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星覆蓋空間的真遺傳性質(zhì)*

魯瑩瑩，張國芳

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130103)

摘要:文章研究了星覆蓋空間的真遺傳性質(zhì)，證明了星緊空間、強(qiáng)星緊空間、n-星緊空間、絕對可數(shù)緊空間具有真遺傳性質(zhì)；同時(shí)得出星lindel?f空間和強(qiáng)星lindel?f空間、n-星lindel?f空間也具有真遺傳性質(zhì).

關(guān)鍵詞:星緊；強(qiáng)星緊；n-星緊；絕對可數(shù)緊；真遺傳性質(zhì)

1996年，M.L.Puertas提出如下問題：如果拓?fù)淇臻gX的每個真子空間A具有性質(zhì)，X是否具有性質(zhì)P；A.Jarapat和A.Al-bsoul在文獻(xiàn)[1]中把這種性質(zhì)稱為真遺傳性質(zhì),即一種拓?fù)湫再|(zhì)叫做真遺傳性質(zhì),如果每個真子空間具有這種性質(zhì)，那么整個空間也具有這種性質(zhì).F.Arenas在文獻(xiàn)[2]中研究了Puertas的問題,并且證明了一些拓?fù)湫再|(zhì),比如分離公理(T0,T1,T2,T3),可分公理、可數(shù)公理和度量公理都具有真遺傳性質(zhì).2009年,A.Jaradat和A.Al-bsoul在文獻(xiàn)[1]中證明了以下拓?fù)湫再|(zhì)是真遺傳性質(zhì)：完全正規(guī)空間，絕對可數(shù)緊空間，局部仿緊空間，極小Hausdorff空間，實(shí)緊空間，極大緊空間，空間和ω空間.本文將研究星覆蓋性質(zhì)具有真遺傳性質(zhì).

本文中所有的空間都是指拓?fù)淇臻g，并且每個拓?fù)淇臻g都是T1的，未給出的定義見文獻(xiàn)[3].

設(shè)X是拓?fù)淇臻g，U是X的子集族，A?X，定義St(A,U)={U∈U|U∩A≠?}.

一個空間X稱為星緊(星lindel?f空間)[4]，如果對于拓?fù)淇臻gX中的每個開覆蓋U，都存在X的一個有限(可數(shù))子集B,使得St(B,U)=X.

定理1如果一個拓?fù)淇臻g的每個真子空間是星緊空間，那么拓?fù)淇臻gX是星緊空間.

證明設(shè)X中的每個真子空間是星緊空間，U={Us:s∈S}是X中的一個開覆蓋.取x1∈X,則在X{x1}中存在一個有限子集B1，使得St(B1,W)=X{x1}其中W={Us{x1}:s∈S} .

如果x1∈St(B1,U)，則結(jié)論成立.

如果x1?St(B1,U),設(shè)x2∈B1,那么在X{x2}中存在一個有限子集B2,使得St(B2,L)=X{x2},其中L={Us{x2}:s∈S}.取B=B1∪B2,可知B為有限子集,故St(B,U)=X.

類似可證得

推論1星lindel?f空間具有真遺傳性質(zhì).

一個空間X稱為強(qiáng)星緊空間(強(qiáng)星lindel?f空間)[4]，如果對于拓?fù)淇臻gX中的每個開覆蓋U，卻存在U的一個有限(可數(shù))子集R,使得St(∪R,U)=X.

定理2如果拓?fù)淇臻gX中的每個真子空間是強(qiáng)星緊空間，那么拓?fù)淇臻gX是強(qiáng)星緊空間.

證明設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，X中的每個真子空間是強(qiáng)星緊空間，U為X中的一個開覆蓋.

X=Y∪{x1}，則U覆蓋Y，由于Y是星緊空間，則在U中存在有限子集族R，使得St(∪R,U)?Y.

若x1∈St(∪R,U)，則X是強(qiáng)星緊空間.

若x1?St(∪R,U)，取x2∈R，則X{x2}是強(qiáng)星緊空間，所以，存在U的有限子集族R1,使得St(∪R1,U)?X{x2},令R'=R∪R1則R'為U的有限子集族且St(∪R',U)=X.

若取R與R'為可數(shù)子族，則類似可證.

推論2強(qiáng)星lindel?f空間具有真遺傳性質(zhì).

一個空間X稱為n-星緊空間(n-星lindel?f空間)[4],如果對于拓?fù)淇臻gX中的每個開覆蓋U來說，卻存在X的一個有限(可數(shù))子集B，使得Stn(B,U)=X.

定理3如果一個拓?fù)淇臻gX的真子空間是n-星緊空間，那么拓?fù)淇臻gX是n-星緊空間.

證明設(shè)X中的每個真子空間是n-星緊空間，U={Us:s∈S}是X的一個開覆蓋，設(shè)x1∈X,則在X{x1}中存在一個有限子集B1,使得Stn(B1,C)=X{X1},其中C={Us{x1}:s∈S}.

如果x1∈Stn(B1,U)，則結(jié)論成立.

如果x1?Stn(B1,U),取x2∈B1，則在X{x1}中存在一個有限子集B,使得Stn(B,W)=X{x2}，其中W={Us{x2}:s∈S}.

取B'=B1∪B，可知B'為有限子集，故Stn(B',U)=X.

一個空間稱為強(qiáng)-n星緊空間[4]，如果對于拓?fù)淇臻gX中的每個開覆蓋U來說，卻存在U的一個有限子集R，Stn(∪R,U)=X.

推論3如果X是n-星緊空間，那么X是強(qiáng)-n+1星緊空間.

一個空間X被稱為絕對可數(shù)緊空間[1],如果對于空間X中的每個開覆蓋U和空間X中的每個稠密子空間D來說，都存在一個有限子集F?D，使得St(F,U)=X.其中St(F,U)=∪{U∈U:U∩F≠?}.

定理4絕對可數(shù)緊空間具有真遺傳性質(zhì).

證明設(shè)拓?fù)淇臻gX的每個真子空間是絕對可數(shù)緊空間，U為X中的一個開覆蓋.D是X的一個稠密子集.很顯然，如果D=X或者D=?,那么X是絕對可數(shù)緊的.假設(shè)當(dāng)D≠X和D≠?時(shí)，有以下兩種情況：

(1)X=D{x1},對于x1∈XD,那么D是X{x1}的一個稠密子集，故D中存在一個稠密子集K1,使得St(K1,U)=X{x1}，其中U={Us{x1}:s∈S}.

如果x1∈St(K,U),那么結(jié)果成立.

如果x1?St(K1,U),那么選擇x2∈D,使得{x1,x2}在X中是閉集,那么D{x2}在X{x2}中是稠密子集,則在D{x2}中存在一個有限子集K2，使得St(K2,W)=X{x2}，其中W={Us{x2}:s∈S}.取K=K1∪K2，那么St(K,U)=X.

(2)X≠Dx1,?x∈X,設(shè)x3,x4是X中的兩個不同點(diǎn),那么D分別是X{x3}和X{x4}的稠密子集.所以,在X{x3}中存在一個稠密子集K3,使得St(K3,L)=X{x3},其中L={Us{x3}:s∈S}.在X{x4}中存在一個有限子集K4,使得St(K4,L)=X{x4},其中L={Us{x4}:s∈S},取E=K3∪K4,那么St(E,U)=X.

類似可證得

推論4n-星lindel?f空間具有真遺傳性質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]A Jaradat,A Al-bsoul.Some covering spaces and types of compactness[J].2009,78(1):145-152.

[2]Arenas F.Topological properties preserved by proper subspaces[J].Q & A in General Topology,1996(14):53-57.

[3]Engelking R.General Topology[M].Berlin:revised and compeleted edition Helderman Verlag,1989.

[4]E K van Douwen.Star covering properties[J].Topology and Applications,1991,39:71-103.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

中圖分類號：O732

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-7974(2015)06-0030-02

通訊作者：張國芳,女,吉林九臺人,博士,副教授.

作者簡介：魯瑩瑩,女,吉林通化人,吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀碩士．

基金項(xiàng)目：吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目“函數(shù)空間中的相對拓?fù)湫再|(zhì)及其應(yīng)用”(201201081)

收稿日期：*2015-09-12

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.12.010