王宇譜 呂志平 宮曉春 周海濤 王 寧

1 信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001

衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，星載原子鐘的鐘差預報有著重要的作用［1－4］。鐘差預報模型主要包括二次多項式（QP）模型［4－5］、灰色模型（GM（1，1））［5］、譜分析（SA）模型［6－8］、時間序列（ARIMA）模型［9，10］、Kalman 濾波（KF）模型［2，11］及其改進模型［12－14］等。本文使用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù)，從不同建模鐘差數(shù)據(jù)量進行相同時間段鐘差預報的角度，利用5種常用鐘差模型對目前在軌運行的6種GPS衛(wèi)星鐘進行1、15、60d的鐘差預報，根據(jù)預報結(jié)果對各模型的預報效果進行分析和比較。

1 預報試驗與結(jié)果分析

使用GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的最終精密鐘差產(chǎn)品進行預報試驗。以GPS Week 17 464～17 576（2013－06－27～2013－09－14）共80d的鐘差數(shù)據(jù)為例，同時考慮此時間段的星載原子鐘包 括BLOCK ⅡA銫鐘、BLOCK ⅡA銣鐘、BLOCK ⅡR銣鐘、BLOCK ⅡR－M銣鐘、BLOCK ⅡF銫鐘、BLOCK ⅡF銣鐘6種類型，隨機選取該時間段內(nèi)不存在鐘差跳變和間斷、數(shù)據(jù)完整的每類鐘的一顆衛(wèi)星進行試驗。文中選取PRN01、PRN10、PRN22、PRN24、PRN29、PRN32六顆衛(wèi)星。預報試驗中，以對應的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)作為參考真值，使用均方根誤差（RMS）和極差（最大誤差與最小誤差之差的絕對值，記為Range）作為統(tǒng)計量，分析各模型的預報效果。其中均方根誤差的計算公式為：

式中，errori為預報誤差，是i時 刻IGS精密鐘差值，ti為i時刻鐘差預報值。

對于5種常用鐘差預報模型，有以下3點需要說明：

1）本文SA 模型確定的過程為［6］：首先，利用二次多項式對已知鐘差數(shù)據(jù)進行擬合得到擬合殘差；然后，使用Daubechies小波進行信號分解并對殘差進行降噪處理；接下來，采用傅里葉變換將降噪后的信號從時域變換到頻域中，則信號分解為多個簡單的正弦和余弦信號的疊加；最后，根據(jù)最大功率譜的量級，確定周期函數(shù)的階數(shù)及其功率譜對應的頻率。

2）本文使用ARIMA 模型進行鐘差預報建模時，首先根據(jù)自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)的截尾性初步確定模型和模型的階數(shù)［9］。在模型確定后，利用AIC準則準確地確定模型的階數(shù)［10］，并通過最小二乘估計方法［9］求解模型參數(shù)。

3）本文使用基于方差遞推法來確定噪聲矩陣的KF模型進行鐘差預報［4］。

最后，設計兩種方案對各模型的鐘差預報效果進行分析說明。方案一，使用2013－07－03的鐘差數(shù)據(jù)進行建模，預報接下來1d（代表短期預報）、15d（代表中期預報）、60d（代表長期預報）。方案二，使用2013－06－27～07－03共7d的鐘差數(shù)據(jù)進行建模，預報接下來1、15、60d的鐘差。兩方案中各衛(wèi)星的鐘差預報結(jié)果統(tǒng)計見表1～6（單位：ns）。

1）分析6個表中QP模型對應列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①從表1、4可知，對于1d以內(nèi)的短期預報，QP模型能夠通過對歷史鐘差數(shù)據(jù)的有效擬合來反映鐘差的變化規(guī)律，從而得到較好的預報結(jié)果：預報精度在亞ns到幾個ns之間，預報穩(wěn)定性對于銣鐘在數(shù)個ns之內(nèi)，而銫鐘在幾個ns到數(shù)十ns之間。而在中長期預報中，隨著預報時間的增加，由于預報結(jié)果誤差的不斷累積，該模型預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性迅速下降。因此，不宜采用該模型進行鐘差的中長期預報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預報結(jié)果統(tǒng)計值可知，QP模型進行鐘差預報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘種類的不同而變化。

2）分析6個表中SA 模型對應列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①由于SA 模型較好地擬合了星載原子鐘的周期項部分，因此，整體上使用SA 模型進行鐘差預報能夠得到較QP 模型更好的預報結(jié)果，預報精度和預報結(jié)果的穩(wěn)定性均有一定程度的提高。而從表1～3中PRN10和PRN29的預報結(jié)果統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，此時QP 模型的預報效果均優(yōu)于SA 模型的預報效果，說明在建模鐘差數(shù)據(jù)相對較少的情況下，該模型還存在周期確定不準而導致預報效果不如QP 模型的現(xiàn)象。同時，在鐘差的短期預報中，其預報結(jié)果的精度、穩(wěn)定性與QP模型相當。長期預報中由于受到二次多項式主項的影響，隨著預報時間的增加，模型的預報誤差迅速增加，但預報效果優(yōu)于QP 模型。②由各表中6顆衛(wèi)星的預報結(jié)果統(tǒng)計可知，該模型進行鐘差預報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

表1 方案一中5種模型1d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.1 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case ones

表2 方案一中5種模型15d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.2 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case one

表3 方案一中5種模型60d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.3 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case one

表4 方案二中5種模型1d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.4 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case two

3）分析6個表中GM（1，1）模型對應列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①與其他4 種模型相比，GM（1，1）模型較為顯著的特點是整體上對于鐘差的中長期預報其預報效果較好，隨著預報時間的增加其預報誤差的增長較為緩慢，但預報有時會出現(xiàn)較大的誤差，例如表3、6中PRN01衛(wèi)星的長期預報。同時可以看出，GM（1，1）模型在使用試驗所給時間段的鐘差數(shù)據(jù)時，其短期預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與QP 模型和SA 模型相當。所以，GM（1，1）模型不但可用于鐘差的短期預報，而且比較適合用來進行鐘差的中長期預報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預報結(jié)果統(tǒng)計可知，該模型進行鐘差預報時，鐘差預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而不同。

表5 方案二中5種模型15d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.5 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case two

表6 方案二中5種模型60d預報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.6 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case two

4）分析6個表中ARIMA（p，d，q）模型對應列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①該模型在鐘差的短期預報中能夠得到與前面3 種模型相當?shù)念A報結(jié)果；而在鐘差的長期預報中，由于一次差分后的鐘差數(shù)據(jù)并不是一個絕對平穩(wěn)的時間序列，隨著預報時間的增加，誤差累積量急劇增加，所以這種方法并不適合鐘差的長期預報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預報結(jié)果統(tǒng)計值可知，該模型進行鐘差預報時，不同的衛(wèi)星其鐘差預報結(jié)果差異較大，這也說明了ARIMA（p，d，q）模型由于模型識別和階數(shù)確定較為困難，預報結(jié)果的穩(wěn)定性不好。

5）分析6個表中KF模型對應列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①從表1、4可知，KF 模型利用1d的鐘差數(shù)據(jù)建模進行短期預報時，預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與前4種模型相當。對比表1～3和表4～6可知，該模型進行長期預報時，一方面由于歷史數(shù)據(jù)對濾波預報值的影響較大，初始數(shù)據(jù)的誤差會被放大得越來越嚴重；另一方面濾波引入的系統(tǒng)狀態(tài)方程雖然能有效顧及擬合精度，但其確定整體模型的精度較差，從而使得6顆衛(wèi)星預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性都隨著預報時間的增加而變差。②由各表中6 顆衛(wèi)星的預報結(jié)果統(tǒng)計可知，使用KF模型進行鐘差預報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

6）分析6個表中銣鐘鐘差預報結(jié)果的平均值可看出，對于銣鐘的短期預報，5種常用預報模型預報精度和穩(wěn)定性基本相當，預報精度的平均值為ns量級。對比6個表中最后一列各顆衛(wèi)星使用5種模型進行鐘差預報時的統(tǒng)計結(jié)果平均值可知，相同預報條件下，不同種類的星載原子鐘其鐘差預報效果不同。同時，各模型預報效果隨著原子鐘類型的變化而不同。而對比各表最后一列中“銫鐘的均值”與“銣鐘的均值”可知，對于GPS系統(tǒng)衛(wèi)星鐘的預報，其星載銣原子鐘的預報效果整體上優(yōu)于銫原子鐘。

7）對比表1、4，2、5和3、6可以看出，在鐘差建模數(shù)據(jù)充足的條件下，由于SA 模型的周期函數(shù)根據(jù)較長的鐘差序列得到了更可靠的確定，因此，其預報效果較QP模型有了改善；而該條件下這兩種模型的預報效果優(yōu)于GM（1，1）模型。根據(jù)6個表中的統(tǒng)計結(jié)果可知，5種模型在兩種數(shù)據(jù)方案下，GM（1，1）模型的預報結(jié)果最為穩(wěn)定，ARIMA 模型的預報結(jié)果隨著建模鐘差數(shù)據(jù)量及預報條件的不同而變化較大，QP、SA、ARIMA、KF 4種模型能夠通過增加建模鐘差數(shù)據(jù)量來改善模型的預報性能，特別是對于前3種模型的中長期預報。對于GM（1，1）模型，增加鐘差建模數(shù)據(jù)使得短期預報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性均變差，也不能明顯改善中長期預報效果。造成該現(xiàn)象的主要原因是對于GPS衛(wèi)星鐘差短期預報，該模型的指數(shù)系數(shù)是只與歷元個數(shù)有關的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會產(chǎn)生差異較大的預報結(jié)果。

2 結(jié) 語

1）QP模型具有建模簡單、物理意義明確、短期預報效果好等優(yōu)點，存在的不足是預報精度隨著預報時間的增加而迅速變差。

2）SA 模型能夠一定程度上顧及鐘差的周期性變化部分，得到更為精確的鐘差預報值；但該模型的周期函數(shù)要根據(jù)較長的鐘差序列才能更可靠地確定，同時該模型的建立較QP模型更復雜。

3）GM（1，1）模型不但短期預報效果好且比較適合進行鐘差的長期預報，存在的不足是模型的指數(shù)系數(shù)是與歷元個數(shù)有關的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會產(chǎn)生差異較大的預報結(jié)果；同時，還存在有時會出現(xiàn)較大預報誤差的現(xiàn)象。

4）ARIMA 模型在鐘差的短期預報中能取得較好的預報結(jié)果，但不適合鐘差的長期預報；同時，該模型的預報效果會隨著星載原子鐘類型的不同和預報條件的變化而產(chǎn)生較大差異。

5）KF模型的優(yōu)點是不僅能夠預報鐘差值還能實時求解出鐘差、鐘速和鐘漂3個表征星鐘特性的物理參數(shù)；但該模型的預報效果與先驗信息認知程度等密切相關，通常難以較好地獲取這些信息。該模型鐘差短期預報效果較好，特別是在建模數(shù)據(jù)充足的條件下；但其鐘差長期預報的效果較差，因此，不適合用來進行鐘差的長期預報。

6）對于GPS系統(tǒng)，其星載銣鐘的預報效果整體上優(yōu)于星載銫鐘。同時，在5種常用鐘差預報模型中，QP模型和GM（1，1）模型較為簡單，而且具有較好的預報效果。

［1］劉基余.GPS衛(wèi)星導航定位原理與方法［M］.北京：科學出版社，2008（Liu Jiyu.Theories and Methods of GPS Satellite Navigation and Positioning［M］.Beijing：Science Press，2008）

［2］朱祥維，肖華，雍少為，等.衛(wèi)星鐘差預報的Kalman算法及其性能 分 析［J］.宇航學報，2008，29（3）：966－970（Zhu Xiangwei，Xiao Hua，Yong Shaowei，et al.The Kalman Algorithm Used for Satellite Clock Offset Prediction and Its Performance Analysis［J］.Journal of Astronautics，2008，29（3）：966－970）

［3］王宇譜，呂志平，陳正生，等.衛(wèi)星鐘差預報的小波神經(jīng)網(wǎng)絡算法研究［J］.測繪學報，2013，42（3）：20－28（Wang Yupu，LüZhiping，Chen Zhengsheng，et al.Research the Algorithm of Wavelet Neural Network to Predict Satellite Clock Bias［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2013，42（3）：323－330）

［4］王繼剛.基于GPS精密單點定位的時間比對與鐘差預報研究［D］.北京：中國科學院研究生院，2010（Wang Jigang.Research onTtime Comparison Based on GPS Precise Point Positioning and Atomic Clock Prediction［D］.Beijing：Graduate School of CAS，2007）

［5］崔先強，焦文海.灰色系統(tǒng)模型在衛(wèi)星鐘差預報中的應用［J］.武漢大學學報：信息科學版，2005，30（5）：447－450（Cui Xianqiang，Jiao Wenhai.Grey System Model for the Satellite Clock Error Predicting［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2005，30（5）：447－450）

［6］鄭作亞，黨亞民，盧秀山，等.附有周期項的預報模型及其在GPS衛(wèi)星鐘差預報中的應用研究［J］.天文學報，2010，51（1）：95－102（Zheng Zuoya，Dang Yamin，Lu Xiushan，et al.Prediction Model With Periodic Item and Its Application to the Prediction of GPS Satellite Clock Bias［J］.Acta Astronomica Sincia，2010，51（1）：95－102）

［7］Heo Y J，Cho J，Heo M B.Improving Prediction Accuracy of GPS Satellite Clocks with Periodic Variation Behavior［J］.Measurement Science and Technology，2010，21（7）：3 001－3 008

［8］Senior K L，Ray J R，Beard R L.Characterization of Periodic Variations in the GPS Satellite Clocks［J］.GPS Solution，2008，12（3）：211－225

［9］徐君毅，曾安敏.ARIMA（0，2，q）模型在衛(wèi)星鐘差預報中的應用［J］.大地測量與地球動力學，2009，29（5）：116－120（Xu Junyi，Zeng Anmin.Application of ARIMA（0，2，q）Model to Prediction of Satellite Clock Error［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29（5）：116－120）

［10］趙亮，蘭孝奇，盛建岳.ARIMA 模型在衛(wèi)星鐘差預報中的應用［J］.水利與建筑工程學報，2012，10（1）：135－137（Zhao Liang，Lan Xiaoqi，Sheng Jianyue.Application of ARIMA Model in Satellite Clock Error Forecasting［J］.Journal of Water Resources and Architectural Engineering，2012，10（1）：135－137）

［11］Davis J，Bhattarai S，Ziebart M.Development of a Kalman Filter Based GPS Satellite Clock Time－Offset Prediction Algorithm［C］.European Frequency and Time Forum（EFTF），2012

［12］鄭作亞，陳永奇，盧秀山.灰色模型修正及其在實時GPS衛(wèi)星鐘差預報中的應用研究［J］.天文學報，2008，49（3）：306－320（Zheng Zuoya，Chen Yongqi，Lu Xiushan.An Improved Grey Model for the Prediction of Real－time GPS Satellite Clock Bias［J］.Acta Astronomica Sinica，2008，49（3）：306－320）

［13］Wang J G，Hu Y H，He Z M，et al.Prediction of Clock Errors of Atomic Clocks Based on Modified Linear Combination Model［J］.Chinese Astronomy and Astrophysics，2011，35：318－326

［14］王宇譜，呂志平，陳正生，等.一種新的導航衛(wèi)星鐘差預報與內(nèi)插方法［J］.大地測量與地球動力學，2013，33（4）：112－116（Wang Yupu，LüZhiping，Chen Zhengsheng，et al.A New Method of Navigation Satellite Clock Bias Prediction and Interpolation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013，33（4）：112－116）