的一些不等式,并用權(quán)函數(shù)估計(jì)方法討論了漸近正態(tài)性,并把強(qiáng)混合誤差的情形推廣到LNQD序列情形；崔永君等[6]在LNQD樣本下用最近鄰密度估計(jì)的方法,討論了密度函數(shù)相關(guān)估計(jì)量的相合性,給出弱相合性、強(qiáng)相合性、一致強(qiáng)相合性以及它們的收斂速度的充分條件,同時(shí)研究了失效率函數(shù)估計(jì)的一致強(qiáng)相合性；楊洋等[7]討論了強(qiáng)平穩(wěn)LPQD隨機(jī)變量序列更新過(guò)程的漸近正態(tài)性問(wèn)題.

2條件及引理

文中C均表示任意常數(shù),即使在同一式子中也可以不同.

(A1)g(·)∈Hν(階為ν的Sobolev空間)，ν>1/2,且g(·)滿(mǎn)足1階Lipschitz條件;

(A3)(i)max1≤i≤n(si-si-1)=O(n-1)；(ii)max1≤i≤n(si-si-1-n-1)=o(n-1);

為了得到定理先引入以下引理:

引理1[8]設(shè)φ∈Sq,則

3定理及證明

(6)

(7)

(8)

上述定理得到了與文獻(xiàn)[6,9]相同的結(jié)論,但與文獻(xiàn)[6]相比,本文用不同于文獻(xiàn)[6]的估計(jì)方法,且在回歸模型中進(jìn)行討論,并把非參數(shù)回歸模型的相應(yīng)結(jié)果推廣到半?yún)?shù)回歸模型;與文獻(xiàn)[9]相比,本文是在誤差為L(zhǎng)NQD平穩(wěn)相依序列下討論的,文獻(xiàn)[9]是在誤差為獨(dú)立同分布下討論的,這說(shuō)明與獨(dú)立情形下的結(jié)論是一致的.

證明由式(1)和(3)得

故對(duì)任一δ>0,當(dāng)0<δ<η時(shí),由引理1,可得

(9)

注意到

(10)

又由Markov不等式、引理2及(A4(i)),得

(11)

由式(10)和(11),當(dāng)n→∞時(shí),有

(12)

又有

所以由式(9)和(12)并結(jié)合上式可證得式(7).

(13)

又對(duì)?ε>0,根據(jù)Markov不等式、引理2及(A5(i)),得

所以

從而由Borel-Cantelli引理,知

(14)

因此由式(7),(A5(ii))及(14)并結(jié)合式(13),可證得式(6).

又由式(3)和(5)及(A4(ii)),有

因此由式(7)和(13)并結(jié)合上式,可得到式(8)的證明.定理證畢.

參考文獻(xiàn):

[1] Newman C M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables[J]. Lecture Notes-Monograph Series,1984,5:127-140.

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[3] Ko M H, Choi Y K, Choi Y S. Exponential probability inequality for linearly negative quadrant dependent random variables[J]. Commun Korean Math So,2007,22:137-143.

[4] Ko M H, Ryu D H, Kim T S. Limiting behaviors of weighted sums for linearly negative quadrant dependent random variables [J]. Taiwanese Journal of Mathe matics,2007,11(2):511-522.

[5] Li Y M, Guo J H, Li N Y. Some inequalities for a LNQD sequence with applications[J]. Journal of Inequalities and Applications,2012,2012(1):1-9.

[6] 崔永君,楊善朝,梁丹.LNQD樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,30(2):59-65.

[7] 楊洋,王岳寶.強(qiáng)平穩(wěn).LPQD序列更新過(guò)程的漸近正態(tài)性[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2008,24(1):37-42.

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[9] 錢(qián)偉民,柴根象.半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的強(qiáng)逼近[J].中國(guó)科學(xué)A輯,1999,29(3):233-240.

Strong Consistency of the Wavelet Estimator for the Semiparametric Regression

Model under Linearly Negative Quadrant Dependent Sequences

DING Liwang1, FAN Yajing2, SU Guangwang2

(1.School of Finance and Insurance, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning 530003, China; 2.School of Information

and Statistics, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning 530003, China)

Abstract:For semiparametic regression model yspan=xspanβ+g(tspan)+espan(1≤i≤n), where the error {espan,1≤i≤n} is a strictly stationary linearly negative quadrant dependent sequences, the strong consistency of the wavelet estimator for β and g(t) are studied. The reasonable results under some certain conditions are obtained, which generalize and extend the results of nonparametic regression to semiparametic regression.

Key words:linearly negative quadrant dependent sequences; semiparametic regression model; wavelet estimator; strong consistency

第14卷第1期2015年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章編號(hào):1674-232X(2015)01-0097-05

中圖分類(lèi)號(hào):O212.7MSC2010: 60F05

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.018

通信作者：丁立旺(1985—),男，助教，碩士，主要從事概率極限理論和統(tǒng)計(jì)大樣本理論研究.E-mail:2008dingliwang@163.com

收稿日期：2014-07-31