鄭金

歷年高考題都是師生進行復(fù)習(xí)和研究的寶貴資源，若能善于利用，將會收到良好的教學(xué)效果，如一題多解、一題多問或一題多變，有助于理解知識、訓(xùn)練思維和培養(yǎng)能力.現(xiàn)以2007年高考江蘇卷第19題為例進行一題多問和多解.該題是關(guān)于兩個相互作用物體在豎直方向的相對運動問題，作為壓軸題，其難度很大.如果對題目進行拓展，不僅能訓(xùn)練思維，而且能加深理解牛頓第二定律、運動學(xué)公式和能量守恒定律等規(guī)律以及隔離法、整體法、歸納法、補償法和相對加速度法等解題方法.

例題 如圖1所示.一個圓環(huán)A套在一根均勻圓柱形木棒B上，環(huán)和棒的質(zhì)量都為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為f=km（k>1）.開始時棒豎直放置，下端離地面高度為H，圓環(huán)套在棒的上端，二者由靜止開始自由下落，棒與地面發(fā)生碰撞后，棒以豎直向上的速度反向運動，而且碰撞前后的速度大小相等，設(shè)碰撞時間極短，空氣阻力忽略不計，棒始終保持豎直.問：（1）在木棒再次著地前，要使圓環(huán)不脫離木棒，木棒至少為多長？（2）木棒第一次觸地后上升的最大高度為多少？（3）木棒與圓環(huán)第一次相對靜止時的速度為多少？（4）木棒第二次觸地時的速度為多大？（5）木棒從第二次觸地到二者速度相等期間的相對位移為多少？（6）木棒從第一次觸地到第 次觸地后速度相等期間發(fā)生的相對位移為多少？

解析 （1）環(huán)與棒一起做自由落體運動，剛觸地時木棒的速度為v0=2gH，在棒觸地瞬間，由于慣性，環(huán)獲得向下的初速度，大小為v0=2gH，相對于棒向下滑動，即相對于地面向下做勻減速運動，加速度大小為aA=f-mgm，方向向上;

同時棒反彈，向上做勻減速運動，加速度大小為

aB=f+mgm，方向向下.

由于棒的加速度大于環(huán)的加速度，而初速度相同，因此棒的速度先變?yōu)榱悖又芰η闆r不變，環(huán)繼續(xù)向下做勻減速運動，棒向下做初速度為零的勻加速運動，直到二者速度相同.對上述過程可求出環(huán)相對于棒的位移，即為滿足條件的棒的最小長度.但分步求解太麻煩，下面利用整體法求解.

在棒開始向上反彈直到二者速度相同的過程中，環(huán)相對于棒做勻減速直線運動，以棒為參考系，環(huán)的相對初速度為v=2v0，方向向下，相對末速度為v′=0，相對加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.所以相對位移為s1=v22a=mv20f=2mgHf=2Hk.

只要棒的長度不小于2Hk，那么在棒再次著地前，圓環(huán)就不會脫離木棒.反之，如果棒的長度已確定為L，那么開始下落時棒下端到地面的距離不應(yīng)大于kL2.上述相對加速度法是一種過程整體法.

點評 解答該題關(guān)鍵是通過分析各自的加速度后能得出棒的速度先變?yōu)榱?，特別是利用相對加速度法和運動學(xué)公式，使問題化繁為簡.

（2）木棒第一次觸地后，彈起速度為v0=2gH，加速度為a1=f+mgm=（k+1）g，方向向下，向上做勻減速運動，直到速度為零，可知木棒下端上升的最大高度為h=v202a1=Hk+1.

（3）木棒上升時間t=v0a1=v0（k+1）g，木棒第一次觸地后，設(shè)經(jīng)歷時間t′達到共同速度，以棒為參考系，取豎直向下為正方向，則環(huán)的相對初速度為v=2v0，方向向下，相對末速度為v′=0，相對加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.所以時間

t′=2v0-0a=v0kg，可見t′大于t，表明二者速度相等時木棒在下落.

第一次速度相等時的共同速度為圓環(huán)勻減速運動的速度，即u=v0-a2t′=v0k.

（4）利用過程分解法，木棒從最大高度開始下落到與圓環(huán)速度相等時經(jīng)歷的時間

Δt=t′-t=v0kg-v0（k+1）g=v0k（k+1）g.

因此木棒在Δt時間內(nèi)下落的距離為

Δh=12a1（Δt）2=v202k2（k+1）g=Hk2（k+1）.

二者速度相等以后，一起做加速度為g的落體運動，初速度為u，木棒下端將發(fā)生的位移為

h′=h-Δh=Hk+1-Hk2（k+1）=k-1k2H，

由運動學(xué)公式有2gh′=v21-u2，

即2kk-1k2H=v21-2gHk2，所以v21=2gHk，即v1=2gHk.

或者利用過程整體法，應(yīng)用能量守恒定律求木棒觸地速度.圓環(huán)相對于木棒的位移為s1=2Hk，則從開始下落到第2次觸地的整個過程，有mgH+mg（H+s1）-kmgs1=12（2m）v21），可得v1=2gHk.

還可利用補償法.即把初速度不為零的加速度為g的落體運動視為自由落體運動的一部分，可找到初速度為零的位置，就是所設(shè)想的自由落體運動的初始位置，則從該位置開始速度由零增加到 所發(fā)生的位移為h0=u22g=v202gk2=Hk2，它與位移h′=k-1k2H之和等于設(shè)想的自由落體運動的位移，即s=h0+h′=Hk，所以木棒做自由落體運動的觸地速度v1=2gs=

2gHk.

（5）木棒第二次上升的最大高度h1=v212a1=2Hk（k+1），以棒為參考系，環(huán)的相對初速度v=2v1，方向向下，相對末速度為v′=0，相對加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.

所以相對位移s2=2v21a=mv21f=2mgHkf=2Hk2.