張 朔， 吳 國(guó) 強(qiáng)*,2

( 1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

J2攝動(dòng)下基于平均軌道要素差的集群航天器空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)

張 朔1， 吳 國(guó) 強(qiáng)*1,2

( 1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

集群航天器是通過無線連接方式構(gòu)成的虛擬航天器系統(tǒng)，考慮J2攝動(dòng)下其在太陽同步軌道的空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)，對(duì)滿足其模塊間能量傳輸、數(shù)據(jù)交互的需要和應(yīng)用需求具有重要意義．基于主、從模塊平均軌道要素差建立了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，并給出了空間圓形編隊(duì)的詳細(xì)設(shè)計(jì)步驟；在零J2攝動(dòng)條件不再適用時(shí)，通過定量分析J2攝動(dòng)對(duì)該編隊(duì)構(gòu)形的影響，提出了相應(yīng)的修正公式；將模塊修正后的平均軌道要素轉(zhuǎn)換為初始時(shí)刻密切軌道要素確定了初始編隊(duì)構(gòu)形．采用無奇點(diǎn)的新四元數(shù)軌道要素進(jìn)行J2攝動(dòng)分析，仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性．

J2攝動(dòng)；平均軌道要素；集群航天器；空間圓形編隊(duì)

0 引 言

集群航天器最初由美國(guó)麻省理工學(xué)院的Mathieu等提出[1]，相較于傳統(tǒng)航天器，集群航天器具有在軌靈活、可擴(kuò)展、可維護(hù)和可快速響應(yīng)等優(yōu)勢(shì)，研究集群航天器對(duì)于加快快速響應(yīng)空間系統(tǒng)的建設(shè)速度，增強(qiáng)空間技術(shù)創(chuàng)新能力和提高新型航天器研制水平具有重要意義[2]．空間圓形編隊(duì)可高精度保持各功能模塊間相對(duì)距離，滿足集群航天器模塊間能量傳輸和數(shù)據(jù)交互的要求．太陽同步軌道則具有很高的應(yīng)用價(jià)值，資源衛(wèi)星、氣象衛(wèi)星、軍用衛(wèi)星、海洋衛(wèi)星等均采用太陽同步軌道[3]．因此，研究集群航天器在太陽同步軌道的空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)具有重要意義．

關(guān)于建立航天器編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的方法有很多種，高云峰等提出了編隊(duì)飛行的相對(duì)軌道要素法[4]．安雪瀅則基于相對(duì)軌道要素差推導(dǎo)了一階相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型[5]．殷建豐等通過定義新的軌道要素，推導(dǎo)了含有相對(duì)漂移率的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[6]．孟鑫等推導(dǎo)了便于攝動(dòng)分析的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[7]．采用上述相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程直接進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)時(shí)，都能滿足較小的構(gòu)形誤差，但是在考慮地球非球形體引起的J2攝動(dòng)后，無法保持構(gòu)形的穩(wěn)定性．平均軌道要素在編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)中通過合適的算法，可以使編隊(duì)構(gòu)形更加穩(wěn)定，設(shè)計(jì)的控制律更加有效，從而節(jié)省編隊(duì)構(gòu)形控制的燃料消耗[8]．

本文建立以主、從模塊初始平均軌道要素差表示的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，給出空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)的詳細(xì)步驟．上述設(shè)計(jì)步驟可確定主、從模塊的初始平均軌道要素，然而在考慮J2攝動(dòng)時(shí)，構(gòu)形仍會(huì)遭到破壞，因此需要進(jìn)行修正．在利用零J2攝動(dòng)條件對(duì)模型進(jìn)行修正時(shí)，僅存在零解，因此本文結(jié)合平均攝動(dòng)法[9]，定量分析J2攝動(dòng)對(duì)編隊(duì)構(gòu)形形狀和方向的影響，進(jìn)而提出相應(yīng)的修正公式．將修正后的模塊的初始平均軌道要素轉(zhuǎn)換為初始密切軌道要素[10]，采用新四元數(shù)軌道要素進(jìn)行攝動(dòng)分析[11]．通過對(duì)比零J2攝動(dòng)條件和本文修正公式的攝動(dòng)仿真結(jié)果，驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性．

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模與構(gòu)形設(shè)計(jì)

1.1 坐標(biāo)系定義

為了描述集群航天器中主、從模塊間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，選取兩個(gè)參考坐標(biāo)系：J2000地心赤道慣性坐標(biāo)系Oe-X1Y1Z1，其中原點(diǎn)Oe位于地心，OeX1軸指向春分點(diǎn)，OeZ1軸垂直于平赤道面指向北極，OeY1軸的方向由右手定則確定；主模塊軌道坐標(biāo)系Os-X2Y2Z2，Os位于主模塊質(zhì)心，OsX2軸方向?yàn)橹髂K質(zhì)心背離地心方向，OsY2軸在主模塊軌道平面上且垂直于OsX2軸并指向飛行前方，OsZ2軸的方向由右手定則確定．

1.2 平均軌道要素與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

(1)

其中平均軌道要素中的元素按順序分別為平均半長(zhǎng)軸、平均軌道偏心率、平均軌道傾角、平均升交點(diǎn)赤經(jīng)、平均近地點(diǎn)幅角和平均平近點(diǎn)角．

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.3 空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)

根據(jù)上述約束條件，給出空間圓形編隊(duì)的具體設(shè)計(jì)步驟：

(2)給定空間圓形編隊(duì)半徑l，求得A和C；

(3)選擇ψ=0或ψ=π，本文選取前者；

(4)給定編隊(duì)從模塊的總數(shù)，設(shè)計(jì)不同的φ，本文將φ在0至2π的范圍內(nèi)均分，使得各從模塊之間相位差一致；

(6)由式(6)中A和cosφ的計(jì)算公式求得

在編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)時(shí)采用的是主、從模塊于編隊(duì)初始時(shí)刻的平均軌道要素，編隊(duì)設(shè)計(jì)時(shí)尚未考慮模塊的平均軌道要素受J2攝動(dòng)的影響，因此，上述編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)只適用理想情況．仍需分析攝動(dòng)對(duì)編隊(duì)構(gòu)形影響，然后對(duì)編隊(duì)初始時(shí)刻的平均軌道要素進(jìn)行修正，來抑制攝動(dòng)引起的構(gòu)形變化．

2 J2攝動(dòng)對(duì)編隊(duì)構(gòu)形的影響及修正

2.1 一般的編隊(duì)構(gòu)形的軌道平面分析

由式(5)可得一般的編隊(duì)構(gòu)形所在軌道平面(繞飛軌道平面)的幾何方程：

(7)

(8)

(9)

2.2 J2攝動(dòng)下編隊(duì)構(gòu)形的變化

根據(jù)平均攝動(dòng)法[9]，平均軌道要素在J2攝動(dòng)影響下的攝動(dòng)方程為

(10)

式中：J2為帶諧系數(shù)，Re為地球半徑，μ為地球引力常數(shù)．分別計(jì)算主、從模塊的平均軌道要素變化率時(shí)只需在上式中替換相對(duì)應(yīng)的變量即可．

由前文知，從模塊與主模塊的平均軌道要素差為小量，近似為一階變分關(guān)系，對(duì)從模塊與主模塊的平均軌道要素變化率之差也作近似一階變分處理，結(jié)合式(10)推得

(11)

根據(jù)主模塊的初始時(shí)刻平均軌道要素和編隊(duì)構(gòu)形要求設(shè)計(jì)得到的從模塊的初始平均軌道要素，雖然在初始時(shí)刻滿足構(gòu)形要求，但是考慮J2攝動(dòng)的影響后，隨著主、從模塊的飛行，約束條件就不再精確滿足，下面分析編隊(duì)構(gòu)形受J2攝動(dòng)的影響情況．

(12)

(13)

2.3 平均軌道要素的修正公式

(14)

(15)

2.4 軌道要素的轉(zhuǎn)換及攝動(dòng)方程

將修正后的主、從模塊的初始平均軌道要素轉(zhuǎn)換為初始密切軌道要素后，通過求解攝動(dòng)方程，可計(jì)算編隊(duì)構(gòu)形隨時(shí)間的變化．由歐拉角定義的經(jīng)典軌道要素存在奇異性；而改進(jìn)的春分點(diǎn)軌道要素雖然避免了奇異性，但存在繁瑣的三角函數(shù)計(jì)算．本文采用新四元數(shù)軌道要素表示的攝動(dòng)方程[11]．

3 仿真算例及結(jié)果分析

表1 模塊初始時(shí)刻的平均軌道要素Tab.1 Initial mean orbital elements of modules

表2 從模塊的平均軌道半長(zhǎng)軸修正量Tab.2 Revised values for mean orbital semi-major axis of deputy modules

模塊a/kme/10-4i/(°)Ω/(°)ω/(°)M/(°)主模塊7364.054.286299.3650.2700從模塊17364.0711.095099.3650.340.0191359.99從模塊27364.045.941399.4250.24278.56081.44從模塊37364.055.939099.3150.24081.48278.51

表4 修正與未修正的從模塊初始密切軌道要素之差Tab.4 The difference between revised and unrevised osculating orbital elements of deputy modules

圖1 無J2攝動(dòng)時(shí)編隊(duì)構(gòu)形的相對(duì)位置誤差Fig.1 Relative position error of formation configuration without J2 perturbation

由圖1可知，在不考慮J2攝動(dòng)時(shí)，實(shí)際編隊(duì)飛行中與繞飛半徑10 km的理想空間圓形的位置誤差僅在4 m左右，驗(yàn)證了本文相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的有效性．考慮J2攝動(dòng)時(shí)，對(duì)比圖1與圖3(a)知，編隊(duì)構(gòu)形發(fā)生了較大改變，相對(duì)位置誤差隨飛行時(shí)間逐漸增大，在3個(gè)交點(diǎn)周期已達(dá)到近300 m．由圖3(a)與圖3(b)對(duì)比可知，從模塊1的相對(duì)位置誤差并沒有減小，因?yàn)閮烧咄骄壍纼A角，故無須修正，但其他從模塊的相對(duì)位置誤差從300 m減少至150 m，驗(yàn)證了本文的修正公式可有效抑制繞飛軌道的跡向漂移．由圖2可知，各從模塊之間相位差相同，并在中心為主模塊、半徑為10 km的空間圓形軌道上飛行．

圖2 修正后J2攝動(dòng)下編隊(duì)飛行的三維軌跡

(a) 未修正時(shí)

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)主模塊位于小偏心率軌道，不考慮J2攝動(dòng)時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)計(jì)結(jié)果具有很高的精度，但不適用于赤道軌道和極地軌道的編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)．

(2)主模塊位于太陽同步軌道，其平均軌道偏心率為0時(shí)，無法采用零J2攝動(dòng)條件進(jìn)行修正．

(3)本文的修正公式有效抑制了編隊(duì)構(gòu)形的跡向漂移，實(shí)際編隊(duì)時(shí)，從模塊與主模塊的平均軌道傾角之差越小，其相對(duì)漂移越小，所以應(yīng)盡可能設(shè)計(jì)同軌道傾角編隊(duì)．考慮J2攝動(dòng)時(shí)，采用平均軌道要素差對(duì)集群航天器進(jìn)行空間圓形編隊(duì)設(shè)計(jì)，對(duì)其后續(xù)編隊(duì)構(gòu)形保持、節(jié)省燃料和控制律的設(shè)計(jì)具有重要意義．

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Space circular formation configuration design of fractionated spacecraft based on difference of mean orbital elements for J2 perturbation

ZHANG Shuo1, WU Guo-qiang*1,2

( 1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Fractionated spacecraft is a virtual spacecraft system which is constituted by wireless connection. The space circular formation configuration design as the chief module at the sun-synchronous orbit for J2 perturbation, has great significance of meeting the needs of energy transfer and data exchange accurately between the modules, and its application requirements. To begin with, relative motion model is established through the difference of mean orbital elements between deputy module and chief module, and the design steps of the space circular formation configuration are given. The J2 invariant perturbation conditions are no longer applied, so the revised formula is proposed through the quantitative analysis of J2 perturbation. The initial formation configuration is determined by converting the revised mean orbital elements to the osculating orbital elements at the initial time. The nonsingular novel quaternion orbital elements are used to analyze J2 perturbation, and the efficacy of the design method is demonstrated by the results of simulations.

J2 perturbation; mean orbital elements; fractionated spacecraft; space circular formation

1000-8608(2015)03-0236-07

2014-08-10；

2015-01-18．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202044).

張 朔(1990-)，男，碩士生，E-mail:dlzs@mail.dlut.edu.cn；吳國(guó)強(qiáng)*(1977-)，男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，E-mail:gqwu@dlut.edu.cn.

V412.4

A

10.7511/dllgxb201503002