王立冬，曹紅光，梁建華

(1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130012;2.大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116605)

長(zhǎng)期以來(lái)，軌道漸近性質(zhì)的研究是動(dòng)力系統(tǒng)的中心問(wèn)題。20 世紀(jì)60 年代以前，確定論是科學(xué)研究的主導(dǎo)思想，但是隨著氣象學(xué)和生態(tài)學(xué)中許多自然現(xiàn)象的出現(xiàn)，學(xué)者們意識(shí)到隨機(jī)性與不可確定性的重要性。

然而，很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)界并沒(méi)有一個(gè)明確的混沌的定義。直到1975 年，李天巖和Yorke［1］第一次用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出了混沌的定義。D被稱作f 的一個(gè)Li-Yorke 混沌集，如果對(duì)D 內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)x，y 滿足d(fn(x)，fn(y))＞0，(fn(x)，fn(y))=0。f 被稱作Li -Yorke 混沌的，如果存在一個(gè)不可數(shù)的混沌集。

從此，混沌的研究對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生了重要的影響。根據(jù)迭代映射在度量空間上的不同性質(zhì)，人們給出了很多種混沌的定義。傳遞性和敏感性在這些定義中是很重要的性質(zhì)。映射f 是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)X 中任意非空開(kāi)集U，V，存在正整數(shù)n 使得fn(U)∩V≠φ。稱點(diǎn)v∈X 為f 的一個(gè)傳遞點(diǎn)，若v 的軌道orb(v，f)={fn(v):n∈N}在X 中稠密，稱映射f 為敏感的，若存在ε ＞0 使得對(duì)每個(gè)非空開(kāi)集U?X，存在x，y∈U，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε，其中ε 叫做f 的一個(gè)敏感常數(shù)。

1989 年，Devaney［2］給出另一種混沌的定義。在文獻(xiàn)［3］中，Ruelle 和Takens 定義了一個(gè)新的混沌，被稱作R -T 混沌。1996 年，Kato［4］稱f 是混沌的，若f 滿足可達(dá)性和敏感性。1999 年，Martelli［5］稱f 是混沌的，如果存在x0∈X，使得x0的軌道在X 中稠密且x0的軌道是不穩(wěn)定的。為了研究分布混沌和Li-Yorke 混沌之間的關(guān)系，王立冬［6］在2007 年引入了“按序列分布混沌”的概念。

近年來(lái)，人們加強(qiáng)了一些混沌定義的條件，又提出了許多新的混沌的定義，如強(qiáng)Kato 混沌、強(qiáng)Li-Yorke 混沌、強(qiáng)按序列分布混沌等。

本文把傳遞性和弱混合性推廣到拓?fù)淙荷?，并定義了緊致度量空間上群作用的強(qiáng)Kato 混沌。證明了弱混合是動(dòng)力系統(tǒng)(X，G)為強(qiáng)Kato 混沌的一個(gè)充分條件。

1 基本定義

假設(shè)X 是一個(gè)完備的度量空間，度量為d，G是一個(gè)拓?fù)浣粨Q群。任意非空開(kāi)集Y?X，x∈X，r＞0，B(x，r)={y∈X:d(x，y)＜r}，d(x，Y)=inf{d(x，y):y∈Y}。

集合S?X(包含至少兩點(diǎn))叫做一個(gè)δ-混沌集，如果對(duì)某個(gè)正常數(shù)δ，?x，y ∈S，x ≠y 使得(fn(x)，fn(y)) ＞ δ，(fn(x)，fn(y))=0。映射f 是強(qiáng)Li-Yorke 混沌的，如果它有一個(gè)δ-混沌集。

設(shè)S 是X 的一個(gè)子集，包含至少兩個(gè)點(diǎn)，x，y∈S，x≠y，{pk}是一個(gè)正整數(shù)序列。對(duì)?δ ＞0，令

Fxy(δ，{pk})=#{k | d(fPk(x)，fPk(y))＜δ，1≤k≤n}，

其中#A 是A 的基數(shù)。

集合S?X 叫做按正整數(shù)序列pk的分布混沌集，如果對(duì)任意不同兩點(diǎn)x，y∈S，

(1)對(duì)某個(gè)ε ＞0，F(xiàn)xy(ε，{pk})=0;

(2)對(duì)所有δ ＞0，F(xiàn)*xy(δ，{pk})=1。

映射f:X→X 是按序列分布混沌的，如果它有一個(gè)不可數(shù)的按序列分布混沌集。如果存在ε ＞0 使得對(duì)不同的x，y∈S 有Fxy(ε，{pk})=0，則稱按序列分布混沌是強(qiáng)的。

映射f 是Ruelle-Takens 混沌的，如果

(1)f 是傳遞的;

(2)存在ε ＞0，使得對(duì)每個(gè)x∈X，任意δ ＞0和每個(gè)B(x，δ)，存在y∈B(x，δ)，n ＞0 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε。

映射f 是可達(dá)的，如果對(duì)于每個(gè)ε ＞0 和每對(duì)X 中的非空開(kāi)集U，V，存在x∈U，y∈V，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＜ε。

映射f 是Kato 混沌的，如果f 是敏感的并且可達(dá)的。

映射f 是Martelli 混沌的，若存在x0∈X 使得

(2)x0的軌道是不穩(wěn)定的，即存在r ＞0 使得對(duì)于每個(gè)ε ＞0，存在y∈X，n≥1 滿足兩個(gè)不等式d(x，y)＜ε，d(fn(x)，fn(y))＞γ。

如果φ:G×X→X 是連續(xù)的并且滿足條件:

(1)對(duì)任意x∈X，φ(e，x)=x，其中e 是群G的單位元;

(2)對(duì)任何x∈X，g1，g2∈G，φ(g1，φ(g2，x))=φ(g1g2，x);

則(X，G，φ)叫做一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，記為(X，G)。為了方便起見(jiàn)，φ(g，x)用gx 來(lái)表示。

系統(tǒng)(X，G)是拓?fù)鋫鬟f的，如果對(duì)于每對(duì)X的非空開(kāi)集U，V，存在g∈G 使得g［U］∩V≠?，其中g(shù)［U］={gxx∈U}。對(duì)于任意的x∈X，x 的軌道為orb(x，G)={gxg∈G}。點(diǎn)v∈X 被稱為(X，G)的一個(gè)傳遞點(diǎn)，如果v 的軌道orb(v，G)在X 中稠密。

系統(tǒng)(X，G)是弱混合的，若對(duì)X 中的任意四個(gè)非空開(kāi)集U1，U2，V1，V2，存在g∈G 使得g［U1］∩V1≠?，g［U2］∩V2≠?。

設(shè)N≥2 是一個(gè)整數(shù)。λ ＞0 是g 的一個(gè)N -敏感系數(shù)，若對(duì)于每個(gè)非空開(kāi)集U?X，存在N 個(gè)點(diǎn)x1，x2，…，xN∈U，n ＞0 使得min{d(gxi，gxj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}≥λ。g 的所有N -敏感系數(shù)的上確界記為λN，叫做g 的N -臨界敏感系數(shù)。

對(duì)?x1，x2，…，xN∈X，記r(x1，x2，…，xN)=min{d(xi，xj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}。令rN=(x1，x2，…，xN)。顯然，λN≤rN，且均單調(diào)遞減趨于0。

設(shè)(X，d)為一個(gè)至少包含兩個(gè)點(diǎn)的緊致度量空間，φ:G×X→X 是連續(xù)的。若λN=rN，(X，G)叫做N-最大敏感的。若對(duì)每個(gè)N ＞0，λN=rN，則(X，G)叫做一致最大敏感的(簡(jiǎn)記為TMS)。

動(dòng)力系統(tǒng)(X，G)是強(qiáng)可達(dá)的，如果對(duì)任意ε ＞0，X 中的非空開(kāi)集 { Ui}，存在點(diǎn)xi∈Ui，i=1，2，…，N，g∈G 使得d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。

如果(X，G)既是TMS 的，又是強(qiáng)可達(dá)的，動(dòng)力系統(tǒng)(X，G)叫做強(qiáng)Kato 混沌的。

2 主要定理

定理1 設(shè)(X，d)是一個(gè)沒(méi)有孤立點(diǎn)的緊致度量空間，G 是作用在X 上的一個(gè)拓?fù)浣粨Q群。若拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X，G)是弱混合的，則(X，G)是強(qiáng)Kato 混沌的。

證明 第一步，證明對(duì)于?N≥2，如果(X，G)是弱混合的，則(XN，G)是傳遞的。

由(X，G)是弱混合的定義得到，(X ×X，G)是傳遞的。假設(shè)對(duì)某個(gè)N≥2，(XN，G)是傳遞的。設(shè)U1，U2，…，UN，UN+1，V1，V2，…，VN，VN+1是X 中任意2(N+1)個(gè)非空開(kāi)集。(X×X，G)是傳遞的，則存在g1∈G 使得

因?yàn)?XN，G)是傳遞的，則存在g2∈G 使得g2［Ui］∩Vi≠?，i=1，2，…，N-1;g2［U］∩V≠?;g2［UN+1］∩VN+1?g2［g1［U］］∩g1［V］?g1［g2［U］∩V］≠?。從而，(XN+1，G)是傳遞的。由歸納法，對(duì)?N≥2，(XN，G)是傳遞的。

第二步，證明動(dòng)力系統(tǒng)(XN，G)的傳遞點(diǎn)的集合{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈ G }是一個(gè)Gδ集。

X 是一個(gè)緊致度量空間，因此X 有可數(shù)拓?fù)浠?{ Bn}。 { Bn}N是XN的一個(gè)拓?fù)浠?。顯然有{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，

由(XN，G)是傳遞的，得到對(duì)XN中任意開(kāi)集U1×…×UN和V1×…×VN，存在g∈G 使得g-1［U1×…×UN］∩(V1× … × VN)≠φ。-1［U1× …UN］是XN中的一個(gè)稠密子集。由式(1)，(XN，G)的傳遞點(diǎn)的集合是一個(gè)Gδ集。

第三步，證明(XN，G)是TMS 的。

由rN的定義，對(duì)N≥2，0 ＜ε0＜rN，存在點(diǎn)x1，x2，…，xN∈X 使得

綜上，得到對(duì)XN中的任意開(kāi)集U1×U2×…×UN，存在(y1，y2，…，yN)∈(U1×U2×… ×UN)∩{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈G} 和g∈G 使得max d(xi，gyi)|i，j∈{1，2，…，N}{，i≠j，xi∈Ui}＜。

故對(duì)上述g∈G，對(duì)每個(gè)i，j∈{1 ，2，…，N }，i≠j，得到

從而，rN-ε0是g 的一個(gè)N -敏感系數(shù)。由N，ε0的任意性，(X，G)是TMS 的。

最后，證明(X，G)是強(qiáng)可達(dá)的。

由(XN，G)是傳遞的，對(duì)?ε ＞0，N≥2 和X 中非空開(kāi)集U1，U2，…，UN，V，存在g∈G 使得g［Ui］∩V≠φ，i=1，2，…，N，其中diam(V)＜ε。從而，存在xi∈Ui使得gxi∈V，i=1，2，…，N，i.e.d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。所以，(X，G)是強(qiáng)可達(dá)的。

綜上，(X，G)是強(qiáng)Kato 混沌的。

推論1 設(shè)X 是一個(gè)緊致度量空間，度量為d。f:X→X 是一個(gè)連續(xù)映射。若f 是弱混合的，則

(1)f 是強(qiáng)Kato 混沌的;

(2)f 是強(qiáng)Li-Yorke 混沌的;

(3)f 是強(qiáng)按序列分布混沌的;

(4)f 是R-T 混沌的;

(5)f 是Martelli 混沌的。

證明 (1)設(shè)G={fi:i∈N+}，則G 是一個(gè)加法交換群。由定理1 的證明，f 是強(qiáng)Kato 混沌的。

(2)因?yàn)閒 是強(qiáng)Kato 混沌的，故f 是Kato 混沌的。由文獻(xiàn)［4］，f 是強(qiáng)Li-Yorke 混沌的。

(3)參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。

(4)根據(jù)R-T 混沌的定義，顯然成立。

(5)參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］。

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